淺談“數(shù)形結(jié)合”思想在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

甘肅 謝彥仁

數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過把數(shù)量關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題去討論或者把圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系來研究，從而解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法.

縱觀近年來的高考試題，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想方法已成為解答高考數(shù)學(xué)試題的一種常用方法與技巧，特別是在解決選擇、填空題時發(fā)揮著奇特功效.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，以形助數(shù)、以數(shù)輔形，可以使抽象的問題直觀化、代數(shù)的問題幾何化、復(fù)雜的問題簡單化，收到事半功倍的效果.下面根據(jù)筆者十幾年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合近幾年各省市高考題中的實(shí)例談?wù)勛约簩η捎脭?shù)形結(jié)合思想解決高考數(shù)學(xué)問題的一些認(rèn)識.

一、代數(shù)問題“幾何化”——以形助數(shù)

(一)方程問題中的數(shù)形結(jié)合

在研究某些方程的根的個數(shù)、根的大小以及根的取值范圍等問題時，都可以借助于數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀的幾何圖形來觀察方程根的情況.

【例1】(1)已知0

( )

A.1個_____________________ B.2個

C.3個 D.1個或2個或3個

解析：判斷方程的根的個數(shù)就是判斷圖象y=a|x|與y=|logax|的交點(diǎn)個數(shù)，畫出兩個函數(shù)圖象，易知兩圖象只有兩個交點(diǎn)．故方程有2個實(shí)根，故選B.

(2)已知α是方程x+log2x=4的根，而β是方程x+2x=4的根，那么α+β=________.

解析：由方程x+log2x=4得log2x=4-x，

由2x+x=4得2x=4-x，作出y=log2x,y=2x,y=4-x的圖象，由圖象可知直線與兩曲線交點(diǎn)坐標(biāo)為A(α,4-α)，B(β,4-β)，

而A，B關(guān)于直線y=x對稱，∴α=4-β,∴α+β=4.

(二)不等式問題中的數(shù)形結(jié)合

在解決一些不會解的抽象不等式時，若利用常規(guī)方法無從下手，則可以考慮不等式的兩邊分別構(gòu)造函數(shù)，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出它們的函數(shù)圖象，結(jié)合圖象，數(shù)形結(jié)合得到它們的解集.

【例2】若不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析：在同一坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y=|2x-m|及y=|3x+6|的圖象，如圖，由于不等式|2x-m|≤|3x+6|恒成立，所以函數(shù)y=|2x-m|的圖象應(yīng)總在函數(shù)y=|3x+6|圖象的下方，因此，函數(shù)y=|2x-m|的圖象也必經(jīng)過點(diǎn)(-2，0)，所以m=-4，即m的取值范圍為{m|m=-4}.

此題屬于不等式恒成立問題，先利用圖象的上、下位置關(guān)系確定直線的位置，然后再還原即可．解不等式或證明不等式問題經(jīng)常聯(lián)系函數(shù)的圖象，根據(jù)不等式中量的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)膬蓚€(或多個)函數(shù)，利用兩個函數(shù)圖象的上、下位置關(guān)系來確定不等式的解集或證明不等式．

(三)函數(shù)問題中的數(shù)形結(jié)合

【例3】已知函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|,若a>b,且f(a)=f(b),則a+2b的取值范圍是

( )

C.[4,+∞) D.(4,+∞)

解析:作出函數(shù)f(x)=|lg(x-1)|的圖象,

∵a>b,且f(a)=f(b),∴12.

又由f(x)=|lg(x-1)|得|lg(a-1)|=|lg(b-1)|,

而a-1≠b-1,∴l(xiāng)g(a-1)=-lg(b-1),

∴ab-a-b=0,∴a+b=ab,

(四)集合問題中的數(shù)形結(jié)合

在解決高考中的集合問題時，常常借助于數(shù)軸、韋恩圖化抽象為具體，化復(fù)雜為簡單，把集合的交、并、補(bǔ)的關(guān)系直觀、形象的顯示出來，使問題得以簡化，運(yùn)算簡潔明了.

【例5】某校先后舉行數(shù)理化三科競賽，學(xué)生中至少參加一科的：數(shù)學(xué)807人，物理739人，化學(xué)437人；至少參加兩科的：數(shù)理593人，數(shù)化371人，理化267人；三科都參加的213人，試計(jì)算參加競賽總?cè)藬?shù)．

解析：我們用圓A，B，C分別表示參加數(shù)理化競賽的人數(shù)，那么三個圓的公共部分正好表示同時參加數(shù)理化小組的人數(shù)．用n表示集合的元素，則有n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(A∩C)-n(B∩C)+n(A∩B∩C)=807+739+437-593-371-267+213=965，即參加競賽總?cè)藬?shù)為965人.

(五)解析幾何中的數(shù)形結(jié)合

解析幾何的基本思想就是數(shù)形結(jié)合，在解題中要善于將數(shù)與形的對立統(tǒng)一巧妙運(yùn)用于對點(diǎn)、線、曲線的性質(zhì)及其相互關(guān)系的研究中.

∴該拋物線焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線l的方程為y=-1,

取P為拋物線上的任一點(diǎn),過點(diǎn)P作PP′⊥l,垂足為P′,

則P點(diǎn)在x軸上的射影為M(如圖所示).

欲使|PA|+|PM|最小,則|PA|+|PP′|最小,

即|PA|+|PF|最小,

解本題時，不少同學(xué)可能會依常理“出牌”——構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，然而其最值很難求得.事實(shí)上，求拋物線的焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線)相關(guān)的最值問題，更多的是考慮數(shù)形結(jié)合，利用拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后利用三點(diǎn)共線或三角形的三邊關(guān)系加以處理.

二、幾何問題“代數(shù)化”——以數(shù)輔形

【例7】函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,f(x)為奇函數(shù),其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),則不等式x[f(x)-f(-x)]<0的解集是

( )

A.(-3,0)∪(0,3) B.(-∞,-3)∪(0,3)

C.(-∞,-3)∪(3,+∞) D.(-3,0)∪(3,+∞)

解析:x[f(x)-f(-x)]<0,即2x×f(x)<0.當(dāng)x<0時,則f(x)>0,由圖象知-30時,則f(x)<0,由圖象知0

從上面的例子可知，在題設(shè)情境為圖象時，常常需要進(jìn)行由“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，即將形所含的信息轉(zhuǎn)化為數(shù)和式的表達(dá)式或關(guān)系式，以數(shù)析形，然后推理求解.

( )

A．2 B．4

C．6 D．8

解析：依題意，兩函數(shù)的圖象如圖所示，

由兩函數(shù)的對稱性可知交點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的橫坐標(biāo)滿足x1+x8=2,x2+x7=2，x3+x6=2,x4+x5=2，即x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8=8，

故選D.

三、數(shù)形互化、相得益彰

【例9】已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過點(diǎn)(1，1)，反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點(diǎn)間距離為8，f(x)=f1(x)+f2(x).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ)證明：當(dāng)a>3時，關(guān)于x的方程f(x)=f(a)有三個實(shí)數(shù)解.

解析：(Ⅰ)由已知,設(shè)f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1,

它的圖象與直線y=x的交點(diǎn)分別為

(Ⅱ)證明：(方法一)由f(x)=f(a),

∴當(dāng)a>3時，在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(diǎn)(2,f3(2))在f2(x)圖象的上方.

∴f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點(diǎn)，

即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解.

因此，在a>3時，方程f(x)=f(a)有三個實(shí)數(shù)解.

由a>3,Δ=a4+32a>0,得

∴x1≠x3.故原方程有三個實(shí)數(shù)解.

在解答此類問題時，教師就要注意引導(dǎo)學(xué)生將方程f(x)=g(x)轉(zhuǎn)化成函數(shù)，然后在同一坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=f(x)和y=g(x)的圖象，通過研究函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，來確定方程解的個數(shù)或函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù).

從以上的內(nèi)容及分析可知，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要思想之一，而且是一種常用的教學(xué)方法.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)在于“以形助數(shù)”，通過“以形助數(shù)”，將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的幾何圖形巧妙結(jié)合起來，使得復(fù)雜的問題簡單化，抽象的問題具體化，從數(shù)的“定量”和形的“定性”上統(tǒng)一的來解決問題.