完備格上sup-U合成模糊關系方程有極小解的條件

唐 婷

(西華師范大學數(shù)學與信息學院，四川 南充 637009)

0 引言

1976年，Sanchez在文獻[1]中首先研究并給出了完備Brouwer格上sup-inf合成模糊關系方程解集非空的充要條件。Sanchez之后人們開始對格上不同的合成模糊關系方程進行了研究。1995年，F(xiàn)odor與Keresztfalvi在文獻[2]中證明了無論是理論上還是實際應用中非交換非結合的模糊析取及其對應的模糊蘊含在逼近推理中是有效的。因此，在文獻[3]中De Baets討論了完備分配格上的sup-T合成模糊關系方程后，Wang和Xiong等[4-5]人在完備Brouwer格上進一步討論了sup-conjunctor合成模糊關系方程，并給出了方程解集非空的充要條件及解集非空時極小解存在的充要條件。2011年，Lin與Wu等[6]人定義了u-模，它是比算術平均，連續(xù)的Archimedeant-模等算子更一般的非交換非結合算子。同時，Lin與Wu等人在文獻[6]中研究了[0，1]格上sup-U合成模糊關系方程解集的一些性質(zhì)，并給出了該方程轉(zhuǎn)化成覆蓋問題的具體方法。2013年，Shieh在文獻[7]中研究覆蓋問題時，進一步給出了sup-U合成模糊關系方程的極小解與解集?；谇懊鎸up-U合成模糊關系方程的研究，本文在有限論域上當方程右手項系數(shù)為并既約元時，討論sup-U合成模糊關系方程存在極小解的條件。

1 預備知識

設L為完備格，0和1為L的泛界。m，n為正整數(shù)，M={1，2，…，m}，N={1，2，…，n}。

本節(jié)將給出u-模的概念和一些后文將要用到的相關知識。

定義1[3]如果L上的一個二元算子T：L2→L滿足：對任意的a，b，c∈L，

1)交換律：T(a，b)=T(b，a)；

2)結合律：T(T(a，b)，c)=T(a，T(b，c))；

3)單調(diào)性：如果b≤c，則T(a，b)≤T(a，c)；

4)邊界條件：T(a，0)=0，T(a，1)=a，

則稱T為定義在L上的一個t-模。

定義2[6]如果L上的一個二元算子U：L2→L滿足：對任意的a，b∈L，

1)U(0，0)=0，U(1，1)=1；

2)當U(a，b)>0時，U(a，b)是嚴格單增函數(shù)，

則稱U為定義在L上的一個u-模。

定義3[8]給定r∈R(R為實數(shù)集)，w1，w2∈[0，1]且w1+w2=1，對任意的x，y∈R，稱

Mw1，w2，r(x，y)=

為加權冪平均。

記T(U)={U|U是完備格L上的連續(xù)u-模},應用文獻[4]中的思想，可定義如下兩個算子：

定義4 設U∈T(U)，定義二元算子IU：L2→L與JU：L2→L如下：對任意的a，b∈L，

IU(a，b)=sup{x∈L|U(a，x)≤b}

JU(a，b)=inf{x∈L|U(a，x)≥b}，

約定inf?=1，sup?=0。

定義5[9]如果a=b∨c蘊含a=b或a=c，則稱a為格L上的并既約元。

2 方程supi∈MU(ai，xi)=b存在極小解的條件

對任意的i∈M，ai，b∈L，X=(x1，x2，…，xm)T為一個未知向量。稱

supi∈MU(ai，xi)=b，

(1)

為定義在L上的sup-U合成模糊關系方程。其中，U∈T(U)。

記χ={X=(x1，x2，…，xm)T|supi∈MU(ai，xi)=b}。

類似于文獻[10]，可證明下面命題。

命題1 設X1，X2∈χ，則X1∨X2∈χ。而且對任意的X，若X1，X2∈χ，且X1≤X≤X2，則X∈χ。

記χ={X|X為χ中的極小元}。

以下考慮方程U(a，x)=b。

命題2 設a，b∈L且b≠0，如果{x∈L|U(a，x)≤b}≠?，則{x∈L|U(a，x)≤b}=[0，IU(a，b)]。

證明由定義2有U(a，0)≤U(a，x)≤b，所以0∈{x∈L|U(a，x)≤b}。又由U∈T(U)，則

U(a，IU(a，b))=U(a，sup{x∈L|U(a，x)≤b})=sup{U(a，x)|U(a，x)≤b}≤b。

因此，易見{x∈L|U(a，x)≤b}?[0，IU(a，b)]，且{x∈L|U(a，x)≤b}?[0，IU(a，b)]。

故{x∈L|U(a，x)≤b}=[0，IU(a，b)]。

命題3 設a，b∈L且b≠0，如果{x∈L|U(a，x)≥b}≠?，則{x∈L|U(a，x)≥b}=[JU(a，b)，1]。

證明由定義2有U(a，1)≥U(a，x)≥b，所以1∈{x∈L|U(a，x)≥b}。又由U∈T(U)，則

U(a，JU(a，b))=U(a，inf{x∈L|U(a，x)≥b})=inf{U(a，x)|U(a，x)≥b}≥b。

因此，易見{x∈L|U(a，x)≥b}?[JU(a，b)，1]，且{x∈L|U(a，x)≥b}?[JU(a，b)，1]。

故{x∈L|U(a，x)≥b}=[JU(a，b)，1]。

引理1[6]設U∈T(U)，a，b，x∈L。若b≠0，則U(a，x)=b至多只有一個解。

由命題2、命題3和引理1可得以下定理：

定理1 設a，b∈L且b≠0，{x∈L|U(a，x)=b}≠?當且僅當IU(a，b)=JU(a，b)。且{x∈L|U(a，x)=b}≠?時x=IU(a，b)=JU(a，b)。

由定義5可得下面命題：

命題4 若supi∈MU(ai，xi)=b且b是并既約元，則存在i0∈M使得b=U(ai0，xi0)。

命題5 設supi∈MU(ai，xi)=b，若b=0，則χ≠?當且僅當任意的i∈M，ai=0。且χ≠?時，解向量為0。

因此，若無特別說明，本文以下設b≠0。

記G(b)={i∈M|IU(ai，b)=JU(ai，b)}。

定理2 若χ≠?，G(b)=?，則b不是并既約元。

證明假設b是并既約元，設

X=(x1，x2，…，xm)T∈χ，即b=supi∈MU(ai，xi)，則由命題4知存在i0∈M使得b=U(ai0，xi0)。由定理1可知IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，則i0∈G(b)，即G(b)≠?，矛盾。

定理3 若b是并既約元，則χ≠?當且僅當G(b)≠?。

證明如果χ≠?，則由定理2知結論顯然。

反過來，假設G(b)≠?，設i0∈G(b)，則IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，由定理1知{x∈L|U(ai0，x)=b}≠?。

設xi0=IU(ai0，b)=JU(ai0，b)，于是有

U(ai0，xi0)=U(ai0，IU(ai0，b))=b。

定義X=(x1，x2，…，xm)T如下：對任意的i∈M，

(2)

由定義2知當i≠i0時有：

U(ai，0)≤U(ai，IU(ai，b))=U(ai，sup{x∈L|U(ai，x)≤b})=sup{U(ai，x)|U(ai，x)≤b}≤b，

所以supi≠i0U(ai，0)≤b。因此

supi∈MU(ai，xi)=supi≠i0U(ai，0)∨U(ai0，xi0)=b。即X∈χ。

類似于Sanchez文獻[1]中的思想，有以下定理成立。

定義X=(x1，x2，…，xm)T如下：對任意的i∈M，

(3)

定理6 若χ≠?且b是并既約元，則χ中存在極小元。

證明由定理3知G(b)≠?，設k∈G(b)，則IU(ak，b)=JU(ak，b)，于是由定理1知

U(ak，IU(ak，b)=b。

(4)

由定義1知當i≠k時有U(ai，0)≤U(ai，IU(ai，b))=U(ai，sup{x∈L|U(ai，x)≤b})=sup{U(ai，x)|U(ai，x)≤b}≤b，

所以supi≠kU(ai，0)≤b。故

定理7 若χ≠?且b是并既約元，則χ中所有的元都有(4)的形式。

(5)

(6)

由定理4至定理8，易得下面定理：

3 結語

在完備格L上，討論了sup-U合成模糊關系方程解集的一些性質(zhì)，其中U為u-模。給出了在有限論域上，當方程右手項系數(shù)為并既約元時sup-U合成模糊關系方程存在極小解的條件。