變截面渦旋膨脹機的數(shù)學模型及試驗研究

彭 斌，張朋成

(蘭州理工大學機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

渦旋膨脹機是一種借助于容積變化來實現(xiàn)氣體膨脹的新型能量轉換裝置，具有結構簡單、零部件少、質量小等優(yōu)點，目前大量用于制冷、低品位余熱回收等領域，但其轉換效率相對較低的問題也一直困擾著研究界和工業(yè)應用領域[1-2]。

近年來關于渦旋膨脹機的研究主要集中在幾何型線、動力特性、熱力特性、密封和泄漏以及有機朗肯循環(huán)渦旋發(fā)電系統(tǒng)的性能研究幾個方面[3]。Bush等[4]對組合渦旋型線進行了詳細深入的分析，提出了節(jié)曲線的概念，并詳細闡述了通用渦旋型線的解析式方程；蘭州理工大學的劉振全等[5]分析了雙頭渦旋齒渦旋壓縮機的氣體力情況，并給出了數(shù)學解析式；浙江大學的陳波等[6]對渦旋膨脹機的性能作了系統(tǒng)性的分析，重新定義了渦旋膨脹機的特定參數(shù)，對渦旋膨脹機的膨脹過程進行了深入的理論分析和初步模擬，分析了渦旋膨脹機的熱力特性并進行了試驗研究；西安交通大學的楊驊等[7]全面分析了渦旋壓縮機的泄漏情況，并對比了4種切向泄漏模型和2種徑向泄漏模型的優(yōu)缺點，指出了渦旋壓縮機泄漏研究的方向；上海交通大學的顧偉等[8]建立了以異丁烷為試驗工質，凈輸出功率最大為0.74kW的有機朗肯循環(huán)渦旋膨脹機發(fā)電系統(tǒng)，得出變頻控制下工質泵存在最佳頻率使系統(tǒng)的輸出功率最大和存在最佳蒸發(fā)壓力使系統(tǒng)的第一定律效率最高。根據(jù)“十三五”生態(tài)環(huán)境保護規(guī)劃的要求，加快補齊生態(tài)環(huán)境短板是當前核心任務之一。其中充分利用好廢棄的余熱資源就是實現(xiàn)節(jié)能減排的一個重要途徑和方法。膨脹機作為有機朗肯循環(huán)發(fā)電系統(tǒng)的核心設備，直接影響整個系統(tǒng)的性能和效率，因此開發(fā)一款高效率的膨脹機具有非常重要的現(xiàn)實意義[9-11]。

1 型線方程

根據(jù)共軛曲線嚙合原理，選用圓漸開線Ⅰ、高次曲線、圓漸開線Ⅱ作為基線，齒頭部分采用雙圓弧加過渡直線來進行修正。型線方程如下：

(1)

式中：θ為主軸轉角。

(2)

3)外圈高次曲線(θ∈(2.5π,4.5π])：

(3)

其中：

Rg=C1+2C2(θ-0.5π)+3C3(θ-0.5π)2

(4)

Rs=C0+C1(θ-0.5π)+C2(θ-0.5π)2+C3(θ-0.5π)3

(5)

式中：Rg為任意漸開線基圓半徑；Rs為展弦；C0，C1，C2，C3為常數(shù)。C0，C1，C2，C3根據(jù)下列邊界條件求解：

(6)

式中：a為圓漸開線基圓半徑。計算得：C0=114.660 1，C1=-38.235 4，C2=4.978 9，C3=-0.176 1。

4)內(nèi)圈高次曲線(θ∈(2.5π,4.5π])：

(7)

5)外圈圓漸開線Ⅱ(θ∈(6.5π,8.5π]),型線方程同式(1)。

6)內(nèi)圈圓漸開線Ⅱ(θ∈(6.5π,7.5π]),型線方程同式(2)。

7)修正大圓弧(θ∈(-0.646,1.047])：

(8)

8)修正小圓弧(θ∈(2.566,4.136])：

(9)

9)過渡直線方程(θ∈(0.980,3.524])：

(10)

渦旋型線示意圖如圖1所示。

圖1 渦旋型線示意圖

文獻[12]比較了用積分法和等距法兩種方法計算造成的誤差，得出法向等距法誤差比積分法誤差小，更接近真實樣機的結論。具體結論為：法向等距法計算結果與真實樣機相關數(shù)據(jù)相對誤差最大為8.76%，而積分法計算結果與真實樣機相關數(shù)據(jù)相對誤差最大為15.95%。因此本文采用法向等距法計算容積。

2 熱力學模型

基于能量守恒方程、質量守恒方程和熱力學第一定律，建立變截面渦旋膨脹機的熱力學方程。采用控制變量的方法，對變截面渦旋膨脹機整個膨脹過程進行熱力學分析[13]。在分析整個膨脹過程之前，提出以下假設：

1)變截面渦旋膨脹機的氣體工質為理想氣體，比熱容恒定不變；

2)同一個工作腔內(nèi)的氣體工質狀態(tài)參數(shù)相同；

3)不考慮氣體的勢能和動能，并忽略氣體工質的流動損失；

4)整個工作過程中，動靜渦旋盤不發(fā)生受力變形和受熱變形。

根據(jù)以上假設和能量守恒方程，控制容積內(nèi)的氣體工質：

(11)

根據(jù)質量守恒方程得到：

(12)

式中：U為內(nèi)能；Q為熱量；W為做功；hin為流入的氣體的比焓；hout為流出的氣體的比焓；min為流入的氣體工質的質量，為正值；mout為流出的氣體工質的質量，為負值；m為氣體質量。在整個膨脹過程中，氣體工質吸收熱量，Q為正值；氣體工質在膨脹時對外做功，W為正值。因為假設氣體工質為理想氣體狀態(tài)，所以可得到熱力學方程關系式：

(13)

式中：cV為氣體恒定容積比熱容；P為氣體壓力；V為工作腔容積；R為氣體常數(shù)；T為氣體溫度；h為氣體的比焓；cP為氣體恒定壓力比熱容；k為氣體的比熱容比；D為當量直徑。

將式(13)代入式(11)中，可得到：

(14)

式中：Tin為流入的氣體的溫度；Tout為流出的氣體的溫度。

式(14)可以寫成：

(15)

又由于

(16)

得到變截面渦旋膨脹機工作腔內(nèi)氣體溫度隨主軸轉角的變化為：

(17)

式中：ω為變截面渦旋膨脹機的角速度。

以上給出的是熱力學模型的一般形式，在具體求解時，進出口傳熱采用Dittus-Boelter公式求解；工作腔傳熱采用螺旋板換熱器模型求解[14-15]。

3 氣體力模型

渦旋膨脹機主要靠高壓氣體工質推動動渦旋盤轉動，對外膨脹做功[16]。動渦旋盤上受到的氣體力可分為徑向氣體力Fr、軸向氣體力Fa和切向氣體力Ft。切向氣體力Ft是推動動渦旋盤轉動的作用力，進而對外輸出轉矩做功。本文僅對切向氣體力Ft做詳細分析。

圖2 動渦旋盤切向氣體力受力示意圖Ⅰ

①吸氣腔。

(18)

Ft0=hzRb(π-2θ)P0

(19)

式中：hz為渦旋齒齒高；P0為進氣壓力，也是吸氣腔的壓力；Rb為基圓半徑；Ror為偏心半徑；Ft0為吸氣腔的切向氣體力。

②第一膨脹腔。

(20)

(21)

式中：P1為第一膨脹腔的壓力；Ft1為第一膨脹腔的切向氣體力。

③第二膨脹腔。

(22)

(23)

式中：P2為第二膨脹腔的壓力；Ft2為第二膨脹腔的切向氣體力。

總的切向氣體力：

Ft=Ft0+Ft1+Ft2

(24)

①吸氣腔。

(25)

Ft0=hzRb(5π-2θ)P0

(26)

圖3 動渦旋盤切向氣體力受力示意圖Ⅱ

②第一膨脹腔。

(27)

Ft1的計算公式同式(21)。

總的切向氣體力：

Ft=Ft0+Ft1

(28)

變截面渦旋膨脹機主軸轉動，對外輸出的切向力矩可由式(29)算得。

Mt=FtRor

(29)

變截面渦旋膨脹機輸出功率的算式如下：

W=Mtωη

(30)

式中：Mt為切向力矩；η為摩擦損失效率。

4 模擬求解

根據(jù)上述模型的關系式，運用MATLAB、Fortran軟件進行編程，求解出工作腔內(nèi)容積、壓力、溫度和輸出功率等參數(shù)隨主軸轉角的變化規(guī)律。模擬運行工況：膨脹機進口壓力為0.700 0MPa；膨脹機進口溫度為293.0K。

圖4所示是變截面渦旋膨脹機的容積變化曲線示意圖。從圖4可以看出：當主軸轉角θ∈(θ*,2π+θ*](即吸氣腔和第一膨脹腔)時，容積隨主軸轉角增大而增大，且增大的速度逐漸增大；主軸轉角θ∈(4π+θ*,5π](即第二膨脹腔)時，容積隨主軸轉角增大而增大，但增大的速度逐漸減小；當主軸轉角轉到5π時，開始排氣，因為排氣口是逐漸打開的，容積持續(xù)增大，直到排氣口完全打開，容積開始減小，且減小速度先增大后減小。

圖5所示是假設進口壓力為0.700 0MPa時，壓力隨主軸轉角的變化曲線。當主軸轉角θ∈(θ*,2π+θ*](即吸氣腔)時，壓力為0.700 0MPa，吸氣完成，工作腔閉合，開始膨脹，壓力逐漸降低。在理想絕熱狀態(tài)，進口壓力為0.700 0MPa，出口壓力為0.156 4MPa，理論膨脹比為4.476；考慮到傳熱、泄漏等因素，模擬膨脹狀態(tài)，進口壓力為0.700 0MPa，出口壓力為0.184 4MPa，模擬膨脹比為3.790。兩者出口壓力之差為0.028 0MPa，模擬膨脹狀態(tài)的膨脹比是理論絕熱狀態(tài)的0.85倍。

圖5 壓力隨主軸轉角變化曲線

圖6所示是模擬運行工況下，變截面渦旋膨脹機進口壓力為0.700 0MPa時，輸出功率隨主軸轉角變化曲線(一個周期)。圖中低谷為開始吸氣(也是吸氣完成時刻)的位置。輸出功率最大為425.5W，最小為274.3W，平均功率為338.0W。

圖6 輸出功率隨主軸轉角變化曲線

圖7所示是模擬運行工況下，變截面渦旋膨脹機溫度隨主軸轉角變化曲線。假設進氣溫度為293.0K，考慮到傳熱、泄漏等因素，出口溫度為275.3K，低于外界溫度。

圖7 溫度隨主軸轉角變化曲線

5 試驗驗證

測試平臺如圖8所示，儲氣罐內(nèi)存有高壓氣體，由一臺大功率壓縮機提供高壓氣源。壓力控制器可調(diào)節(jié)進口壓力，變化范圍為0.300 0MPa～0.700 0MPa，高壓氣體推動動渦旋盤做周期性運動，帶動與膨脹機相連的三相發(fā)電機進行發(fā)電。膨脹完畢的氣體，排到外界環(huán)境中。圖中壓力傳感器和溫度傳感器安裝在膨脹機的進出口處，測得進出口壓力、溫度；輸出功率由三相發(fā)電機輸出的電壓、電流值求得。

圖8 測試平臺原理圖

圖9展示了一部分試驗設備，分別為變截面渦旋膨脹機、三相發(fā)電機、壓力傳感器、流量計、電壓電流表、負載等。

圖9 試驗設備

圖10為試驗樣機的排氣壓力隨進氣壓力變化示意圖，排氣壓力隨著進氣壓力的逐漸增大而增大。進氣壓力為0.300 0MPa時，排氣壓力為0.110 0MPa，膨脹比最小(2.73)；進氣壓力為0.700 0MPa時，排氣壓力為0.210 0MPa，膨脹比最大(3.34)。模擬進氣壓力為0.700 0MPa時，排氣壓力為0.190 0MPa，膨脹比為3.79。試驗測得的排氣壓力與模擬時的排氣壓力相差0.020 0MPa，試驗測得的膨脹比是模擬時的0.89倍，相差11%，主要是因為波紋管之間的連接處有泄漏，但這是很難避免的。試驗結果證明模型基本正確。

圖10 排氣壓力隨進氣壓力變化示意圖

圖11為試驗樣機的輸出功率隨進氣壓力變化示意圖，輸出功率隨著進氣壓力的逐漸增大而增大。進氣壓力為0.700 0MPa時，輸出功率最大為286W。模擬進氣壓力為0.700 0MPa時，輸出功率為338W。試驗測得的輸出功率與模擬時的輸出功率相差52W，相差18.2%，其原因主要是三相發(fā)電機的發(fā)電效率不能達到100%。試驗結果證明模型基本正確。

圖11 輸出功率隨進氣壓力變化示意圖

圖12為試驗樣機的排氣溫度隨進氣壓力變化示意圖(進口溫度為293.0K)，排氣溫度隨著進氣壓力的逐漸增大而減小。進氣壓力在0.3MPa時，排氣溫度最高，為284.0K；進氣壓力為0.700 0MPa時，排氣溫度最低，為277.0K。模擬進氣壓力0.700 0MPa時，排氣溫度為275.3K。試驗測得的排氣溫度與模擬時的排氣溫度相差1.7K，與模擬工況基本吻合，證明模型基本正確。

6 結束語

本文提出了一種變截面渦旋膨脹機模型，并開發(fā)試驗樣機對模型的正確性進行了驗證，對優(yōu)化渦旋膨脹機有一定的指導作用。但在經(jīng)濟成本、批量化制造等方面未作考慮，要真正在實踐中應用本文成果，需對經(jīng)濟成本核算、工藝BOM搭建等方面做進一步的分析研究。

圖12 排氣溫度隨進氣壓力變化示意圖