柔性膜結(jié)構(gòu)風致振動中的流固耦合效應研究

孫芳錦， 畢 鵬， 呂艷卓

(1.東南大學 混凝土及預應力混凝土結(jié)構(gòu)教育部重點實驗室，南京 210096；2.遼寧工程技術大學 建筑工程學院，遼寧 阜新 123000)

風與膜結(jié)構(gòu)的流固耦合作用是被研究人員廣泛關注但尚未深入研究的前沿課題之一。隨著計算機軟硬件技術的迅速提高，數(shù)值模擬方法已發(fā)展成為分析風與膜結(jié)構(gòu)流固耦合作用的重要工具。目前研究膜結(jié)構(gòu)風振中的流固耦合效應的數(shù)值方法包括弱耦合分區(qū)法、強耦合分區(qū)法和強耦合整體法[1]。弱耦合分區(qū)法是在每一時間步內(nèi)先對流體控制方程和結(jié)構(gòu)控制方程分別獨立求解，然后將作用在流體域模型上的氣動力荷載通過流體和結(jié)構(gòu)的交界面?zhèn)鬟f給結(jié)構(gòu)域模型，用來預測結(jié)構(gòu)的位移，然后再將結(jié)構(gòu)的位移作為新的荷載傳遞給流體域，此過程如此反復，直到結(jié)果收斂于指定值。強耦合分區(qū)法就是在流體域和結(jié)構(gòu)域各自求解器的基礎上再增加一次迭代循環(huán)，在每一個時間步求解非線性方程組，計算出全場變量的值。強耦合整體方法是指在每一時間步內(nèi)對流體控制方程和結(jié)構(gòu)控制方程同時聯(lián)立求解；狹義的說，就是對整個流固耦合問題用一個方程組表示并進行求解[2-4]。

國內(nèi)外學者大都采用強耦合分區(qū)法或弱耦合分區(qū)法對膜結(jié)構(gòu)風振中流固耦合效應進行了研究[5-9]；采用強耦合整體方法計算流固耦合問題的研究還非常有限[10-12]，但強耦合整體方法在穩(wěn)定性和精度等方面卻顯示出其優(yōu)勢。文獻[13]推導出了風與膜結(jié)構(gòu)的流固耦合計算的強耦合整體方程，并對典型形狀膜結(jié)構(gòu)的風振流固耦合計算進行了分析，研究結(jié)果表明采用強耦合整體方法求解風與膜結(jié)構(gòu)的流固耦合作用具有在精度和穩(wěn)定性方面都具有優(yōu)勢，但由于強耦合整體方法采用一個非線性方程組表示流固耦合系統(tǒng)，通常需要采用Newton方法線性化后進行求解。在求解該方程過程中，大量的機時都耗費在了對雅可比矩陣的反復集成和相應線性體系解的Newton修正中[14-15]，這往往會導致該問題的計算量非常大，因此對強耦合整體方程進行高效的求解是需要重點解決的問題之一。

本文針對柔性膜結(jié)構(gòu)經(jīng)歷大變形的特點，對傳統(tǒng)投影法進行修正來求解上述強耦合整體方程，在經(jīng)典投影法的基礎上，在校正步中引入壓力修正因子迭代修正使原始動量方法中隱性定義的壓力約束條件得到滿足，并給出了該方法求解的過程。應用提出的修正投影法對經(jīng)典二維流固耦合問題和三維柔性膜結(jié)構(gòu)風致流固耦合作用進行計算，評估了本文修正投影法的性能和效率。

1 控制方程和邊界條件

1.1 流體控制方程

流體控制方程由為不可壓黏性Navie-Stokes方程(簡稱N-S方程)，即連續(xù)方程和動量方程

▽·νf=0

(1)

(2)

式中:νf為流體流動速度；▽為空間梯度;ρf為流體密度;σf為流體的全應力張量(壓力和黏性力)，σf=μ[▽vf+(▽vf)T]-pI，μ是流體黏度；p為流體壓力;fBf為流體體積力。

1.2 結(jié)構(gòu)控制方程

膜結(jié)構(gòu)可以看成是經(jīng)歷大變形的彈性體，其控制方程可由Total Lagrangian方程描述為

▽·σl+fs=0

(3)

上式表示T.L.方法中，差分平衡方程基于初始未變形位形的表達；σl是Piola-Lagrange應力張量，它是相對于未變形表面已發(fā)生變形位形的應力。

1.3 流體和結(jié)構(gòu)的耦合

引入線彈性模型來處理流體域的變形，解決流體域和結(jié)構(gòu)域交界面處的數(shù)據(jù)傳遞問題，實現(xiàn)流體和結(jié)構(gòu)的耦合。線彈性模型的方程為

(4)

(5)

(6)

(7)

流體和結(jié)構(gòu)在交界面上的耦合條件為

(8)

(9)

(10)

式中:νs是結(jié)構(gòu)速度;us是未知結(jié)構(gòu)位移;σc是Cauchy應力，σc=FσpFT/J，J=det(F)是雅可比行列式;ns=-nf,nf是流體邊界面的外法線方向單位向量，ns是流體邊界面的外法線方向單位向量。

1.4 流固耦合體系的強耦合整體方程

強耦合整體方程的推導就是對流體域、結(jié)構(gòu)域以及線彈性模型方程進行時間和空間上的離散的過程。流體方程、結(jié)構(gòu)方程和線彈性方程均采用Galerkin有限元法進行離散，時間上的離散采用隱式有限差分方法，具體推導過程可參見文獻[13]。

膜結(jié)構(gòu)風致流固耦合問題的加權殘差方程fFSI可以寫作

2 求解方法

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

最后將上述預測得到的速度投影到無散向量場空間，得到非線性方程組的速度、壓力和位移

(22)

(23)

(24)

3 算例分析

3.1 二維流固耦合問題

這里應用上述模型對典型的流固耦合問題進行了計算[17]。實驗中流體水的密度ρf=1 000 kg/m3，固體為類似橡膠材料，幾何尺寸如圖1所示。試驗共分為FSI1、FSI2和FSI3三個試驗，其中FSI1試驗為穩(wěn)態(tài)試驗，F(xiàn)SI2和FSI3試驗為非穩(wěn)態(tài)流固耦合二維計算，這里分別對FSI2和FSI3試驗進行計算。試驗中為低雷諾數(shù)情況，試驗中計算域長度L=2.5 m，高度H=0.41 m，結(jié)構(gòu)模型包含剛性圓柱和其右后的一彈性桿，圓柱圓心位置(從計算域左下角位置算起)C為(0.2,0.2,)，半徑為0.05。彈性結(jié)構(gòu)桿件的長度為l=3.5，高H=0.02；右下角的位置是(0.6,0.19)，且其左側(cè)與固定圓柱是完全連接的。整個結(jié)構(gòu)控制點A(t)的位置是A(0)=(0.6,0.2)。受篇幅所限，這里僅給出模擬FSI3試驗的計算結(jié)果。

圖1 經(jīng)典流固耦合問題幾何尺寸

設定λ1≈104經(jīng)過多次修正迭代得到的結(jié)果與采用Newton-Rapshon求解方法的結(jié)果和原試驗結(jié)果進行了對比。圖2和圖3分別給出了本文計算的彈性梁端結(jié)點A的不同方向位移時程，以及作用在圓柱和梁上的升力和阻力。

從圖中可以看出，本文引入修正因子的投影法的計算結(jié)果與采用Newton-Rapshon求解方法和原試驗結(jié)果非常接近，說明本文方法的正確性。

為了說明本文方法的求解效率，表1給出了采用本文方法計算得到彈性梁端結(jié)點A的x方向位移dx和y方向位移dy隨不同修正迭代的誤差范數(shù)變化，并與其他方法結(jié)果進行了對比。

從表1中可以看出，與傳統(tǒng)Newton-Rapshon法相比，經(jīng)過同樣的迭代次數(shù)，本文中引入修正因子的投影方法的誤差范數(shù)要小得多；且本文的方法只需經(jīng)過較少的迭代次數(shù)便可以達到較小的誤差，證明了本文方法的收斂速度快，誤差小。

(a)

(b)

Fig.2 Displacement time history comparison at different directions of nodeA

表1 彈性梁端結(jié)點A的誤差范數(shù)比較

3.2 三維柔性膜結(jié)構(gòu)風致振動流固耦合效應分析

(a)

(b)

這里以典型的鞍型膜結(jié)構(gòu)為例，應用以上的強耦合整體方法程序進行風振響應分析計算。膜結(jié)構(gòu)的計算簡圖如圖4所示，其基本參數(shù)如下：跨度L=20 m，高度H=5 m，矢跨比f/L=1/8，預張力T=2.0 kN/m，薄膜厚度為1 mm，單位面積的質(zhì)量g=1.25 kg/m2，張拉剛度為Et=8.0×105N/m,剪切剛度Gt=1.2×104N/m，泊松比υ=0.3。由于本文重點考察修正投影法的性能，因此暫未考慮湍流的影響。以典型的三維鞍型膜結(jié)構(gòu)為例，應用以上的強耦合整體方法和預處理器對其進行風振響應分析計算，計算中的具體參數(shù)設置與文獻[13]相同，這里不再贅述。

為了說明本文的修正投影法的計算效率和性能，這里首先分析了修正投影法中修正值λ1對膜結(jié)構(gòu)分區(qū)風壓系數(shù)的影響，其中鞍型膜結(jié)構(gòu)的分區(qū)情況見圖5。

表2給出了本文方法中選取不同修正值時與Newton-Rapson方法的分區(qū)風壓系數(shù)(0°風向角)相比的誤差范數(shù)，其中Newton-Rapson方法的分區(qū)風壓系數(shù)來自文獻[13]，其中迭代次數(shù)為10次。

分析表2，可以得出如下結(jié)論，

(a)(b)圖4 鞍型膜結(jié)構(gòu)計算簡圖Fig.4 Geometry of saddle membrane structure圖5 鞍型膜結(jié)構(gòu)分區(qū)圖Fig.5 Dividing of saddle membrane structure

表2不同修正值對平均風壓系數(shù)(均值)的影響

Tab.2Effectsofdifferentmodifedvaluesonmeanwindpressurecoefficients

分區(qū)Newton-Rapson方法本文方法取不同修正值的誤差范數(shù)103104105A1-0.522.14×10-41.22×10-43.23×10-4A2-0.341.49×10-42.03×10-52.98×10-4A3-0.223.23×10-41.29×10-41.22×10-5A4-0.542.33×10-51.78×10-43.22×10-4B1-1.563.21×10-41.44×10-52.03×10-4B2-1.350.92×10-41.68×10-42.43×10-4B3-0.862.31×10-41.09×10-51.65×10-4C1-0.762.33×10-41.02×10-52.11×10-5C2-0.150.94×10-43.76×10-42.76×10-5C3-0.133.66×10-41.34×10-53.22×10-4D10.181.75×10-50.54×10-53.18×10-4E1-1.280.43×10-51.29×10-40.87×10-5

(1) 本文的修正投影法得到的分區(qū)風壓系數(shù)與Newton-Rapson方法計算得到的分區(qū)風壓系數(shù)非常接近，證明了本文方法計算三維膜結(jié)構(gòu)風致流固耦合計算的正確性。

(2) 本文修正投影法的修正值λ1的取值對風壓系數(shù)的影響并不是很大，可以看到，隨著修正值λ1增大，風壓系數(shù)誤差范數(shù)的變化并不明顯，但是計算中發(fā)現(xiàn)，修正值的增大會導致計算機時明顯增加，且增加了計算不穩(wěn)定的風險。因此修正值建議取在一定合適的范圍內(nèi)即可。

表3給出了迭代次數(shù)的變化對于風壓系數(shù)的影響，這里還計算了0°風向角時分區(qū)風壓系數(shù)與Newton-Rapson方法相比的誤差范數(shù)變化，其中修正值λ1≈103。

分析表3可以看出，修正投影法的計算精度較高，且迭代次數(shù)對于風壓系數(shù)是有重要影響的：迭代次數(shù)越大，風壓系數(shù)的誤差范數(shù)越小，結(jié)果越準確。但是要注意計算結(jié)果精確度和計算耗時之間的平衡。計算中發(fā)現(xiàn)，迭代次數(shù)平均增大達到約20%，計算精度提高約19%，計算耗時平均約增加7%，說明采用修正投影法計算膜結(jié)構(gòu)的風致流固耦合風壓系數(shù)，計算精度的提高速度是高于迭代次數(shù)和計算耗時的，因此如果需要得到更高精度的結(jié)果，在計算硬件條件容許的情況下是可以通過增加迭代次數(shù)實現(xiàn)的。

表3 不同迭代次數(shù)對平均風壓系數(shù)(均值)的影響

同時，為進一步說明本文修正投影法的計算精度和效率，本文還對比了不同求解方法在不同網(wǎng)格數(shù)下計算膜結(jié)構(gòu)中點的前40 s的風振響應時，采用相同迭代數(shù)時的相對殘差R和耗費機時T(小時)，其中修正投影法的修正值λ1≈103，對比結(jié)果如表4所示。

表4不同網(wǎng)格數(shù)下的相對殘差和耗費機時

Tab.4Relativeresidualsandcomputingtimefordifferentmeshnumbers

網(wǎng)格總數(shù)(萬)Newton-Rapson方法本文方法RTRT314.419×10-51491.122×10-584334.204×10-51788.329×10-693363.986×10-52095.788×10-6103393.795×10-52473.866×10-6114

分析表4可以看出，

(1) 在同樣網(wǎng)格精度和迭代次數(shù)條件下，無論采用傳統(tǒng)Newton-Rapson方法還是本文方法，隨著網(wǎng)格的精細化程度提高，計算相對殘差都逐漸減小，耗費機時也都增加。但本文修正投影法的相對殘差和耗費機時均小于傳統(tǒng)Newton-Rapson方法，說明本文方法的計算精度和效率都是較高的。

(2) 采用傳統(tǒng)Newton-Rapson方法時，當網(wǎng)格精度平均提高約10%時，計算精度平均提高約5%，而耗費機時卻平均增加了約20%，穩(wěn)定性基本不受影響，表明網(wǎng)格劃分的精細程度對于計算結(jié)果的精度和穩(wěn)定性影響是不大的。

(3) 當采用本文修正投影法時，當網(wǎng)格精度平均提高約10%時，計算精度平均提高約30%，而耗費機時卻平均只增加了約10%，穩(wěn)定性同樣基本不受影響；說明在同樣網(wǎng)格精度提高的條件下，本文修正投影法的計算精度和效率顯著提高，也說明本文方法的計算結(jié)果對網(wǎng)格的依賴度較高。

4 結(jié) 論

本文針對柔性膜結(jié)構(gòu)經(jīng)歷大變形的特點，對傳統(tǒng)投影法進行修正來求解上述強耦合整體方程，應用于二維流固耦合問題和三維柔性膜結(jié)構(gòu)風致流固耦合作用進行計算，得到的主要結(jié)論有：

(1) 修正投影法可以用于柔性膜結(jié)構(gòu)的風致流固耦合計算，且其計算精度和效率要高于傳統(tǒng)Newton-Rapson方法。

(2) 修正投影法的修正值對于結(jié)果的影響不大，而計算迭代次數(shù)是影響結(jié)果的重要因素.

(3) 采用修正投影法的計算結(jié)果對網(wǎng)格的依賴度較高，計算中可以通過增加迭代次數(shù)的方法較大幅度的提高計算精度，且計算機時增加相對較少，計算穩(wěn)定性不受影響。