基于平均邏輯相似度的α-反向三I算法的魯棒性

王 蓉，惠小靜，井 美

延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000

1 引言

模糊控制的理論基礎(chǔ)是模糊推理，1973年，Zadeh提出了模糊推理的CRI[1]算法，但是CRI算法不具有還原性且缺乏嚴(yán)格的邏輯基礎(chǔ)。因此，我國學(xué)者王國俊教授等提出了模糊推理的三I[2]算法，該算法有良好的邏輯基礎(chǔ)。因此諸多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究，文獻(xiàn)[3]提出反向三I支持算法和反向三I約束算法理論；文獻(xiàn)[4]研究了基于反向支持度的三I算法；文獻(xiàn)[5]研究了基于反向三I約束算法等。

設(shè)L是模糊推理系統(tǒng)，A是L中的模糊輸入，B是L中的模糊輸出。如果模糊輸入A的微小偏差不會(huì)對(duì)模糊輸出B產(chǎn)生很大的影響，則稱模糊推理系統(tǒng)L具有良好的魯棒性。魯棒性問題與控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性有著密切的聯(lián)系，因此許多學(xué)者對(duì)此進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[6]介紹了模糊集擾動(dòng)的概念；文獻(xiàn)[7]研究了CRI算法的魯棒性；文獻(xiàn)[8]研究了三I算法的魯棒性。文獻(xiàn)[9]用靈敏度的方法討論了模糊推理的魯棒性；文獻(xiàn)[10]基于Minkowski距離研究了模糊推理的魯棒性；文獻(xiàn)[11]基于Moore距離研究了區(qū)間值模糊推理三I算法的魯棒性。

用什么去衡量兩個(gè)模糊集之間的偏差，文獻(xiàn)[12]提出一種新的衡量模糊集之間遠(yuǎn)近程度的擾動(dòng)參數(shù)，即極小邏輯相似度，極小邏輯相似度最終是用取小算子去對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行聚合，這樣容易導(dǎo)致信息丟失。因此文獻(xiàn)[13]是在極小相似度的基礎(chǔ)上提出了一種新的擾動(dòng)參數(shù)：平均邏輯相似度，采用平均邏輯相似度對(duì)原始數(shù)據(jù)做了更精細(xì)的處理，比極小相似度保留更多信息，其所得到的結(jié)果越精確。因此，在上述工作的基礎(chǔ)上以平均邏輯相似度為擾動(dòng)參數(shù)分別討論了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。

2 預(yù)備知識(shí)

X、Y為非空論域，F(xiàn)(X)、F(Y)分別是論域X與

定義2.3[14]T是格L上的t-模，若存在另一個(gè)二元算子?:L2→L使得：T(a,b)≤c，當(dāng)且僅當(dāng)a≤?(b,c),a,b,c∈L，則稱(T,?)為L上的伴隨對(duì)，并且稱(L,T,?)為剩余格。

定義2.4[14]設(shè)T是格L上的左連續(xù)的t-模，則存在另一個(gè)二元算子?：L2→L使得(T,?)為L上的伴隨對(duì)，其中

以下，稱?是由T誘導(dǎo)的剩余蘊(yùn)涵。

定義2.5[15]設(shè)→：[0,1]2→[0,1]是[0,1]上的二元算子，若滿足如下條件：

（1）0→0=1,0→1=1,1→1=1，1→0=0。

（2）關(guān)于第一變量不增，第二變量不減。則稱→是[0,1]上的模糊蘊(yùn)涵算子。

定義2.6[14]設(shè)→是[0,1]上的二元算子，若對(duì)任意的a,b,c,d∈[0,1],→滿足如下條件：

（1）a→b=1當(dāng)且僅當(dāng)a≤b。

（2）a≤b→c當(dāng)且僅當(dāng)b≤a→c。

（3）a→(b→c)=b→(a→c)。

（4）1→a=a。論域Y上的模糊集的全體。

定義2.1[14]設(shè)L為完備格，二元算子T：L2→L被稱為L上的一個(gè)t模，如果T滿足交換律、結(jié)合律，對(duì)每個(gè)變量都不減，且?x∈L,T(1,x)=x。

定義2.2[14]設(shè)T是格L上的t-模，T稱為左連續(xù)的，如果對(duì)L的任意非空子集B，以下等式成立：

（6）a→b關(guān)于a單調(diào)不增，且關(guān)于b單調(diào)不減，那么→稱為[0,1]上的正則蘊(yùn)涵算子。

定義2.7[16]設(shè)(L,T,?)是剩余格，?a,b∈L，規(guī)定

a?b=?(a,b)∧?(b,a),a,b∈L以下記為s(a,b)=a?b。

定義2.8[17]設(shè) X={x1,x2,…,xn},A,B∈F(X),→ 是[0，1]上滿足的模糊蘊(yùn)涵，令

稱S?(A,B)為A與B的平均邏輯相似度。

3 邏輯連接詞的魯棒性

引理 3.1[17]設(shè) |X|=n,A,A′,B,B′∈F(X),x∈X,→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù)t-模，?是T生成的剩余蘊(yùn)涵，則有以下的不等式：

（1）s(A(x)∨ B(x),A′(x)∨ B′(x))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

（2）s(A(x)∧ B(x),A′(x)∧ B′(x))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

（3）s(T(A(x),B(x)),T(A′(x),B′(x)))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

（4）s(?(A(x),B(x)),?(A′(x),B′(x)))≥s(A(x),A′(x))+s(B(x),B′(x))-1。

命題3.1[17]設(shè)|X|=n,A,A′,B,B′∈F(X),x∈X,→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù) t-模，? 是 T 生成的剩余蘊(yùn)涵，若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2則

S?(A°B,A′°B′)≥δ1+δ2-1,其中°∈{∧,∨,?,T}

命題3.2[17]設(shè) |X|=n,A,A′,B,B′,C,C′∈F(X),x∈X,→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù)t-模，?是T生成的剩余蘊(yùn)涵，若S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(C,C′)≥δ3，則

S?(T(C,?(A,B)),T(C′,?(A′,B′)))≥δ1+δ2+δ3-2

4 α反向三I算法的魯棒性

本章以平均邏輯相似度作為擾動(dòng)參數(shù)分別討論了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。

引理4.1[17]令 ai,bi∈[0,1]，i=1,2,…,n,→ 是滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵。則有：

定理4.1[18]設(shè)([0,1],T,?)是剩余格，α∈[0,1]。A,A?∈F(X)，B,B?∈ F(Y),則：

（1）FMP(A,B,A?)的 α-反向三I支持算法解 B?的形式如下：

（2）FMT(A,B,B?)的 α-反向三I支持算法解 A?的形式如下：

定理4.2 設(shè)→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù)t-模，?是T生成的剩余蘊(yùn) 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 B?和 B?′分別是定理4.1FMP(A,B,A?)和FMP(A′,B′,A?′)的 α-反向三I支持算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(A?,A?′)≥δ3，則S?(B?,B?′)≥1-n(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(B?,B?′)=

定理4.3 設(shè)→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù)t-模，?是T生成的剩余蘊(yùn) 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 A?和 A?′分別是定理 4.1FMT(A,B,B?)和 FMT(A′,B′,B?′)的 α-反向三I支持算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(B?,B?′)≥δ3則S?(A?,A?′)≥1-m(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(A?,A?′)=

注 由定理4.2和定理4.3可知當(dāng)假設(shè)δi(i=1,2,3)無限接近1，可得 S?(B?,B?′)也非常接近1。由以上事實(shí)可見，當(dāng)輸入A,B和A?存在微小偏差將會(huì)導(dǎo)致FMP(A,B,A?)的α-反向三I支持算法的解B?微小的改變。因此關(guān)于FMP問題的α-反向三I支持算法有良好的魯棒性。同理分析可知FMT問題的α-反向三I支持算法也具有良好的魯棒性。

定理4.4[19]設(shè)([0,1],T,?)是剩余格，α∈[0,1]A,A?∈F(X)，B,B?∈ F(Y),則

（1）FMP(A,B,A?)的 α-反向三I約束算法解 B?的形式如下：

（2）FMT(A,B,B?)的 α-反向三I約束算法解 A?的形式如下：

定理4.5 設(shè)→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù)t-模，?是T生成的剩余蘊(yùn) 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)，且 B?和 B?′分別是定理4.4FMP(A,B,A?)和 FMP(A′,B′,A?′)的 α-反向三I約束算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(A?,A?′)≥δ3，則S?(B?,B?′)≥1-n(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(B?,B?′)=

定理4.6 設(shè)→是[0，1]上滿足a+(a→b)≤1+b的正則蘊(yùn)涵，T是L上左連續(xù)t-模，?是T生成的剩余蘊(yùn) 涵 。 令 |X|=n,|Y|=m,A,A′,A?,A?′∈F(X),B,B′,B?,B?′∈F(Y)且 A?和 A?′分別是定理 4.4FMT(A,B,B?)和 FMT(A′,B′,B?′)的 α-反向三I約束算法的解。

若 S?(A,A′)≥δ1，S?(B,B′)≥δ2，S?(B?,B?′)≥δ3，則S?(A?,A?′)≥1-m(3-δ1-δ2-δ3)。

證明 S?(A?,A?′)=

注 由定理4.5和定理4.6可知當(dāng)假設(shè)δi(i=1,2,3)無限接近1，可得 S?(B?,B?′)也非常接近1。由以上事實(shí)可見，當(dāng)輸入 A,B和 A?存在微小偏差將會(huì)導(dǎo)致FMP(A,B,A?)的 α-反向三I約束算法解 B?微小的改變。因此關(guān)于FMP問題的α-反向三I約束算法有良好的魯棒性。同理分析可知FMT問題的α-反向三I約束算法也具有良好的魯棒性。

5 結(jié)束語

本文以平均邏輯相似度作為衡量擾動(dòng)的指標(biāo)，分別研究了α-反向三I支持算法和α-反向三I約束算法的魯棒性。把模糊集拓展到區(qū)間值模糊集，討論基于區(qū)間值模糊推理α-反向三I支持算法和基于區(qū)間值模糊推理α-反向三I約束算法的魯棒性，將于另文中討論。