吳侍瑩
摘要:數(shù)形結(jié)合的思想在解答初中數(shù)學(xué)題目上有著非常重要的地位,初中數(shù)學(xué)中有些知識點的概念是非常抽象的,光靠傳統(tǒng)的思維方式很難讓學(xué)生很好的進行理解,因此,在初中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中,有必要將數(shù)形結(jié)合的思想教給學(xué)生。本文將通過幾個例題對數(shù)形結(jié)合的思想進行探討。
關(guān)鍵詞:初中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合;舉例
數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)中的應(yīng)用非常廣泛,在函數(shù)、不等式、幾何等題目中運用數(shù)學(xué)結(jié)合思想方法可以節(jié)省大量計算時間,初一、初二通過數(shù)軸給學(xué)生以感性認識,了解數(shù)形結(jié)合的一些思想和方法,初三年級通過直角坐標(biāo)系的建立讓學(xué)生初步掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法。數(shù)形結(jié)合思想在中考數(shù)學(xué)中有著舉足輕重的作用。下面我就數(shù)形結(jié)合思想在教學(xué)中的應(yīng)用談?wù)効捶ā?/p>
一﹑由數(shù)想形
(一)借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生合理理解數(shù)學(xué)概念法則。
數(shù)軸是重要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)工具,借助其可直觀表示較多數(shù)學(xué)問題,令數(shù)形有機結(jié)合,因此在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中我們應(yīng)合理應(yīng)用數(shù)軸幫助學(xué)生整理絕對值的幾何意義,掌握數(shù)軸上任意兩點間的距離等于兩點所表示數(shù)的差的絕對值。
理解:|x-1|,|x+2|分別表示數(shù)軸上表示x與1、x與-2之間的距離,則本題就可借助數(shù)軸找x到1和-2的距離和等于3的點在-2和1之間,所以答案為-2≤x≤1。
由上題可知,x到1和-2的距離差等于3,因此本題要找的是x到1和-2的距離差等于3,借助數(shù)軸發(fā)現(xiàn)x只能在-2的左邊,或1的右邊,所以答案為x≤-2或x≥1。
(二)借助數(shù)軸引導(dǎo)學(xué)生分析不等式中部分解求范圍問題。
解不等式得:x≤m。通過畫數(shù)軸可知正整數(shù)解為1、2、3,m的大致范圍在3和4之間,再討論m=3和m=4的情況,當(dāng)m=3時符合題意,當(dāng)m=4時,不等式有4個正整數(shù)解為1、2、3、4。所以本題的答案為3≤m<4。
(三)借助拋物線圖像給定自變量取值范圍求因變量范圍。
分析:由自變量范圍可知二次函數(shù)有意義圖像在ACB這段曲線上,經(jīng)過圖像的最高點,所以函數(shù)在自變量范圍內(nèi)有最大值。當(dāng)x=-2時,函數(shù)最小值為-4;當(dāng)x=1時,函數(shù)最大值為5,所以y的取值范圍為-4
(四)由數(shù)結(jié)構(gòu)想到構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求最值。
例4:已知:a,b均為正數(shù),a+b=2,求+的最小值。
解:如圖,作線段AB=2,在AB上截取AE=a,BE=b,過A作AC⊥AB且AC=2,過B作BD⊥AB且AB=1,則由勾股定理得+,即CE+DE。本題就轉(zhuǎn)化為在AB上找一點使CE+DE最小,作C,G關(guān)于AB對稱,連接DG交AB于E,此時G,D,E三點共線。過G作GF⊥DB交DB延長線于F,最小值即為DG。
DG===。
所以+的最小值為。
從上文已經(jīng)知道,以形助數(shù)是根據(jù)代數(shù)問題所蘊含的幾何意義,將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化成幾何問題并加以解決,使得代數(shù)問題變幾何化,借助于幾何圖形直觀地得到問題的結(jié)論,使得原本抽象而復(fù)雜的問題變得更形象化、簡易化。
二、由形知數(shù)
(一)初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)利用數(shù)形結(jié)合,引導(dǎo)學(xué)生用代數(shù)方式有效解決識圖問題。
例5:如圖1,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=60°,動點P從A點出發(fā),以1cm/s的速度沿著A→B→C→D的方向不停移動,直到點P到達點D后才停止。已知△PAD的面積S(單位:cm)與點P移動的時間分析:在教學(xué)時讓學(xué)生結(jié)合圖像和圖形分析出點P在線段AB上運動時S的面積在不斷增大,對應(yīng)自變量0≤t≤2在函數(shù)圖像上,當(dāng)自變量t=2時點P恰好與B點重合,此時線段AB=2cm,S的面積為3cm,過B作BE⊥AD可求得BE=cm,AE=1cm,AD=6cm,點P在線段BC上運動時面積不變,對應(yīng)自變量2≤t≤4根據(jù)函數(shù)圖像可得BC=2,點P在CD上運動時面積不斷減小對應(yīng)函數(shù)圖像剩下的部分。則要求點P從開始移動到停止移動一共用了多少秒,只需求出CD得長。轉(zhuǎn)化為梯形中已知三邊求第四邊問題,過C作CF⊥AD可得矩形CFEB,CF=BE=cm,CD=2cm,從而求出路程為(2+4)cm,時間為(2+4)s。
(二)用代數(shù)的方法有效地解決幾何圖形中的翻折問題。
例6:如圖,已知直角梯形紙片OABC中,兩底邊AO=5,BC=4,垂直于底的腰CO=。點T在線段AO上(不與線段端點重合),將紙片折疊,使點A落在射線AB上(記為點A′,折痕經(jīng)過點T,折痕TP與射線AB交于點P,設(shè)OT=t,折疊后紙片重疊部分(圖中陰影部分)的面積為S。
(1)求∠OAB的度數(shù);
(2)求當(dāng)點A′在線段AB上時,S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(3)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時,求t的取值范圍;
(4)S存在最大值嗎?若存在,求出這個最大值,并求此時t的值;若不存在,請說明理由。
(1)過點B作BE⊥OA,垂足為E,可得AE=OA-OE=1,tanA=,
∴∠OAB=60°。
(2)當(dāng)點A′在線段AB上時,
∵∠OAB=60°,TA=TA′,
∴△A′TA是等邊三角形,且TP⊥AB,TA=5-t,
∴S=S=·(5-t)=(5-t)(3≤t<5)。
(3)當(dāng)紙片重疊部分的圖形是四邊形時,因△A′TA是等邊三角形,所以2 (4)S存在最大值。
①當(dāng)3≤t<5時,S=(5-t)(3≤t<5),在對稱軸t=5的左邊,S的值隨t的增大而減小,當(dāng)t=3時,S的最大值是;
②當(dāng)1≤t<3時,重疊部分的面積S=(5-t)-(3-t)=-(t-1)+
當(dāng)t=1時,S的最大值為;
③當(dāng)0
∵四邊形ETAB是等腰梯形,∴EF=ET=AB=2,S=×2×=。
綜上所述,S有最大值為,此時0
通過幾何圖形的變化,用函數(shù)表達求最值是考試中常見的問題。因此在教學(xué)中應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生畫圖,結(jié)合圖形用函數(shù)描述幾何圖形的變化。數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用往往能使一些錯綜復(fù)雜的問題變得直觀,解題思路非常清晰,步驟非常明了。另外,還可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。
三、總結(jié)
總之,在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)滲透數(shù)形結(jié)合思想方法,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力,使其養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。數(shù)形結(jié)合思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”,有利于發(fā)展學(xué)生思維能力,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識,從而提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。
參考文獻:
[1]馬秀琴.《初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的研究和應(yīng)用》,科學(xué)大眾,2009年7期
[2]曾鐵梅.《初中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的探討》,科學(xué)咨詢,2015年15期