數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用探索

石金貴 李毅 羅妮君

【摘 要】隨著大數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)不斷發(fā)展，面臨的數(shù)據(jù)量越來(lái)越復(fù)雜，統(tǒng)計(jì)學(xué)顯得更加重要，它是開(kāi)發(fā)現(xiàn)代工程技術(shù)、信息技術(shù)、軟件開(kāi)發(fā)、衛(wèi)星通信技術(shù)等的重要工具。本文采用純數(shù)據(jù)，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)變異系數(shù)數(shù)據(jù)構(gòu)造判斷矩陣， 及 值具有高度一致滿意性，求得最大特征向量作為指標(biāo)權(quán)重，再對(duì)原始數(shù)據(jù)作奇異值分解，并將奇異值作為另一權(quán)重向量。組合這兩種權(quán)重作為疊加權(quán)重，結(jié)合 綜合模型進(jìn)行排名，實(shí)驗(yàn)取得較好的結(jié)果。

【關(guān)鍵詞】統(tǒng)計(jì)學(xué)變異系數(shù)據(jù)；矩陣奇異值分解； 綜合模型

評(píng)價(jià)方法在社會(huì)生活的各行各業(yè)中廣泛存在，如藥物成份對(duì)總體藥性效果，各色素對(duì)顏色的影響，生態(tài)環(huán)境質(zhì)量?jī)?yōu)劣，項(xiàng)目經(jīng)濟(jì)效益評(píng)價(jià)，NBA球類競(jìng)賽分析與評(píng)價(jià)等體系。常常涉及多個(gè)影響因素指標(biāo)值，這類問(wèn)題的解決是將多個(gè)指標(biāo)通過(guò)一定的方法處理匯總，得到一個(gè)綜合指標(biāo)值，從這個(gè)指標(biāo)值反映被評(píng)價(jià)問(wèn)題的整體情況。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和大數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)不斷日新月異的發(fā)展，面對(duì)多個(gè)復(fù)雜的影響指標(biāo)，使得評(píng)價(jià)體系系統(tǒng)日趨復(fù)雜，迫切要求進(jìn)行多學(xué)科綜合評(píng)價(jià)，例如用統(tǒng)計(jì)學(xué)與大數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)、計(jì)算機(jī)編程技術(shù)、代數(shù)學(xué)中的矩陣計(jì)算等相結(jié)合進(jìn)行分析和評(píng)價(jià)。這樣就更能使非定性的、模糊不清的、難以量化的問(wèn)題得到系統(tǒng)性強(qiáng)的清晰結(jié)果。

本文對(duì)文獻(xiàn)[1]中NBA賽程排序進(jìn)行評(píng)價(jià)，利用新的方法，用變異系數(shù)構(gòu)造互反判斷矩陣，求出互反判斷矩陣的最大特征值的特征向量作為加權(quán)系數(shù)。將原始數(shù)據(jù) 個(gè)數(shù)據(jù)作為 數(shù)據(jù)矩陣，通過(guò)奇異值分解得到 個(gè)奇異值，每個(gè)奇異值作為另一個(gè)加權(quán)分量。將兩個(gè)加權(quán)系數(shù)進(jìn)行加權(quán)得到疊加加權(quán)系數(shù)。通過(guò)建立 綜合模型，進(jìn)行指標(biāo)值排序，與文獻(xiàn)[ 1 ]的模型結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析。

1.評(píng)價(jià)賽程的因素分析

建立恰當(dāng)?shù)脑u(píng)價(jià)指標(biāo)體系，是整個(gè)評(píng)價(jià)方法工作的最基本的關(guān)鍵一步，要建立有效合理賽程評(píng)價(jià)體系，要求問(wèn)題的影響因子構(gòu)成的指標(biāo)必須完整有效，它的選取直接影響綜合評(píng)價(jià)的準(zhǔn)確性、合理性。

本文利用文獻(xiàn)[1]中的的6個(gè)指標(biāo)進(jìn)行分析，各個(gè)指標(biāo)之間的相互影響具有許多不確定的模糊性，層次分析法提供了處理這類問(wèn)題的一種有效的方法[2]，它是將復(fù)雜問(wèn)題的各個(gè)影響指標(biāo)按照支配關(guān)系主次分層，形成一定的隸屬關(guān)系，并用一定的方法確定各個(gè)影響指標(biāo)的權(quán)重，通過(guò)建立 綜合評(píng)價(jià)模型，在 軟件中進(jìn)行統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)。表略

記上述表1中的30個(gè)球隊(duì)的6個(gè)影響指標(biāo)構(gòu)成原始數(shù)據(jù)單位化矩陣為 。

2.用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)數(shù)據(jù)構(gòu)造兩兩成對(duì)比較互反判斷矩陣

問(wèn)題的影響因子指標(biāo)的重要程度是一個(gè)相對(duì)比較，具有一定的模糊性，現(xiàn)實(shí)數(shù)據(jù)不能完全刻畫(huà)它們的相對(duì)重要規(guī)律，所以建立合理的互反判斷比較矩陣至關(guān)重要，互反判斷比較矩陣是決策者針對(duì)方案給出的關(guān)于兩兩影響指標(biāo)比較的一種偏好信息形式，在比較時(shí)帶有強(qiáng)烈的主觀性、經(jīng)驗(yàn)性，常常導(dǎo)致不同的專家確定的值不相同。

本文用矩陣 的每列的變異系數(shù)，作相互比值構(gòu)造判斷矩陣。由于變異系數(shù)能反映待評(píng)價(jià)對(duì)象之間的差異性[3]，變異系數(shù)之間的差異就能刻畫(huà)其相對(duì)差異性程度，變異系數(shù)公式為

（1）

（其中 表示第 指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差， 表示第 指標(biāo)的平均值， ），由表1的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得矩陣 每列的變異系數(shù)構(gòu)成的向量為

利用變異系數(shù)構(gòu)造的互反判斷矩陣公式以及對(duì)應(yīng)的判斷矩陣分別為

（2）

通過(guò)矩陣H的特征值分解，求出判斷矩陣的最大特征值 ，對(duì)應(yīng)的特征向量并歸一化作為權(quán)重向量，即

一致性檢驗(yàn)。用一致性檢驗(yàn)確定原始判斷矩陣內(nèi)在邏輯關(guān)系是否合理。一致性檢驗(yàn)影響因子指標(biāo)值為

由于判斷矩陣的最大特征值 依賴于 ， 最大特征值 比維數(shù) 大的越多，判斷矩陣的不一致性越嚴(yán)重，用判斷矩陣最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量作為被比較因素對(duì)上層某指標(biāo)的權(quán)向量，其不一致程度就越大，產(chǎn)生的判斷誤差越大。反之，最大特征值 比維數(shù) 大的越小，產(chǎn)生的誤差越小，用的權(quán)向量就越準(zhǔn)確。由計(jì)算可知， ，說(shuō)明判斷矩陣具有完全一致性，比文獻(xiàn)[1]中的 較好。

同時(shí)，隨機(jī)一致性比值為

當(dāng)維數(shù) 時(shí)， ，將數(shù)據(jù)代入得 ，文獻(xiàn)[1]的 ，結(jié)果表明，此時(shí)的互反判斷矩陣具有高度的滿意一致性。

3.利用奇異值構(gòu)造權(quán)重系數(shù)

奇異值分解法的幾何意義是任意兩個(gè)垂直方向的單位向量，在矩陣作用下進(jìn)行拉伸，拉伸后形成的兩個(gè)單位向量任然保持垂直，拉伸的長(zhǎng)度就為奇異值的大小，奇異值的大小就為每個(gè)元素的疊加之和的大小，因此，可以作為客觀權(quán)重向量。

根據(jù)文獻(xiàn)[4]矩陣奇異值分解的基本概念，對(duì)于給定的任意實(shí)數(shù)矩陣 ，存在正交矩陣 和正交矩陣 ，使得矩陣 可以分解為 （其中 ），由表1的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得矩陣 的奇異值分解得到

將每個(gè)對(duì)角元看作 的每列影響指標(biāo)的權(quán)重大小，即對(duì)角元記作權(quán)向量并單位化得

4.一級(jí)指標(biāo)向量和兩個(gè)二級(jí)指標(biāo)向量構(gòu)成交錯(cuò)疊加權(quán)重

本文采用由變異系數(shù)構(gòu)造判斷矩陣的最大特征值對(duì)應(yīng)的特征向量和原始數(shù)據(jù)單位化矩陣 的奇異值構(gòu)成的分量權(quán)重，再綜合標(biāo)準(zhǔn)差構(gòu)成的一級(jí)指標(biāo)權(quán)重進(jìn)行交錯(cuò)組合，最終形成疊加權(quán)重。

取一級(jí)指標(biāo)球隊(duì)因素和媒體因素兩個(gè)影響因子的權(quán)重為 ，并取 ，則疊加權(quán)重計(jì)算式為

（3）

將 的值代入（3）式，代入計(jì)算得綜合疊加權(quán)重為

（4）

5.TOPSIS綜合模型：對(duì)30個(gè)球隊(duì)進(jìn)行效應(yīng)型指標(biāo)排名

第一步，利用綜合權(quán)重系數(shù)加權(quán)規(guī)一化矩陣 ，即

（5）

第二步，確定效益型指標(biāo)的正負(fù)理想值，即

（6）

第三步，正負(fù)理想距離為

（7）

第四步，績(jī)效指標(biāo)值的確定，公式為

（8）

將（4）代入（5）～（8）式，可以得績(jī)效指標(biāo)值，并進(jìn)行排序，對(duì)變異系數(shù)法與文獻(xiàn)[1]的最大離差法的負(fù)理想值進(jìn)行對(duì)比，表略

從表2的對(duì)比結(jié)果，有18個(gè)排序順序完全相同， 對(duì)其余12個(gè)排序不同的隊(duì)進(jìn)行比較，交錯(cuò)順序間隔為1的有6個(gè)隊(duì)，交錯(cuò)間隔為2的2個(gè)隊(duì)，交錯(cuò)間隔為3的2個(gè)隊(duì)，交錯(cuò)間隔為5的1個(gè)隊(duì)，交錯(cuò)間隔為6的1個(gè)隊(duì)。因此，兩種方法排序效果相當(dāng)。

6.結(jié)束語(yǔ)

本文綜合了文獻(xiàn)[1]與[2]、[3]、[4]的研究方法，提出了用數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)方法構(gòu)造互反判斷矩陣的方法，求此矩陣的最大特征值的特征向量作為主觀權(quán)重。通過(guò)求 值，得出本文的方法比文獻(xiàn)[1]構(gòu)造的主觀權(quán)重向量較好，通過(guò)奇異值分解，用奇異值作為權(quán)重分量，并且和主觀權(quán)重向量組合，最終獲得疊加權(quán)重，并且建立TOPSIS綜合模型進(jìn)行績(jī)效排名，結(jié)果表明，使用本文的方法也較好。

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作者簡(jiǎn)介：

李 毅（1969-）女，副教授，主要研究課程論。

羅妮君（1963-）女，副教授，主要研究高等數(shù)學(xué)教育。

通訊作者：

石金貴（1985-）男，碩士，講師，主要研究數(shù)值代數(shù)、數(shù)學(xué)建模應(yīng)用、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)、大數(shù)據(jù)挖掘處理。