一類非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程的周期解與沙漠植被周期現(xiàn)象

李春利

(商丘學(xué)院計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河南 商丘 476000)

0 引言

在自然界中，生物種群對(duì)共有資源的爭(zhēng)奪多年來(lái)一直被認(rèn)為是種群動(dòng)態(tài)的基本過(guò)程之一。研究結(jié)果顯示，如果一個(gè)自然環(huán)境中有兩個(gè)或兩個(gè)以上種群生存，那么它們之間就要存在著或是相互競(jìng)爭(zhēng)，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食(食餌與捕食者)的關(guān)系。當(dāng)兩個(gè)種群為了爭(zhēng)奪有限的同一食物來(lái)源和生活空間而進(jìn)行生存競(jìng)爭(zhēng)時(shí)，最常見(jiàn)的結(jié)局是，能夠在較少資源條件下生存的種群往往會(huì)戰(zhàn)勝并取代另外一個(gè)種群。N個(gè)種群也是可以共存的，只要有N種不同資源的存在并且每個(gè)種群要保持對(duì)某種資源很強(qiáng)勁的競(jìng)爭(zhēng)力，也就是說(shuō)，它們都要有一個(gè)生態(tài)位(生態(tài)系統(tǒng)中每種生物生存所必需的生境最小閾值)。

在國(guó)際上，干旱和半干旱氣候帶的植被格局一直都是人們研究復(fù)雜系統(tǒng)中自發(fā)對(duì)稱性破缺現(xiàn)象的典型課題。對(duì)有限水資源的爭(zhēng)奪是該地區(qū)灌木類植被形成空間格局的主導(dǎo)因素，同時(shí)對(duì)水資源的爭(zhēng)奪也會(huì)大大減少灌木類植物之間的相互影響。調(diào)查表明，在水量供應(yīng)不足的情況之下，植被群是會(huì)滅絕的。

如果資源涉及空間動(dòng)態(tài)的話，情況將變得復(fù)雜得多。當(dāng)前理論和實(shí)踐方面的研究多是種群對(duì)水源的競(jìng)爭(zhēng)，然而光照及有限的其他資源也在逐漸被上層的水生浮游植物所消耗。這種模式或許可以拓展到動(dòng)物群的空間動(dòng)態(tài)，但不支持時(shí)間獨(dú)立的模式。

對(duì)于單物種(灌木類)—單資源(水)系統(tǒng)的植被格局來(lái)說(shuō)，實(shí)地研究揭示了大量穩(wěn)定及近乎穩(wěn)定的自發(fā)性分離模式。理解這種格局種群數(shù)量的潛在機(jī)制及其可觀測(cè)到的恢復(fù)力是人們理解沙漠化進(jìn)程很重要的一步，當(dāng)然環(huán)境效應(yīng)如氣候變化和過(guò)度放牧都會(huì)破壞生態(tài)平衡而產(chǎn)生穩(wěn)定的干旱狀態(tài)。從技術(shù)層面上講，水—物種體系被認(rèn)為是一個(gè)空間擴(kuò)展性非線性體系，也就是說(shuō)，在某種參數(shù)范圍內(nèi)，會(huì)產(chǎn)生帶狀、點(diǎn)狀或迷宮式的區(qū)域，以及其他由于正的反饋機(jī)制而產(chǎn)生的有序排列，比如對(duì)水徑流和植物群蒸發(fā)的抑制作用。

總之，在種群所依托的單資源(比如沙漠地區(qū)的水資源)相對(duì)匱乏的情況下，要充分利用現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)與生態(tài)系統(tǒng)的自然規(guī)律，搞好生態(tài)建設(shè)，尤其是植被建設(shè)，可謂意義重大。植被建設(shè)是生態(tài)建設(shè)的主體，水資源又是限制植被建設(shè)的主要因素，因此，研究植被格局與水資源的關(guān)系，探討二者相互作用的機(jī)理具有重要的理論意義和實(shí)踐意義。

文獻(xiàn)[1]給出了描述沙漠地區(qū)植被分布與生長(zhǎng)狀態(tài)的無(wú)量綱化的非線性反應(yīng)擴(kuò)散方程模型：

(1)

式中：B(x，t)與W(x，t)分別表示t時(shí)刻x處的沙漠地區(qū)植被密度與水量密度；R(t)與V(x)分別表示t時(shí)刻的降雨量水平與x處的地形坡度向量；μ，λ與D均為正常數(shù)，依次表示植被在缺水條件下的相對(duì)死亡率，植被消耗水的程度與水的擴(kuò)散作用系數(shù)；DΔW(x，t)+V(x)▽W(xué)(x，t)，W(x，t)B(x，t)，-λW(x，t)B(x，t)，分別反映徑向水流反應(yīng)擴(kuò)散作用，供水量對(duì)植被的促進(jìn)作用及植被對(duì)水的消耗作用。依據(jù)問(wèn)題背景的實(shí)際意義，初始函數(shù)B0(x)≥0，W0(x)≥0。

為方便起見(jiàn)，假定在任意時(shí)刻方程組(1)在所研究的空間區(qū)域Ω上均服從空間周期邊界條件，并假定B0(x)與W0(x)均為光滑函數(shù)，這里定義：

K=max{M，R0}。

(2)

1 解的存在性

定理1 偏微分方程組(1)存在唯一全局光滑解(B(x，t)，W(x，t))，并滿足?t>0，x∈Ω時(shí)，都有

0≤B(x，t)≤B0e(K-μ)t，0≤W(x，t)≤K。

(3)

證明由半群理論[2]可知，偏微分方程組(1)存在唯一一個(gè)以t=0為起點(diǎn)的局部解，為說(shuō)明解是全局的，只需說(shuō)明該解不會(huì)在其存在區(qū)間上發(fā)生爆破現(xiàn)象即可，如此則僅需式(3)成立，然后利用數(shù)學(xué)延拓的方法，方程組(1)存在唯一全局光滑解的結(jié)論自然成立。

由方程組(1)中第一個(gè)方程可知

(4)

方程組(1)中第二個(gè)方程可寫(xiě)成

(5)

下面利用反證法證明

W(x，t)≥0，?t>0，x∈Ω。

(6)

假設(shè)存在一點(diǎn)(x0，t0)，使得W(x0，t0)<0，不失一般性，不妨設(shè)W(x，t0)在x0處達(dá)到極小值，且Wt(x0，t0)<0，則有(ΔW)(x0，t0)≥0，(▽W(xué))(x0，t0)=0，將其代入式(5)，得到矛盾，因此式(6)成立。

下面做一個(gè)平移變換，同理可證

W(x，t)≤K，?t>0，x∈Ω。

(7)

令u(x，t)=W(x，t)-K，則由式(5)可知

(8)

由式(2)即知u(x，0)=W0(x)-K≤0。

若存在一點(diǎn)(x0，t0)，使得u(x0，t0)>0，不失一般性，同樣不妨設(shè)u(x，t0)在x0處達(dá)到極大值，且ut(x0，t0)>0，因此有(Δu)(x0，t0)≤0，(▽u)(x0，t0)=0，將其代入式(8)，得到矛盾，因此式(7)成立。

綜上可知，式(3)成立。

2 解的周期性

不難發(fā)現(xiàn)，依據(jù)現(xiàn)有的偏微分理論很難直接分析出偏微分方程組(1)解的相關(guān)性質(zhì)，這里我們根據(jù)生物學(xué)理論及相關(guān)背景知識(shí)[1]，可以考慮合理的簡(jiǎn)化模型——常微分方程組(見(jiàn)式(9))。事實(shí)上，我們完全可以假定B(x，t)與W(x，t)均服從均勻分布，這就使得它們獨(dú)立于空間坐標(biāo)x，或者就把B(x，t)視為Ω上的平均植被量或植被總量，記為B(t)，把W(x，t)視為Ω上的平均水量或總水量，記為W(t)。

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，在生物學(xué)意義上，偏微分方程組(1)可簡(jiǎn)化為常微分方程組

(9)

當(dāng)然，對(duì)于初始點(diǎn)而言，只有非平凡情況B0>0，W0≥0才具有現(xiàn)實(shí)意義。

引理2 (Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理)[3]設(shè)A為n維歐式空間R2中的緊致凸子集，則對(duì)A上的任一自映射f:A→A至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即存在x∈A，使得f(x)=x。

該引理具體證明詳見(jiàn)文獻(xiàn)[3]。

定理2 若雨量水平函數(shù)R(t)為非負(fù)非平凡周期函數(shù)，即?t>0，R(t)=R(t+T)，其中T>0為常數(shù)，則常微分方程組(9)總存在一個(gè)以T為周期的周期解。

證明對(duì)常微分方程組(9)中的兩個(gè)方程關(guān)于t同時(shí)在區(qū)間[0，T]上積分，可得

由常微分方程組解對(duì)初值的連續(xù)依賴性，易知映射(B(T)，W(T))=F(B0，W0)，B0≥0，W0≥0是連續(xù)的。

為證明方程組(9)的周期解的存在性，只需證明映射F在R2第一象限(含邊界)有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，為此，由Brouwer不動(dòng)點(diǎn)定理可知，這里只需說(shuō)明連續(xù)映射F把R2第一象限(含邊界)的某個(gè)緊致凸子集映到自身即可。

這里設(shè)置二維平面(R2)上一個(gè)集合

SL={(p，q)|p≥0，q≥0，λp+q≤L}，易知，?L>0，SL均為R2中的緊致凸子集。

由方程組(9)可知

其中，σ=min{μ，1}，從而由引理1可知

(10)

設(shè)定L滿足R0≤σL，則由式(11)即知λB(t)+W(t)≤L，也即F(B0，W0)∈SL，因此由引理2可知，映射F在集合SL上存在不動(dòng)點(diǎn)，此即證明了常微分方程組(9)以T為周期的周期解的存在性。

3 結(jié)果分析

定理1與定理2充分揭示了沙漠植被密度周期性現(xiàn)象的存在性。具體地說(shuō)，若映射F的不動(dòng)點(diǎn)在(0，q0)處取得(q0≥0)，由式(4)易知B(t)≡0，?t≥t0，其中t0滿足B(t0)=0，W(t0)=q0，此時(shí)方程的解表示穩(wěn)定的沙漠狀態(tài)；若不動(dòng)點(diǎn)在(p0，q0)處取得(p0>0，q0≥0)，方程的解則反映了一種穩(wěn)定的沙漠植被密度周期性現(xiàn)象，事實(shí)上，由式(4)可知B(t)>0，?t≥t0，其中t0滿足B(t0)=p0，W(t0)=q0，定理2又說(shuō)明了B(t)是周期函數(shù)，因此B(t)總有正下界，也就是說(shuō)，總是存在著穩(wěn)定的沙漠植被密度周期性狀態(tài)。