內孤立波對不同水深豎直圓柱體水平作用力分析*

殷文明，郭海燕*，廖發(fā)林，王欣香，王 飛

(1.中國海洋大學工程學院，山東 青島 266100；2.山東科技職業(yè)學院，山東 濰坊 261053；3.山東科技大學，山東 青島 266590)

內孤立波是發(fā)生在密度穩(wěn)定層化的海水內部的波動，其最大振幅出現(xiàn)在海洋內部，是海洋中的一種普遍現(xiàn)象。內孤立波具有大振幅、長周期及波長等特征，而且在傳播過程中會引起局地海面海水強烈輻聚和產生突發(fā)性強流(波致流)。蔡樹群等曾在呂宋海峽到東沙群島之間的海域進行內孤立波的觀測發(fā)現(xiàn)，其最大振幅可達170 m，其波致流速介于1.5和2.9 m·s-1之間[1-4]。由于非線性效應和頻散效應存在一定尺度關系上的動力學平衡，使得真實海洋中的內孤立波在傳播過程中能夠保持長時間的波形和傳播速度不變，而理想流體假設下則為永形波，可以用KdV、eKdV、KdV-mKdV和MCC等理論描述[5-8]。內孤立波的非線性大振幅波動對海洋工程、石油鉆井平臺、海底石油管道以及潛體等造成嚴重威脅。

在海洋工程結構物的構件中，圓柱體是最為常見的一種幾何形狀，比如導管架的桿、立管、錨鏈，半潛式平臺、張力腿平臺、重力式平臺的樁或柱以及潛艇、深潛器的主體、半潛平臺的橫撐等。因此，對內孤立波與圓柱型結構物的相互作用進行研究具有重要的理論意義和實用價值。蔡樹群[9-11]等通過引入莫里森方程給出了內孤立波對豎直圓柱體水平作用力及力矩的計算方法，分別考慮單模態(tài)、多模態(tài)及剪切流的影響，并利用海洋內波實測資料進行了算例分析，指出內孤立波對豎直圓柱體的作用力不可忽視。徐肇廷、陳旭[12]等試驗研究了水平樁柱與內波的相互作用，分析了水平阻力與內波波要素的關系。杜濤[13]等基于海洋內波實測資料，利用莫里森方程對小尺度樁柱的內孤立波載荷進行了計算，結果發(fā)現(xiàn)內孤立波海洋平臺的作用力很大，對其安全性能產生嚴重威脅。張莉、郭海燕等[14]對內孤立波作用下頂張力立管的極值響應進行了研究，指出內孤立波對立管產生很大影響。尤云祥[15-16]等通過試驗室試驗以及數(shù)值水槽造波方法對內孤立波與直立圓柱體的相互作用特性進行了研究。

以上研究都是針對貫穿水深或吃水深度較大的一整根圓柱體的總體受力進行分析。Camassa[17]等通過系列PIV試驗以及對歐拉方程組進行數(shù)值求解，研究了兩層流體內孤立波波谷位置處最大水平流速的垂向分布，并且指出層厚相對較淺的上層流體可以忽略水平流速的垂向變化，可用層平均速度代替，而層厚相對較深的下層流體水平速度隨深度發(fā)生一定變化。因此，本文通過設計試驗以及理論計算，對位于不同水深處各相同豎直圓柱體所受內孤立波水平作用力進行分析，探索不同振幅內孤立波以及不同水深處豎直圓柱體所受內孤立波水平作用力的變化規(guī)律。

1 理論分析

1.1 內孤立波理論

本文將實際海洋中的密度分層簡化為兩層模型，取上、下層流體深度分別為h1和h2，上、下層流體密度分別為ρ1和ρ2。建立直角坐標系oxyz，ox軸位于未擾動兩層流體的內界面上，oy軸垂直于紙面向里為正，oz軸垂直向上為正，內孤立波沿ox軸正向傳播，振幅為a。采用剛蓋假設下四類內孤立波理論[5、7-8](KdV、eKdV、KdV-mKdV和MCC)進行研究，其理論解分別如下所示。

(1)KdV理論

(1)

(2)eKdV理論

X=x-ceKdVt。

(2)

(3)KdV-mKdV理論

(3)

λmKdV=

(4)MCC理論

X=x-cMCCt。

(4)

常微分方程(4)為MCC方程，該方程無顯式解，只存在具有橢圓積分形式的隱式解表達式。原始文獻作者給出了上凸波時的隱式解表達式，本文通過推導給出了下凹波時的隱式解表達式，如下所示

(5)

MCC理論是一類強非線性和弱色散的內波理論，而其余理論都是在弱非線性和弱色散的條件下得到的，不同的是KdV理論只含有一階的平方非線性項并要求非線性參量和色散參量具有一定的平衡關系，KdV-mKdV理論和eKdV理論都是在KdV理論基礎上增加了一個二階的立方非線性項，打破了KdV理論要求的非線性和色散平衡關系式。從理論方面定性分析可知，KdV理論適用于小振幅的情況，KdV-mKdV理論和eKdV理論適用于相對較大振幅的情況，而MCC理論則適用于大振幅的情況。

1.2 內孤立波波致流速

內孤立波波致流場(向右行進波)的層平均水平速度[8]可以表示為，

(6)

其中：η1=h1-ζ；η2=h2+ζ。

Camassa等根據(jù)粒子成像測速(PIV)試驗數(shù)據(jù)，給出了淺水模型下的層平均水平速度和瞬時速度的近似關系式[17]，如下所示：

(7)

其中，i=1,2代表上下層流體。

(8)

1.3 內孤立波水平作用力計算方法

(9)

式中：fI為慣性力項，fd為速度力項；Cm和Cd分別為慣性力系數(shù)和速度力系數(shù)，其中Cm=1+Ca，Ca為附加質量系數(shù)；ρ為海水的平均密度；U取結構物軸心處原流場水質點速度；D為結構物直徑。

由式(7)～(9)可得，內孤立波作用下任意柱高(z1-z2)上的水平力為

(10)

其中：ui是柱體軸中心位置任意高度z處內波流場水質點水平速度，i=1,2代表上、下層流體。

2 試驗方法

試驗在中國海洋大學物理海洋試驗室的試驗水槽中進行，該水槽的長、寬和高分別為15、0.4和0.7 m，額定水深為0.6 m。水槽的底面及兩側壁均為鋼化玻璃黏合而成，透光性能良好，便于使用光學儀器進行內波及分層流的觀測。該水槽利用剛性支撐架進行固定，以保證其具有良好的穩(wěn)固性。

采用有機玻璃管作為豎直圓柱型結構物模型，其直徑D和長度L分別為8和9 cm。采用PVC材料制作圓柱體內徑尺寸大小的連接件，并用強力膠將其粘在圓柱體內部中間位置，用于連接測力傳感器。傳感器另一端通過加工制作的“L”形連接件與固定桿件剛性連接。固定桿件是通過車床加工制作的剛性很大的不銹鋼方形實心桿，其尺寸為2.5 cm×1.5 cm，在桿件的不同位置上鉆有槽型孔，用于固定“L”形連接件。固定桿件通過螺栓與位于水槽上方的固定裝置剛性連接。將6段相同的豎直圓柱體由上及下依次放置于水槽中間偏后的位置，分別編號為圓柱體1～6，如圖1所示。當為內孤立波時，圓柱體1位于上層流體中，圓柱體2～6都位于下層流體中。每段圓柱體都通過測力傳感器與支撐系統(tǒng)連接，用以測量各段圓柱體所受作用力。

采用最早由Oster[19]提出的“雙缸法”制取分層水。在2個完全相同且相互獨立的水箱中分別配置試驗所需的密度均勻的低密度鹽水和高密度鹽水。試驗之前先通過進水系統(tǒng)注入上層鹽水到試驗設置深度，而后通過蘑菇形進水口緩慢注入下層鹽水，直至水深達到試驗設置高度為止。最終在直長水槽中配置了如下參數(shù)的分層流體：上層為低密度鹽水，其密度及層厚分別為ρ1=1 035 kg·m-3和h1=0.095 m，下層為高密度鹽水，其密度及層厚分別為ρ2=1 054 kg·m-3和h2=0.483 m。背景流體密躍層很薄，可以作為界面波來處理。

采用重力塌陷法進行內孤立波造波試驗，其具體操作過程如下：首先通過分層水制取系統(tǒng)制取密度穩(wěn)定層化的液體后，在水槽的左端位置用隔離板隔出一塊區(qū)域，然后向此區(qū)域內緩慢注入與上層流體密度相同的同一液體，直至隔離板左右兩側的界面位置出現(xiàn)一定的高度差(塌落高度)時迅速抽出隔離板，最后在重力作用下隔板左側位置的上層流體向前運動而右側下層流體向后運動，從而對背景穩(wěn)定層化流體產生擾動，進而產生內孤立波。更改塌落高度可以得到不同振幅大小的內孤立波，分別進行塌落高度為10、15、20及25 cm的4次造波試驗。

本次內孤立波試驗采用鍍銀空心微珠作為示蹤粒子，能跟較好的隨流體質點一起運動。采用連續(xù)固態(tài)激光器，布置于水槽上方并垂直向下照射，得到微小厚度(約3 mm)的片光。在水槽尾端位置放置消波板，利用CCD高速數(shù)字攝像機在水槽中間位置對內波流場進行測量，使其拍攝如上圖所示的視場范圍A(陰影面積)，寬度L1=30 cm，CCD高速數(shù)字攝像機拍攝的照片像素為1 920×1 080。斷面a位于視場A的中心位置，通過對采集到的流場數(shù)據(jù)信息進行處理可以得到該斷面上的波面位移時間序列。

3 理論與試驗結果的對比和分析

圖1 內孤立波對豎直圓柱體水平作用力試驗Fig.1 Eexperiment of horizontal force on vertical cylinders under internal solitary waves

3.1 內孤立波波剖面時間序列

通過PIV技術，測得4次造波試驗下的內孤立波振幅|a|分別為4.06、5.88、7.38和8.11 cm，分別記為工況一、工況二、工況三和工況四，并獲取了其波剖面的時間序列，如圖2所示。

圖2 內孤立波波剖面時間序列理論與試驗結果對比Fig.2 Contrast of theoretical and experimental results for time series of internal solitary wave profiles

從圖像上看，工況一的前半部分波形與KdV理論波形比較接近，而后半部分波形則更接近于eKdV理論波形，從試驗內孤立波傳播過程中的能量耗散以及尾波的影響角度分析，可以認為前半部分波形更接近于真實內孤立波的情況，因此認為工況一與KdV理論吻合更好；工況二、工況三和工況四的波形都都介于eKdV和MCC理論波形之間，但與eKdV理論波形吻合最好，其次是MCC理論波形。

利用文獻[20]中非線性和色散參數(shù)的定義，本文所得結果與文獻結果基本一致，不同點在于工況三、四依據(jù)文獻結果應適用于MCC理論，但本文通過試驗驗證發(fā)現(xiàn)eKdV理論波形吻合更好。

3.2 內孤立波對豎直圓柱體作用力

圖3 四種工況下內孤立波對各圓柱體水平力的理論與試驗結果對比Fig.3 Contrast of theoretical and experimental results for internal solitary wave forces on vertical cylinders in the four cases

由圖3可得，圓柱體1的試驗結果要大于理論計算結果，且隨著內孤立波振幅的增加差距越大，這是由于試驗采用重力塌陷法進行造波，不可避免地對自由表面產生擾動而產生表面波，所造內孤立波振幅越大，所需塌陷高度差就越大，對表面流體產生的激蕩也就越強，導致自由表面附近水平流速較大，致使試驗結果偏大，但是變化趨勢與理論計算結果一致。圓柱體2的試驗結果變化趨勢較為復雜，是由于該圓柱體正好位于內界面和波面之間的過渡區(qū)間內，該區(qū)間內的流速變化情況比較復雜，與理論模型存在差別，因此導致試驗結果的波動較為復雜，但是在較大值附近的變化趨勢與理論結果吻合較好。圓柱體4和圓柱體5的試驗結果在數(shù)值和變化趨勢上都與理論結果吻合較好。圓柱體6的理論計算結果要大于試驗結果，但是變化趨勢基本上保持一致，這是由于該圓柱體已經位于流場底部，對真實粘性流體來說，水平速度在接近流場底部附近存在衰減，而理論計算得到的流場是基于無粘假設下的，得到的理論速度模型在流場底部并無明顯衰減，導致理論結果大于試驗結果。

綜合對比分析可得，每段圓柱體所受水平作用力的最大值都隨內孤立波振幅的增大而增大，位于上層流體中的圓柱體所受內孤立波最大水平作用力要大于下層流體中各段圓柱體所受的內孤立波最大水平作用力，且作用力方向正好相反，存在該變化趨勢的原因在于下凹型內孤立波在上下層流體中產生方向相反的水平流速，并且上層水平流速要大于下層水平流速；理論計算結果整體上與試驗結果吻合較好。

4 結論

本文采用重力塌陷法和PIV技術，在中國海洋大學物理海洋試驗室內波水槽中進行內孤立波造波試驗并對其波致流場進行測量。采用理論和試驗相結合的研究方法對內孤立波流場中不同水深豎直圓柱體所受水平作用力進行了分析，得出以下主要結論：

(1)隨著內孤立波振幅的增大，各段不同水深豎直圓柱體所受內孤立波最大水平作用力都相應地增大，位于上層流體中的圓柱體所受內孤立波最大水平作用力大于位于下層流體中的圓柱體，且作用力方向正好相反。

(2)位于密度躍層處的豎直圓柱體所受內孤立波水平作用力的變化趨勢相對于其他水深圓柱體來說較為復雜。

(3)在不考慮易受表面波影響的水面和水槽底部對水平流速產生影響的情況下，選擇合適內孤立波理論下的瞬時速度模型結合莫里森方程能夠較好的模擬豎直圓柱體的水平受力。