一種改進(jìn)的KBM法求解非線性振動(dòng)方程

王磊佳, 張鵠志, 胡 輝, 祝明橋

(1.湖南科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 湘潭 411201;2.湖南科技大學(xué) 結(jié)構(gòu)抗風(fēng)與振動(dòng)控制湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 湘潭 411201)

非線性振動(dòng)理論的研究對(duì)象主要包括不同參數(shù)、初始條件對(duì)系統(tǒng)解的影響，不同振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律，分析周期解的形式，研究解的穩(wěn)定性等方面的問題[1-4]。近似解析法作為研究非線性振動(dòng)解的主要方法之一[5-6]，主要通過應(yīng)用數(shù)值計(jì)算方法的思想構(gòu)建近似解，且研究對(duì)象僅限于弱非線性振動(dòng)系統(tǒng)，其中具有代表性的方法有：Lindstedt-Poincare(L-P)法[7]、多尺度法[8]、平均法[9]、KBM法[10]。

關(guān)于非線性振動(dòng)系統(tǒng)的求解，當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了不少研究，如：Cheung等[11]提出了一種改進(jìn)的L-P方法求解強(qiáng)非線性系統(tǒng)；楊志安等[12]將理論與實(shí)踐結(jié)合總結(jié)出了一種對(duì)多尺度法的改進(jìn)理論；陳立群等[13]將平均法應(yīng)用到了求解多自由度的非線性振動(dòng)系統(tǒng)；Lim等[14]通過改進(jìn)Mickens迭代方法求解非線性振動(dòng)方程拓寬了εA2的取值區(qū)間；He[15]拓展了攝動(dòng)理論將其應(yīng)用在求解強(qiáng)非線性振動(dòng)系統(tǒng)領(lǐng)域；Nayfeh[16]求解出了Dffing方程固有頻率的精確解。

在已有的方法中，多尺度法和L-P法都是建立在攝動(dòng)法[17]的基礎(chǔ)上，攝動(dòng)法不僅可以計(jì)算周期振動(dòng)，而且適用于耗散系統(tǒng)的衰減振動(dòng)；不僅可以計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，而且可以求出瞬態(tài)過程。平均法作為一種新的計(jì)算方法，它與攝動(dòng)法相比，可以避免攝動(dòng)法的許多繁瑣的中間過程，快速獲得結(jié)果，但因?yàn)橛?jì)算中精度僅能達(dá)到與ε同階的一次近似解，從而難以滿足高精度定量計(jì)算的要求。KBM法是在平均法與攝動(dòng)法的基礎(chǔ)上提出來(lái)的，吸取它們各自的優(yōu)點(diǎn)，并在求解含有小參數(shù)ε的弱非線性振動(dòng)系統(tǒng)方面得到了廣泛的應(yīng)用，但隨著ε或振幅a的增大，KBM法也難以滿足精度要求，因而需要展開進(jìn)一步的研究。

1 改進(jìn)的KBM法

弱非線性自治方程為

(1)

式中:ε為一個(gè)小參數(shù)。當(dāng)ε≠0時(shí)，由于式(1)右邊攝動(dòng)項(xiàng)的存在，使得非線性方程的解中除頻率為ω0的主諧波外，還含有微小的高次諧波，且振幅與頻率均與ε相關(guān)，并緩慢變化，因此，運(yùn)用常數(shù)變易法可以構(gòu)造出該非線性自治方程的一個(gè)級(jí)數(shù)解

(2)

式中:xi(a,ψ)(i=1,2,…)為ψ的以2π為周期的函數(shù)，且a和ψ均是隨時(shí)間t緩慢變化的函數(shù)，可由以下微分方程確定

(3)

(4)

式(3)和式(4)為經(jīng)典KBM法的基本方程，當(dāng)ε無(wú)限小時(shí)，由于該方法的二次近似解精度較高，而被廣泛的應(yīng)于求解非線性自治方程。隨著ε的增大，該方法解的精度也會(huì)隨之下降，工程中通過增加求解ε的冪次可以提高精度，但是當(dāng)ε增大到一定程度時(shí)仍會(huì)出現(xiàn)求解精度過低甚至無(wú)法求解的問題。

為了解決這個(gè)問題，本文將式(4)的等式兩邊同時(shí)平方，得到：

(5)

式中頻率分量ωi(a)(i=1,2,3…)未知。

經(jīng)典KBM法在預(yù)設(shè)解的形式時(shí)存在某種任意性，再通過解的周期性要求以消除該任意性。這種方法在求解非線性振動(dòng)問題中是行之有效的，因而可求得周期解或非周期解。經(jīng)典KBM法假定頻率ω與ε相關(guān)，但忽視兩者的具體關(guān)系，式(4)最終在攝動(dòng)過程中逐步得以確定。據(jù)此可知，本文中對(duì)式(5)的假定同樣能滿足這一系列要求。

為了消除長(zhǎng)期項(xiàng)并保證Ai和ωi的唯一性，則函數(shù)xi(a,ψ)必定不是關(guān)于sinψ和cosψ的諧調(diào)方程，由式(3)和式(5)得

(6)

(7)

式(7)兩邊再次對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)，整理得：

(8)

將式(2)和式(8)代入式(1)，左邊整理得：

(9)

(10)

式(9)和式(10)恒等，則兩式ε的同次冪系數(shù)必相等。因?yàn)閤i是關(guān)于時(shí)間t的周期函數(shù)，所以可以確定頻率分量ωi(i=1,2,…)。為消除長(zhǎng)期項(xiàng)，令式(9)和式(10)中sinψ和cosψ項(xiàng)的系數(shù)為零。在實(shí)際計(jì)算中只需取級(jí)數(shù)解的前幾項(xiàng)為近似解就可以達(dá)到較高的精度，本文算例中只取到ε2項(xiàng)，整理得：

引入邊界條件，代入式(11)和式(12)即可求解方程的近似解和頻率解。

由以上的推導(dǎo)過程不難發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的KBM法不僅求解過程簡(jiǎn)單，利于驗(yàn)算，而且適用于電算。

2 算 例

Duffing方程系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng)，工程實(shí)際中的許多非線性振動(dòng)問題的數(shù)學(xué)模型都可以轉(zhuǎn)化為該方程來(lái)研究，Duffing方程一般表示為

(13)

邊界條件為

(14)

由初始條件可知

x=x0+εx1+ε2x2+…+εixi,

(15)

ω為非線性振動(dòng)的固有頻率，xi,ωi待確定。

(16)

將式(15)和式(16)代入式(13)化簡(jiǎn)得

(ω2-εω1-ε2ω2-…)(x0+εx1+ε2x2+…)+

ε(x0+εx1+ε2x2+…)3=0

(17)

應(yīng)用和的立方公式，將式(17)整理成關(guān)于ε的冪函數(shù)

(18)

式(18)中ε≠0，而方程要衡等于零,則必有ε的系數(shù)分別等于零。整理得

(19)

(20)

(21)

由式(14)的初始條件可分別求得

x0=acosψ

(22)

(23)

(24)

由式(22)、式(23)和式(24)求得式(15)前兩項(xiàng)的近似解為

(25)

(26)

其中ψ=ωt+ψ0,由Meirovitch[18]的討論方法可以確定出a和ψ0與初始條件間的關(guān)系，令ψ0=0代入式(15)、式(25)得

(27)

a關(guān)于ε的冪級(jí)數(shù)為

a=a0+εa1+ε2a2+…

(28)

將式(28)代入式(27)得

(29)

將式(29)表示成ε的冪次函數(shù)，并忽略高于ε2的項(xiàng)。由初始條件ε≠0,可以推得ε前的系數(shù)等于0，由此理論可以得到

(30)

(31)

求得

(32)

將上式代入式(28)整理得

(33)

將式(33)代入式(26)和式(25)，并將其整理成關(guān)于ε的冪函數(shù)得

(34)

(35)

式(35)整理得

(36)

經(jīng)典KBM法關(guān)于Dffing方程的二次近似解為

(37)

(38)

3 結(jié)果與討論

3.1 頻率ω的近似解分析

本節(jié)以求解Duffing方程為例，將本文改進(jìn)后的KBM法與以下幾種常見方法進(jìn)行對(duì)比。

(39)

(40)

(41)

(42)

Duffing方程的精確解為

(43)

表1 幾種不同方法求得的ω近似解的比較

3.2 解析解x(t)的對(duì)比分析

為對(duì)比實(shí)參數(shù)ε和振幅a分別取不同值時(shí)經(jīng)典KBM法、He法、Lim法與本文改進(jìn)后的KBM法求解Duffing方程二次近似解的精度，本節(jié)將四階龍格-庫(kù)塔法[19]求得的函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的數(shù)值解與上述四種方法求解的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如圖1所示。其中ω0=1。

(a) a=0.1,ε=1

(b) a=0.1,ε=10

(c) a=0.1,ε=100

(d) a=10,ε=1

(e) a=10,ε=10

(f) a=10,ε=100

(g) a=100,ε=1

(h) a=100,ε=100

(i) a=100,ε=10 000

圖1中(a)、(b)和(c)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)振幅a=0.1時(shí)，四種方法求得的近似解在ε=1時(shí)都非常接近數(shù)值解；當(dāng)ε=10時(shí)，He法求得的近似解因誤差較大而不能在實(shí)際工程中應(yīng)用；當(dāng)ε=100時(shí)，改進(jìn)后的KBM法和Lim法的二次近似解依然非常接近數(shù)值解，但經(jīng)典KBM法的二次近似解開始偏離數(shù)值解。由此表明，當(dāng)a較小且ε較大時(shí)，改進(jìn)后的KBM法和Lim法的近似解都具有較高的精度。

圖1中(d)、(e)和(f)對(duì)比可以看出，當(dāng)振幅a=10，ε=1時(shí)，經(jīng)典KBM法的近似解已經(jīng)完全偏離數(shù)值解從而不能應(yīng)用于求解非線性振動(dòng)方程；同時(shí)隨著ε取值的增大，Lim法的近似解也開始偏離數(shù)值解；由(g)、(h)和(i)對(duì)比可知，雖然Lim法的近似解已經(jīng)偏離數(shù)值解，但偏離的范圍沒有隨著ε的增加，而明顯增大，也正是因?yàn)槿绱?，Lim法自提出以來(lái)被廣泛的應(yīng)用于求解此類非線性振動(dòng)方程的周期解，但Lim法的迭代過程繁瑣，且需要根據(jù)解的精度要求調(diào)整迭代次數(shù)；改進(jìn)后KBM法與Lim法相比，不僅求解簡(jiǎn)單，且解的精度高于Lim法。

圖1中(a)、(d)和(g)，(b)、(e)和(h)，(c)、(f)和(i)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ε一定時(shí)，隨著a值的增大，Lim法的近似與改進(jìn)后的KBM法的近似解相比，Lim法在數(shù)值解上下擺動(dòng)受振幅取值影響較大，改進(jìn)后的KBM法的近似解一直非常接近數(shù)值解。由此證明，在求解Duffing方程中，改進(jìn)后的KBM法不受振幅a取值的影響。

4 結(jié) 論

(1) 本文通過對(duì)經(jīng)典KBM法中的頻率方程進(jìn)行平方改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的KBM法，該方法的求解范圍不再受小參數(shù)的限制。

(2) 基于改進(jìn)后的KBM法求解Duffing方程時(shí)，可將ω0用ω的相關(guān)方程表示，以達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的，且此方法可推廣于求解其它類型的非線性振動(dòng)方程。

(3) 較之當(dāng)前已有的幾種主流方法，改進(jìn)后的KBM法在求解非線性自治方程時(shí)均可得到較高精度的二次近似解和頻率解。