復賦范線性空間上的(I,B)-近似保正交映射

孔亮

（商洛學院數(shù)學與計算機應用學院，陜西商洛 726000）

為了研究賦范空間的幾何性質，各種正交性和近似正交性定義被相繼引入和研究[1-4]，其中B-正交即Birkhoff正交受到了許多學者的關注[5-8]。在此基礎上，一些學者研究保持各種正交性和近似正交性映射的性質。文獻[9-12]在內(nèi)積空間給出了近似保正交映射的性質，文獻[13-14]在實賦范空間中給出了近似保等腰正交線性映射的刻畫，文獻[15-17]在實賦范空間中分別研究了保ρ-正交、保ρ*-正交和近似保等分線正交線性映射，文獻[18]在實賦范線性空間中引入了(I,ρ)-近似保正交映射的概念并證明了非零(I,ρ)-近似保正交線性映射有界并且是下有界的。本文在復賦范線性空間中，給出近似（I，B）-保正交映射的定義，證明非零（I，B）-近似保正交線性映射有界并且是下有界的，證明在一定條件下，非零（I，B）-近似保正交線性映射是近似保B-正交線性映射。

1 預備知識

定義1［5］若則稱x和y是B-正交的，記為

定義2［7］設則稱x和y是近似B-正交的，記為

定義3[7]設若則稱x和y是δ-近似B-正交的，記為

定義4設映射若對任意的則稱 T 是近似保B-正交的。

定義5[13]若且則稱x和y是等腰正交的，記為x⊥Iy。

定義6[16]設x,y∈X，稱為范數(shù)導數(shù)。

定義7設映射T：X→Y，ε∈[0，1)，若對任意的則稱 T 是（I，B）-近似保正交的。

2 結論及其證明

為了完成定理的證明，先介紹幾個引理。

引理1設x,y∈X，則

證明由定義5可知結論成立。

引理2[8]設 ε∈[0，1)，x,y∈X，則

引理3[8]設定義映射為為 φ（t）=‖u+tv‖2+a‖u‖‖tv‖。 若φ（0）＜φ（t），?t∈[b1,b2]｛0｝，其中b1＜0,b2＞0，則φ（0）≤φ（t），

定理 1設 ε∈[0，2-1)，T：X→Y 是非零（I，B）-近似保正交線性映射，則T有界且‖T（x）‖，?x∈X。 從而 T 是下有界的。

證明設x,y∈X且‖x‖=‖y‖=1， 則由引理1知于是由（I，B）-近似保正交線性映射的定義知從而由引理2得有

和

于是對任意的γ∈（0,1），

由T是線性映射和范數(shù)導數(shù)的定義可知

由極限的保號性得，存在 δ1＜0，使得?t∈[δ1,0)，

同理由(2)式和極限的保號性得，存在 δ2＜0，使得?t∈(0,δ2]，(3)式成立，故?t∈[δ1,0）∪（0，δ2]，(3)式成立。定義凸函數(shù)

在(4)式中令γ→0得

在(5)式中令 θ=0,t=1 得

則由文獻[18]定理1的證明知T有界且

定理 2設 ε∈［0，2－1），T：X→Y 是非零（I，B）-近似保正交線性映射，則T：X→Y是近似保B-正交映射。

證明由定理1知

設 x,y∈X 且 x⊥By，即于是有