偽補(bǔ)MS-代數(shù)的素理想及同余性質(zhì)

趙秀蘭， 史永杰

(1.黃河科技學(xué)院數(shù)理部, 河南鄭州450063; 2.汕頭大學(xué)理學(xué)院, 廣東汕頭515063)

引言

Ockham代數(shù)[1]是格與序代數(shù)理論的一個重要領(lǐng)域，它是定義在分配格上的一類序代數(shù)。布爾代數(shù)、de Morgan代數(shù)、Stone代數(shù)、偽補(bǔ)MS-代數(shù)等都是它的子代數(shù)，其部分研究成果見文獻(xiàn)[1-5]。在泛代數(shù)研究領(lǐng)域,研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征的方法有很多，其中利用代數(shù)的理想和濾子是比較常用的一種，特別是利用不同定義、不同結(jié)構(gòu)的理想和濾子來研究代數(shù)結(jié)構(gòu)是一種比較常用的手段。目前，很多學(xué)者利用理想和濾子來研究代數(shù)的結(jié)構(gòu)及其特征獲得了大量成果。例如，在文獻(xiàn)[6-9]中,作者在相應(yīng)的代數(shù)類上引入理想與濾子,以核理想與余核濾子為載體刻畫相應(yīng)代數(shù)同余結(jié)構(gòu)。文獻(xiàn)[10]以假值理想為工具描述了雙重偽補(bǔ)代數(shù)同余關(guān)系。文獻(xiàn)[11]給出了格的反軟理想新概念，證明 2 個反軟理想分別在軟集的限制并和“或”運算下仍然是反軟理想。文獻(xiàn)[12]討論了BRo代數(shù)中的*理想及其誘導(dǎo)的商代數(shù)。文獻(xiàn)[13,14]利用濾子討論了Bl代數(shù)的性質(zhì)。素理想也是人們認(rèn)識了解復(fù)雜代數(shù)結(jié)構(gòu)的一個工具，利用素理想將代數(shù)系統(tǒng)分劃為若干塊，并可刻畫代數(shù)同余關(guān)系[15-19]。

本文以現(xiàn)有文獻(xiàn)理論為基礎(chǔ)，將素理想引入到偽補(bǔ)MS-代數(shù)上，綜合考慮偽補(bǔ)MS-代數(shù)的運算特征，論證利用素理想集刻畫同余關(guān)系的結(jié)論，刻畫次直不可約的偽補(bǔ)MS-代數(shù)的結(jié)構(gòu)。

1預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)(L;∧,∨)是一個格，I是格L的子格，若x,y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想。

設(shè)I是格L的理想，且I≠L，a,b∈L,若a∧b∈I蘊含a∈I或b∈I，稱I是格L的素理想。

定義2[2]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格，其上賦予一個一元運算o，且滿足下列條件：

(1)(?x∈L)x≤xoo；

(2)(?x,y∈L)(x∧y)o=xo∧yo；

(3)1o=0。

稱(L;∧,∨,o,0,1)為MS代數(shù)。

定義3[1,3]一個偽補(bǔ)代數(shù)(簡稱p-代數(shù))是一個代數(shù)(L;∧,∨,*,0,1)，它具有一個最小元0及一個映射*:L→L使得x*=max{y∈L|x∧y=0}。

定義4[1,3]設(shè)(L;∧,∨,0,1)是一個有界分配格，其上賦予兩個一元運算*和o，其中(L;*)是p-代數(shù)，(L;°)是MS-代數(shù)，并且一元運算*和o滿足條件，(x∈L)x*°=x°*，稱(L;∧,∨,*,o,0,1)是偽補(bǔ)MS-代數(shù)(簡稱pMS-代數(shù))。

引理1[1,3]設(shè)(L;∧,∨,*,o,0,1)是pMS-代數(shù)，則有下列結(jié)論：

(1)(?a∈L)ao*o=a*oo=aoo*=a*;

(2)(?a∈L)a*o*=ao**=a**o=ao;

(3)(?a∈L)a**=aoo;

(4)(?a,b∈L)(a∧b)*=a*∨b*。

定義5[1,3]設(shè)(L;∧,∨,*,o,0,1)是pMS-代數(shù),θ是L的一個格同余關(guān)系,若(x,y)∈θ?(x*,y*)∈θ，(f(x),f(y))∈θ，則稱θ是L的同余關(guān)系。

為了便于說明問題，作如下約定。設(shè)L是pMS-代數(shù)，L的理想指的是格理想，L的同余關(guān)系指的是對∧,∨,*,o具有替換性的等價關(guān)系，而L的格同余關(guān)系指的是對∧,∨具有替換性的等價關(guān)系，并令，Con(L)={θθ為L的同余關(guān)系},ConL(L)={θθ為L的格同余關(guān)系},P(L)={PP為L的素理想}。

引理2[15]設(shè)P∈P(L)，定義L上的二元關(guān)系θP：x,y∈L,x≡y(θP)?x,y∈P或x,y∈L-P，則θP∈ConL(L)。

引理3[15]設(shè)A∈P(L)，定義L上的二元關(guān)系θA：x,y∈L，x≡y(θA)當(dāng)且僅當(dāng)?P∈A,x,y∈P或x,y∈L-P，則：(1)θA∈ConL(L)且θA=∧P∈AθP；(2)?θ∈ConL(L)，存在A∈P(L)，使得θ=θA。

引理4[18]設(shè)θ1,θ2∈ConL(L)，若θ1∧θ2≤θP，則θ1≤θP或θ2≤θP。

下面根據(jù)偽補(bǔ)MS-代數(shù)的運算特征，來探討偽補(bǔ)MS-代數(shù)上素理想的相關(guān)性質(zhì)。

2素理想的性質(zhì)

定理1設(shè)P∈P(L)，定義P*={x∈Lx*∈L-P}，Po={x∈Lxo∈L-P}，則有下列結(jié)論：

(1)P*,Po∈P(L)

(3)P*=P**=Poo?P，這里P**=(P*)*，

Poo=(Po)o；

(4)Pooo=Po

(5)Po*=P*o=Po

(6)Po**=P*o*=Po*=Po，P*oo=Po*o=Poo=P*。

證明(1)設(shè)x,y∈P*，則x*,y*∈L-P，從而有x*∧y*=(x∨y)*∈L-P，x*∨y*=(x∧y)*∈L-P，故x∨y,x∧y∈P*，因此P*為L的子格。

再設(shè)a∈L，x∈P*且a≤x，由a*≥x*?P，可得a*?P，從而a∈P*，因此P*為L的理想。

令x,y∈L,x∧y∈P*，則(x∧y)*=x*∨y*?P，從而x*?P或者y*?P，所以x∈P*或者y∈P*，于是P*∈P(L)。

同理可證Po∈P(L)。

(3) 先證P*?P。

設(shè)x∈P*，則x*?P，由于x∧x*=0∈P且P為素理想，故x∈P，所以得P*?P。

再證P*=P***。

由于P*?P，由(1)知，P*∈P(L)，將P*?P中的P換成P*，即得P**?P*。又由P*?P，結(jié)合(2)可得P**?P*。所以P*=P***。

下證P**=Poo。

令x∈P**，故x*?P*，則必有x**∈P，否則x**?P，則x*∈P*，此與x*?P*相互矛盾。由引理1知，在pMS-代數(shù)中，xoo=x**∈P，因此xo?Po，從而x∈Poo，故P**?Poo。

同理可證Poo?P**。命題即證。

下證Poo?P。

設(shè)x∈Poo，則xo∈L-Po，從而xoo∈P。又因x≤xoo，于是x∈P，所以Poo?P。

綜上可得P*=P***=Poo?P。

(4) 由(3)知Poo?P，由(2)得Pooo?Po，再將Poo?P中的P換成Po得Pooo?Po，因此Pooo=Po。

(5) 先證Po*=P*o。

設(shè)x∈Po*，則x*?Po，因而x*o∈P。由引理1知，在pMS-代數(shù)中，xo*=x*o∈P，所以xo∈P*，故x∈P*o，于是有Po*?P*o。

設(shè)x∈P*o，則xo?P*，故xo*∈P。由引理1知，在pMS-代數(shù)中，x*o=xo*∈P，所以x*?Po，故x∈Po*，所以P*o?Po*。

綜上即證Po*=P*o。

下證P*o=Po。

由(3)知P*?P，由(2)得P*o?Po。再將P*?P中的P換成Po得Po*?Po。又因Po*=P*o，故P*o=Po。命題(5)得證。

(6) 由(3)和(5)即得(6)。

進(jìn)一步可得，偽補(bǔ)MS-代數(shù)上素理想的下列運算性質(zhì)。

定理2設(shè)P∈P(L)，則有下列結(jié)論：

(1) 若x∈Po，則xo∈L-P，x*∈L-Po；

(2) 若x∈P*，則x*∈L-P，xo∈L-Po；

(3) 若x∈L-Po，則xo∈P*，x*∈Po；

(4) 若x∈L-P，則xo∈Po，x*∈P*；

(5) 若x∈P-P*，則xo∈Po，x*∈P*。

證明(1) 設(shè)x∈Po，由Po定義得xo∈L-P。由定理1(5)知，Po*=Po，所以x∈Po*，從而x*∈L-Po。

(2) 設(shè)x∈P*，由P*定義得x*∈L-P。由定理1(3)知P*=Poo，所以x∈Poo，從而xo∈L-Po。

(3) 若x∈L-Po，即x∈L,x?Po。由定理1(5)知Po*=P*o=Po，故x?P*o,x?Po*,所以xo∈P*，x*∈Po。

(4) 若x∈L-P，即x∈L,x?P。由引理1知，在pMS-代數(shù)中，x≤xoo=x**，又因P是L的素理想，所以xoo=x**?P，于是xo∈Po，x*∈P*。

(5) 若x∈P-P*，由定理1(3)知P*=Poo，故x∈P,x?Poo，從而x∈P,xo∈Po。由定理1(3)知P*=P**，故x∈P,x?P**，于是x∈P,x*∈P*。

定理1和定理2反映了偽補(bǔ)MS-代數(shù)上素理想的運算規(guī)律，以此為基礎(chǔ)，借助素理想來刻畫同余關(guān)系。

定理3設(shè)P∈P(L)，定義L上的二元關(guān)系τP:x,y∈L,x≡y(τP)當(dāng)且僅當(dāng){x,y} ?Ri(i=1,2,3,4,5,6)，其中R1=Po∩P*，R2=Po∩(P-P*)，R3=Po∩(L-P)，R4=(L-Po) ∩P*，R5=(L-Po)∩(P-P*)，R6=(L-Po)∩ (l-P)，則τP∈Con(L)且τP=θP∧θPo∧θP*。

證明由引理2以及定理1知，τP∈ConL(L)。

下證τP∈Con(L)。設(shè)x,y∈L,x≡y(τP)，由定理1和定理2可推出素理想同余關(guān)系如表1所示。

表1素理想同余關(guān)系

表1第一行表示x,y所在的τP同余類，第二、三行分別表示xo,yo和x*,y*所在的τP相應(yīng)同余類。所以x,y∈L,xo≡yo(τP),x*≡y*(τP)，因此τP∈Con(L)。

推論1設(shè)A?P(L)，如果?P∈A,有Po,P*∈A，則θA∈Con(L)。

證明由引理3以及定理1和定理3可得。

定理4設(shè)θ是L上的一個二元關(guān)系，則θ∈Con(L)的充要條件是存在A?P(L)，使得θ=θA且?P∈A,有Po,P*∈A。

證明充分性由推論1可得。

必要性 設(shè)θ∈Con(L)，則θ∈ConL(L)。由引理3知，存在B?P(L)使得θ=θB。令A(yù)=∪p∈B{P,Po,P*}，則B?A?P(L)，從而θA≤θB=θ。

設(shè)x,y∈L,x≡y(θB)，由于θB=θ，故xo≡yo(θB),x*≡y*(θB)，所以任意的x*≡y*(θP)。

于是任意的P∈B,xo,yo∈P或者xo,yo∈L-P以及x*,y*∈P,x*,y*∈L-P。因此任意的P∈B,x,y∈L-P°或者P∈B,x,y∈P°以及P∈B,x,y∈L-P*或P∈B,x,y∈P*，故?P∈B,x≡y(θP)。

所以x≡y(θA)，故θB≤θA，因此θB=θA=θ，于是?P∈A有?P°,P*∈A，A為所求。

定理5設(shè)P∈P(L)，則τP在Con(L)中生成的主理想(τP]是Con(L)的一個素理想。

證明設(shè)θ1,θ2∈Con(L)且θ1∧θ2∈ (τP]，則θ1∧θ2≤τP≤θP，由引理4知，θ1≤θP或θ2≤θP。

若θ1≤θP，對于x,y∈L,x≡y(θ1)，則xo≡yo(θ1),x*≡y*(θ1)，從而有xo≡yo(θP)，x*≡y*(θP)。類似于定理4的證明可得x≡y(θP°)，x≡y(θP*)，所以θ1≤θP°，θ1≤θP*，因此θ1≤θP∧θP°∧θP*=τP。

同理可證，若θ2≤θP，則θ2≤θP∧θP°∧θP*=τP。因此(τP]是Con(L)的一個素理想。

由定理3、定理4、定理5可直接得到下列結(jié)論。

推論3設(shè)L是一個次直不可約的pMS-代數(shù)，則L≤6。

推論4設(shè)L是一個次直不可約的pMS-代數(shù)，則L與圖1中Hasse圖決定的pMS-代數(shù)的子代數(shù)同構(gòu)或是單點集。

圖1pMS-代數(shù)的Hasse圖

3結(jié)束語

素理想是研究Ockham代數(shù)類的結(jié)構(gòu)及同余關(guān)系的一個重要工具，結(jié)合素理想的性質(zhì)，對偽補(bǔ)MS-代數(shù)的結(jié)構(gòu)作一劃分，有助于了解偽補(bǔ)MS-代數(shù)的結(jié)構(gòu)，所得結(jié)論為其它Ockham代數(shù)類素理想性質(zhì)的研究提供了方法，同時豐富了序代數(shù)結(jié)構(gòu)理論。