基于波面起伏相關(guān)性估計海浪波長的新方法*

魏 來，管長龍

(中國海洋大學(xué)，山東 青島 266100)

海浪是最常見的且與人類活動關(guān)系最密切的海洋波動。開展海浪的研究對于航運、造船、港口以及海上石油平臺的建設(shè)有著十分重要的指導(dǎo)作用。同時，研究海浪對全球大洋的海氣相互作用及氣候變化也有著非常重要的意義。海浪的主要要素包括有效波高、波長、波周期等，其中有效波高及波周期可以通過單點測量的波面序列比較簡便地得到[1]，而波長的測量則較為復(fù)雜，原則上需要海浪波面起伏場的觀測信息，然而現(xiàn)有的觀測無法提供此種海浪場的完整信息，需要采用不同的近似方法，故成為眾多海浪研究者關(guān)注的重要問題。在實際應(yīng)用中，多采用間接測量方法，即根據(jù)有限水深中波浪的頻散關(guān)系由波浪譜計算，而波浪譜的獲得比較簡單。Kirby等[2]提出了一種適用于整個水深范圍的波浪非線性頻散關(guān)系。李孟國[3]介紹了用波浪頻散關(guān)系確定淺水波長的方法，討論了水深、水流、波浪振幅對波長的影響。根據(jù)波浪譜間接計算波長的理論已經(jīng)比較成熟，但需要假定波浪為線性、窄譜且受水深等因素的影響。因此，為了得到更精確、更可靠的數(shù)據(jù)，直接測量方法有著不可替代的作用。早期是通過目測直接估計波長，隨著科技發(fā)展，衛(wèi)星數(shù)據(jù)的增多，許多中外學(xué)者開始研究如何根據(jù)雷達或衛(wèi)星圖片分析大范圍甚至全球波長分布。對海浪圖像進行二維傅里葉變換尋找代表海浪主頻率的極大點的位置，計算海浪的傳播方向和波長是比較常見的方法。徐建華等[4]根據(jù)該方法從海浪圖像灰度提取海浪波長及波向信息。孫京生等[5]根據(jù)該方法計算量大的缺點，提出了一維傅里葉變換法，提高了精度并減小了計算量。Tang等[6]提出了根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量法從圖像中計算波長及波向的方法。陶法等[7]根據(jù)大量試驗改進了二維傅里葉變換法，提高了抗噪性，解決了主頻不明顯的缺點。

使用衛(wèi)星觀測對于研究全球大洋波長分布有著十分重要的意義，具體到小尺度研究，卻存在測量精度比較低及無法實時監(jiān)測的缺點。因此，不少學(xué)者提出了一些適用于實驗室[8]或外海小尺度觀測的波長測量方法。馮馳等[9]提出了一種利用壓力傳感器反演波長的裝置，該裝置利用伯努利方程由壓力計算水位變化得到波浪運動方程，并由此得到波浪的波數(shù)，最終根據(jù)波數(shù)計算波長。段春明等[10]及朱永強等[11]提出用一系列連續(xù)排列的測波儀測量一段距離內(nèi)波面的變化來確定波浪形狀，并由測波儀之間的距離計算波長的方法。馮越[12]提出了測量通過兩個測波儀之間波浪的傳播時間計算波速與波長的方法。上述方法理論上能夠方便且有效的測量波長，然而在實際應(yīng)用中還存在一些需要解決的問題。用一系列連續(xù)排列的測波儀會受到測波儀之間距離的影響。若距離太近會因為測波儀對波面的影響產(chǎn)生相互干擾；如距離太遠會導(dǎo)致分辨率過低。實際海面的波浪是在不停變化，用兩個測波儀測量波長需要解決準(zhǔn)確測量通過兩個測波儀之間時間的問題?；谝陨蠁栴}，本文提出一種的新的可適用于實驗室及外海測量的波長測量方法，該方法具有較高的精確度，且方便操作。

1 波長計算方法介紹

目前常用的波長測量方法分為以下幾種：(1)根據(jù)有限水深中的波浪頻散關(guān)系，通過波周期計算得到；(2)根據(jù)圖像直接得到；(3)根據(jù)不同測波儀之間的相關(guān)關(guān)系計算得到。本文將主要采用第三種方法進行計算，并將第三種方法計算的結(jié)果與第一種方法進行對比。

1.1 根據(jù)頻散關(guān)系計算波長

在小振幅波動理論假定下，有限水深中的波浪頻散關(guān)系為：

ω2=gktanh(kd)。

(1)

其中：ω為波動的圓頻率；g為重力加速度；k為波數(shù)；d為水深。而波動相速度與波長和周期的關(guān)系為：

(2)

其中：λ為波長；T為周期。將(2)式代入(1)式中得到：

(3)

(4)

由(4)式可迭代計算波浪波長。Guan等[13]曾提出一種直接由周期計算波長的半經(jīng)驗公式。

根據(jù)頻散關(guān)系計算波浪波長是最方便的方法，而且在大部分情況下計算的結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的誤差都很小，然而該方法需假定波動振幅遠遠小于波長和水深，在實際海洋中并不總是滿足該條件。實際的海浪往往是隨機波的情形，被視為由許多具有不同波長和周期的組成波疊加而成。原則上(4)式僅適用于單個組成波，只在線性、窄譜的條件上才適用于隨機波。

1.2 根據(jù)圖像計算

根據(jù)圖像計算波長對技術(shù)要求比較高?，F(xiàn)有的方法有雷達測量或通過衛(wèi)星拍照，已有許多學(xué)者提出了提取衛(wèi)星圖像反演波長的方法[14]。雷達測量海浪波長的原理是根據(jù)海面后向散射強度表征波峰，由于在中等入射角下，海面微尺度波為影響后向散射的主要因素，因此后向散射強度最大處并不位于波峰，而位于波峰前毛細波較多的地方[15]，故雷達測量波長存在一定的誤差。在實驗室中亦可以用相機拍照，但照片中需要有參照物用以確定相對長度。同時，實驗室中也可以用一系列排列緊密的測波儀來確定一段長度內(nèi)的波浪狀況，從而確定波長，這種方法實際上也是通過波浪的圖像得到波長。然而在實際應(yīng)用中，相鄰的測波儀之間的間隔導(dǎo)致該方法的分辨率不高，在波長較短的時候該方法得到的結(jié)果誤差較大；在波長較長的時候需要較多的測波儀才能得到一個完整的波長。

1.3 根據(jù)相關(guān)關(guān)系測量

波浪的相速度定義為波動傳播的速度，因此可由波動通過兩個測波儀的時間與兩個測波儀的距離計算波速，再根據(jù)波速與波長的關(guān)系c=λ/T計算波長。

實際觀測中海浪經(jīng)常變化，如果兩個測波儀之間相隔太遠，會導(dǎo)致波形在兩個測波儀之間發(fā)生變化，導(dǎo)致兩個測波儀之間數(shù)據(jù)相關(guān)性較差。若兩個測波儀相隔太近，會導(dǎo)致計算精度不夠。例如，若兩個測波儀之間間隔為5 cm，測波儀采樣頻率為100 Hz，此時波浪通過兩個測波儀之間的時間為0.01 s的整數(shù)倍，計算得到的波速并不是連續(xù)的值。因此，提高波速的分辨率也是非常重要的工作。本文將采用樣條插值及正弦函數(shù)擬合，提高波速的分辨率。其中，正弦函數(shù)擬合根據(jù)波面位移數(shù)據(jù)通過傅里葉變換，將其分解為一系列正弦函數(shù)的疊加，并選出其中振幅較大的部分相加得到波面位移的近似解析表達，并由此得到時間分辨率更高的波面位移時間序列。

表1 實驗測量的8種不同情況的波浪Table 1 8 wave conditions measured in experiment /m·s-1

Note:①Without wind; ②With wind;③No mechanical wave;④1.6 Hz mechanical wave;⑤1.2 Hz mechanical wave(√為實驗測量的情況。√ are measured conditions.)

2 計算結(jié)果對比

2.1 實驗條件介紹

本文中使用的波浪數(shù)據(jù)由俄羅斯下諾夫哥羅德市的應(yīng)用物理研究所中的風(fēng)浪水槽中得到。實驗室使用風(fēng)機及機械造波器制造波浪。風(fēng)浪水槽的長度為16 m，水槽中的水深為1.5 m，水溫為290 K。波面位移數(shù)據(jù)用鎳絲電阻式測波儀測量，測量采樣頻率為100 Hz，測量精度為0.1 mm。其中測波儀有三個，呈正三角形排列，邊長為2.5 cm，其排列順序如圖1所示。由此可知波浪通過兩個測波儀之間的傳播的距離約為2.2 cm。

圖1 測波儀在水槽中的排列俯視圖Fig.1 Vertical view of wave gauges in wave tank

為了測試風(fēng)浪與涌浪對本次實驗使用方法的影響，實驗將測量三種情況下的波浪：純風(fēng)浪、純涌浪以及風(fēng)涌混合浪?？偣矞y量8種不同情況的波浪，其中純風(fēng)浪情況3種，純涌浪2種，混合浪3種。具體測量情況如表1所示。為保證實驗的準(zhǔn)確性，每種波浪情況測量2次。

2.2 波浪狀況分析

通過上跨零點法得到8種情況的波浪有效波高及譜峰周期結(jié)果如表2所示。

圖2為根據(jù)1.2 Hz機械波+12 m/s風(fēng)的波浪情況原始數(shù)據(jù)計算的兩個測波儀之間的相關(guān)關(guān)系。由圖可看出，相關(guān)關(guān)系在0.01及0.43 s有最大值。由0.43 s計算出的波速太慢，因此0.01 s為波浪通過兩個測波儀之間的時間。而0.43-0.01=0.42 s為表3中對應(yīng)該波浪情況譜峰周期的一半，證明了該方法的有效性。

表2 8種波浪情況的有效波高及譜峰周期Table 2 Significant wave height and peak period of 8 measured wave conditions

Note:①Wave conditions；②Significant wave height；③Peak frequency；④Peak period；⑤12 m/s wind；⑥21 m/s wind；⑦32 m/s wind；⑧ 1.6 Hz mechanical wave；⑨ 1.6 Hz mechanical wave with 12 m/s wind；⑩1.6 Hz mechanical wave with 21 m/s wind；1.2 Hz mechanical；1.2 Hz mechanical with 12 m/s wind

2.3 插值計算

然而由以上方法得到的波浪在兩個相鄰測波儀之間傳播時間分辨率太低，傳播時間為0.01 s時兩者的相關(guān)性最大，這說明傳播時間在0～0.02 s之間，只能得到波動相速度大于2.165 1 m/s，分辨率偏低。為提高分辨率，本文利用MATLAB軟件，采用樣條插值及正弦函數(shù)擬合，由于樣條插值效果較差，本文只使用正弦函數(shù)擬合，效果如圖3所示。

圖2 兩個測波儀數(shù)據(jù)的時間相關(guān)關(guān)系Fig 2 Time dependence of two wave gauge data

圖3 插值后與原數(shù)據(jù)效果對比Fig 3 Comparison of interpolated data with original data

由圖3可以看出，為了減少計算量，只選取總能量占95%的波動疊加，因此正弦函數(shù)對原數(shù)據(jù)的擬合效果在部分區(qū)間與原數(shù)據(jù)相比有一定的偏差，但總體上與原數(shù)據(jù)吻合。由于原數(shù)據(jù)分辨率較低，本文將采樣間隔縮短至0.000 1 s(提高100倍分辨率)，通過兩個測波儀插值數(shù)據(jù)的相關(guān)關(guān)系計算，及兩個相鄰的測波儀的時間，計算每個波浪狀況的波長，最終得到波長結(jié)果(見表3)。

由表3可以看出，兩種方法得到的結(jié)果在波長較短時基本相同，隨著測量波長的增加，由測波儀數(shù)據(jù)相關(guān)性測量得到的結(jié)果與通過頻散關(guān)系計算得到的結(jié)果逐漸出現(xiàn)偏差。這可能是由于兩個測波儀之間距離過近，在波長較長時，兩個波高計之間的波浪占總波長的比例過小，使得擬合時有一定的失真。在實際測量時，對于波長較長的波浪應(yīng)增大兩個測波儀之間的距離，長波波形比短波更穩(wěn)定，測量長波時增加測波儀之間距離并不會產(chǎn)生較大誤差。

表3 兩種方法計算得到的每種波浪狀況的波長Table 3 Wavelength of each wave conditions calculated by two methods /m

Note:①Wave conditions；②Wavelength by dispersion retation；③Wavelength by corelation of wave gavge data；④12 m/s wind；⑤21 m/a wind；⑥32 m/s wind；⑦ 1.6 Hz mechanical wave；⑧ 1.6 Hz mechanical wave with 12 m/s wind；⑨1.6 Hz mechanical wave with 21 m/s wind；1.2 Hz mechanical wave；1.2 Hz mechanical with 12 m/s wind

對于混合浪，在純風(fēng)浪情況下12及21的風(fēng)產(chǎn)生的波浪有效波高大于純機械造波產(chǎn)生的波浪的有效波高。然而由于風(fēng)浪的頻譜能量不如涌浪集中，計算能量譜的時候，譜峰仍然為機械波(涌浪)的頻率，由此導(dǎo)致由頻散關(guān)系計算到的波長與純機械波一致。而實際上，涌浪在譜峰頻率的整數(shù)倍處從風(fēng)浪中吸收能量。因此風(fēng)浪涌浪之間的波-波相互作用使得波長由純涌浪波長向純風(fēng)浪波長偏移，由測波儀相關(guān)關(guān)系法測量的結(jié)果可以很好的體現(xiàn)出這一點。因此，使用相鄰測波儀相關(guān)關(guān)系計算波長是一種更好的方法。

3 總結(jié)與討論

本文使用相鄰測波儀相關(guān)關(guān)系計算了風(fēng)浪、涌浪及混合浪波長并與傳統(tǒng)的頻散關(guān)系計算海浪波長的方法進行了對比。為了消除波浪傳播期間波形變化導(dǎo)致的誤差，實驗中兩個測波儀的距離較近，由原始數(shù)據(jù)計算得到的海浪波長分辨率較低。

為此，本文提出了一種提高分辨率的方法，利用快速傅里葉變換，將波浪數(shù)據(jù)分解為一系列正弦運動疊加，得到波浪運動的解析表達。在使用全部的正弦函數(shù)疊加時，得到的結(jié)果與原數(shù)據(jù)完全一致，然而這樣的計算量偏大，在實際應(yīng)用中，我們可以只選取占總能量95%或90%的部分進行計算，兼顧計算量與準(zhǔn)確性。本文通過實驗數(shù)據(jù)及對比實驗驗證了提出的方法的有效性和準(zhǔn)確性。這一研究仍需要更多的實驗數(shù)據(jù)支持。本次實驗使用的測波儀位置固定，由于距離較短，雖然通過本文提出的正弦函數(shù)擬合提高了分辨率，但可能與實際波長還是有一定的差距，后期實驗可以通過改變兩個測波儀之間距離尋找最佳的距離。同時，在實驗室實驗中可以加入圖像拍照法同步測量波長，對該方法結(jié)果進行對比驗證。