突出實用特性的線性代數(shù)教學(xué)方法探索

劉明

摘 要 針對線性代數(shù)課時短、難度大導(dǎo)致的教學(xué)效果不理想問題，不同于傳統(tǒng)的教學(xué)方式，本文提出了一種突出實用特性的線性代數(shù)教學(xué)方法。通過理論聯(lián)系實際的教學(xué)方法激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)線性代數(shù)課程的主動性，提高學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)公式的直觀認知，實現(xiàn)教學(xué)質(zhì)量的有效提升。

關(guān)鍵詞 線性代數(shù) 實用特性 教學(xué)方法

0 引言

線性代數(shù)是數(shù)學(xué)的一個重要分支，同微積分一樣，是一門重要的數(shù)學(xué)課程。它是處理矩陣和向量空間的數(shù)學(xué)分支，是一門非常有效的工具學(xué)科，在現(xiàn)代科學(xué)的各個領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。[1-2]

線性代數(shù)是工科各專業(yè)必修的一門基礎(chǔ)理論課，是學(xué)生后續(xù)進行科學(xué)研究和工程實踐必須掌握的基礎(chǔ)課程。可以說，線性代數(shù)已經(jīng)滲透入了生產(chǎn)和生活中的方方面面，在關(guān)系國計民生、國防安全、航空航天等重要領(lǐng)域中發(fā)揮著重要的作用。[3-4]由于該課程在本質(zhì)上是一門數(shù)學(xué)學(xué)科，而且學(xué)時少、內(nèi)容多、難度大，[5-6]對于這種性質(zhì)的課程，單純依靠授課老師以傳統(tǒng)方式進行授課，很難取得滿意的教學(xué)效果，容易使學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。如何提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)起學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性至關(guān)重要。已經(jīng)有諸多學(xué)者提出了結(jié)合MATLAB進行線性代數(shù)的教學(xué)方法，并取得了一定程度教學(xué)效果的改善。[7]然而，除了在教學(xué)手段上采用傳統(tǒng)板書教學(xué)與多媒體課件相結(jié)合的方式以外，還需要在教學(xué)設(shè)計上狠下功夫，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，積極開拓學(xué)生思維，培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力，這是提高線性代數(shù)教學(xué)質(zhì)量的必經(jīng)之路。

1 線性代數(shù)學(xué)科的特點

線性代數(shù)這門課程概念很多，內(nèi)容抽象難懂，且學(xué)習(xí)內(nèi)容前后聯(lián)系非常密切，概念、性質(zhì)、運算法則多而雜。大部分學(xué)生為了應(yīng)付考試，主要是依靠大量做題來提高成績，而對于數(shù)學(xué)思想和理念，則感到茫然無措，無法深入理解線性代數(shù)的精髓。

線性代數(shù)是目前很多非數(shù)學(xué)專業(yè)大學(xué)生必修的基礎(chǔ)課程之一，如電子信息類專業(yè)、通信工程類專業(yè)、計算機機科學(xué)類專業(yè)、機械工程類專業(yè)、控制科學(xué)類專業(yè)、航空航天類專業(yè)等，是相關(guān)專業(yè)碩士研究生學(xué)習(xí)、博士研究生學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)。各個階段的學(xué)生畢業(yè)以后，無論后續(xù)從事科學(xué)研究還是工程設(shè)計工作，均與線性代數(shù)息息相關(guān)，其已經(jīng)滲透進了我們生活和工作中的點點滴滴。在計算機日益普及的今天，線性代數(shù)課程的地位和作用顯得更為重要。由于線性代數(shù)問題廣泛存在于自然科學(xué)和工程技術(shù)的各個領(lǐng)域，而某些非線性問題在一定條件下也可以轉(zhuǎn)化為線性問題，因此線性代數(shù)的理論和方法得到了廣泛的應(yīng)用。但是，線性代數(shù)的高度抽象性和邏輯嚴謹性讓許多大學(xué)生望而生畏，感到枯燥乏味，很難產(chǎn)生主動學(xué)習(xí)的興趣，大多學(xué)生僅僅是為了應(yīng)付考試而進行被動學(xué)習(xí)。

欲使學(xué)生學(xué)好線性代數(shù)，強化學(xué)生的自主學(xué)習(xí)興趣是核心所在，作為主講老師需要從根本上改善數(shù)學(xué)學(xué)科的繁難、枯燥、乏味等負面特點，使學(xué)生在學(xué)習(xí)線性代數(shù)的過程中能享受到樂趣。線性代數(shù)是一門思維抽象且邏輯性強的學(xué)科，課堂上如何使抽象的概念通俗化、復(fù)雜的知識簡明化，在有限的時間里，如何使學(xué)生的邏輯思維得到最大限度的訓(xùn)練，讓學(xué)生生動直觀地感受到線性代數(shù)強大的力量和魅力所在。

2 突出實用特性的線性代數(shù)教學(xué)

雖然線性代數(shù)的本質(zhì)為數(shù)學(xué)課程，但如果按照傳統(tǒng)的教學(xué)思路進行授課，只是針對課程中的數(shù)學(xué)定義、概念和理論進行授課，則無法從根本上改善數(shù)學(xué)學(xué)科的繁難、枯燥、乏味等負面特點，從而很難避免讓學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣更是無從談起。

如果能夠突出線性代數(shù)的實用特性，使學(xué)生生動真切的感受到線性代數(shù)的力量和魅力，結(jié)合具體的實際應(yīng)用背景，則較為容易激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生覺得學(xué)有所用，感受到學(xué)習(xí)線性代數(shù)這門課程的必要性。那么為線性代數(shù)的教學(xué)內(nèi)容找到具體應(yīng)用的實例，是理論結(jié)合實際進行線性代數(shù)教學(xué)的重中之重，授課教師需要在這方面下功夫鉆研，使得實際應(yīng)用的例子能完美無縫地銜接進授課內(nèi)容當中。

一種非常有效的方式就是教師將其自身的科研應(yīng)用引入到課堂教學(xué)當中。教師對自己課題的研究都相當深入，對線性代數(shù)在具體應(yīng)用中的物理意義理解透徹，可以達到深入淺出講解抽象定義和概念的目的。此外，由于教師自身對應(yīng)用背景較為熟悉，也容易激發(fā)學(xué)生開展鉆研相關(guān)領(lǐng)域研究的興趣，為后續(xù)研究生求學(xué)或相關(guān)領(lǐng)域求職打下基礎(chǔ)。以下通過本課題組科研項目中用到的一個科研實例對矩陣部分的基礎(chǔ)定義和概念開展分析。

2.1 矩陣的相關(guān)概念

矩陣：由m譶個元素aij（i=1， 2， …， m； j=1， 2， …， n）排成的m行n列數(shù)表，稱為一個m譶矩陣，記為：

其中，aij稱為該矩陣第i行第j列的元素，也可稱為矩陣A的第（i， j）元。

方陣：行數(shù)與列數(shù)相等的矩陣，稱為方陣。

矩陣的轉(zhuǎn)置：將矩陣A的各行變成同序數(shù)的列得到的矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT。

對稱矩陣：設(shè)A=（aij）為n階方陣，若AT=A，即aij=aji，（i， j=1， 2， …， n），稱A為對稱陣。

單純的數(shù)學(xué)定義無法使學(xué)生產(chǎn)生直觀的認識，死記硬背概念和公式不但會使學(xué)生本能的產(chǎn)生厭學(xué)心理，更為重要的是，即使暫時記住了概念和公式，由于無法理解其深入的含義，過一段時間也會忘記。

2.2 目標識別中矩陣的應(yīng)用

在圖像處理、數(shù)據(jù)分類與聚類分析、飛行器設(shè)計、自動控制、目標識別領(lǐng)域中，矩陣的應(yīng)用隨處可見，以下以SAR圖像目標識別中的一個例子對矩陣的應(yīng)用進行說明。識別時可通過近鄰矩陣的構(gòu)建描述數(shù)據(jù)的局部結(jié)構(gòu)，實現(xiàn)數(shù)據(jù)細節(jié)信息的有效捕獲與保持，為高精度識別提供基礎(chǔ)。將近鄰矩陣P的每一個元素Pst建模為以下形式：

（1）

其中，vs和vt表示數(shù)據(jù)集中的第個和第個樣本，=1，2，3…，表示SAR圖像的訓(xùn)練樣本總數(shù)，exp[Y宂表示指數(shù)函數(shù)，為常數(shù)，實際中可通過交叉驗證方法確定，表示樣本vt的個近鄰點，表示樣本vs的個近鄰點。表征了樣本vs和vt的局部結(jié)構(gòu)信息，可實現(xiàn)數(shù)據(jù)內(nèi)在本質(zhì)特性的準確描述。仔細觀察公式（1）可以發(fā)現(xiàn)，如果樣本vs和vt的距離較近，則對應(yīng)公式（1）的權(quán)值較大，如果樣本vs和vt的距離較遠，則對應(yīng)公式（1）的權(quán)值較小。通過構(gòu)建融入公式（1）的目標函數(shù)，即可實現(xiàn)數(shù)據(jù)局部結(jié)構(gòu)的有效描述。高維空間距離相近的目標樣本，在經(jīng)過降維處理后，在低維空間里相應(yīng)樣本之間的距離仍然較近。數(shù)據(jù)的本質(zhì)結(jié)構(gòu)特征得到了準確的描述和保持，為高精度的SAR圖像目標識別提供了基礎(chǔ)，有效減弱了目標SAR圖像的方位角敏感特性。

仔細觀察公式（1）可以發(fā)現(xiàn)，公式（1）表示的矩陣為一個對稱矩陣，因為P=PT，滿足對稱矩陣的定義。從其物理意義可知，其既可以實現(xiàn)樣本vs和vt之間關(guān)系的描述，也可以實現(xiàn)樣本vt和vs之間的關(guān)系描述，因為這兩個樣本在空間中的分布是確定的。

通過近鄰矩陣對數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)進行描述后，可通過分類器實現(xiàn)識別。通過這個具體實際應(yīng)用中的例子，不僅可以使學(xué)生從枯燥的數(shù)學(xué)定義中擺脫出來，更重要的是讓學(xué)生不再迷茫困惑。然而需要說明的是，在教學(xué)中也不宜引入過為復(fù)雜的矩陣應(yīng)用，因為復(fù)雜的應(yīng)用和推導(dǎo)又容易使學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒，或者使得學(xué)生陷入復(fù)雜的應(yīng)用背景研究，而忽略了線性代數(shù)本身的學(xué)習(xí)。

3 結(jié)論

為克服線性代數(shù)教學(xué)過程中不可避免的概念定義多、抽象難懂的問題，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，本文提出一種突出實用特性的線性代數(shù)教學(xué)方法，通過理論教學(xué)與科研實際中的具體應(yīng)用背景中涉及的線性代數(shù)知識相結(jié)合的辦法，使得學(xué)生對枯燥抽象的數(shù)學(xué)概念有較為生動的理解和掌握，達到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

參考文獻

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