小議數(shù)學(xué)教學(xué)中概念體驗(yàn)的重要性

江蘇省常州市天寧區(qū)三河口高級(jí)中學(xué) 鄒小剛

“任何學(xué)習(xí)都需要體驗(yàn)，任何思考都需要摸索”，這是哥倫比亞大學(xué)著名華裔數(shù)學(xué)家張壽武先生的經(jīng)典名言。當(dāng)下中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)陷入了一種怪圈，教師講得越多，學(xué)生訓(xùn)練越多，但是其問(wèn)題解決的能力卻并未顯著提高，當(dāng)學(xué)生面對(duì)新的較難的問(wèn)題時(shí)，其往往無(wú)從入手。數(shù)學(xué)教學(xué)要多注重學(xué)生自我體驗(yàn)的重要性，通過(guò)體驗(yàn)得來(lái)的教學(xué)才是記憶深刻的，才是高效有序的。本文以函數(shù)和圓錐曲線概念教學(xué)為例，以新知教學(xué)為載體，從概念教學(xué)中的體驗(yàn)進(jìn)行例說(shuō)。

一、層層深入式體驗(yàn)——函數(shù)概念教學(xué)中認(rèn)知

函數(shù)概念是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的概念，但是對(duì)于函數(shù)概念的教學(xué)卻一直停留在筆者的學(xué)生時(shí)代，這是典型的應(yīng)試教學(xué)方式。大多數(shù)常態(tài)課將函數(shù)的概念讀一遍、分析一遍、注意事項(xiàng)提醒一下就結(jié)束了。這種做法根本抹殺了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，沒(méi)能體會(huì)概念學(xué)習(xí)的美妙性。

【案例1】函數(shù)概念教學(xué)——層次性

問(wèn)題1：回想初中數(shù)學(xué)中所學(xué)過(guò)的函數(shù)，請(qǐng)用自己的語(yǔ)言描述什么是函數(shù)？

設(shè)計(jì)說(shuō)明：這是筆者設(shè)計(jì)的一種體驗(yàn)，對(duì)于學(xué)生而言，函數(shù)并不是全新的、陌生的概念，因此教師請(qǐng)學(xué)生回顧思考所學(xué)過(guò)的函數(shù)概念，用自己的語(yǔ)言表述。

問(wèn)題3：存在函數(shù)f（x），對(duì)任意x∈R都能滿足下列等式的是______________。

設(shè)計(jì)意圖：這是筆者對(duì)于函數(shù)概念教學(xué)設(shè)計(jì)的較為高端的一個(gè)問(wèn)題。這里體現(xiàn)了一定的函數(shù)的抽象性，本意是引導(dǎo)學(xué)生理解法則f與自變量任意性的問(wèn)題，即以為例，不妨令x=±1，可以得到f（0）=2或0，因此法則f并不是函數(shù)關(guān)系。這里進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)于函數(shù)概念使用的深刻性，本案例教學(xué)中函數(shù)概念層層遞進(jìn)，讓學(xué)生體驗(yàn)、感悟函數(shù)概念，從而推升了教學(xué)的有效性，避免了教學(xué)一味以訓(xùn)練為主、缺乏思維的方式。

說(shuō)明：從函數(shù)概念教學(xué)來(lái)看，要改變以往的教學(xué)模式，不能一味地如傳統(tǒng)的一項(xiàng)定義、三個(gè)注意。那我們應(yīng)該如何行之有效地設(shè)計(jì)呢？筆者將函數(shù)概念設(shè)計(jì)了不同的三個(gè)臺(tái)階，第一是用自己的語(yǔ)言描述概念，是自身知識(shí)體系的再現(xiàn)，顯然這種描述是不確切的；第二，在函數(shù)概念學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，從對(duì)應(yīng)的關(guān)系角度去認(rèn)識(shí)函數(shù)概念，理解函數(shù)是一種特殊情形下的對(duì)應(yīng)，這是關(guān)鍵；第三，既然是特殊的對(duì)應(yīng)，從邏輯角度來(lái)說(shuō)，自然是一對(duì)一的對(duì)應(yīng)和多對(duì)一的對(duì)應(yīng)是函數(shù)關(guān)系，思考更為抽象的問(wèn)題，自然也就迎刃而解，體會(huì)了概念的真正意義。

二、手動(dòng)操作式體驗(yàn)——認(rèn)知圓錐曲線概念

圓錐曲線這一概念，很多學(xué)生在章節(jié)學(xué)完之后，也未曾了解這一概念的真正含義。其實(shí)不難想象，橢圓、雙曲線、拋物線都是截口曲線，但是我們的教學(xué)對(duì)于這樣的概念理解卻有失精準(zhǔn)，其實(shí)在教材章頭圖中，對(duì)圓錐曲線的來(lái)源有著極為清晰的展示。

試問(wèn)，我們的教學(xué)是否關(guān)注過(guò)這樣的概念名稱呢？顯然是平時(shí)教學(xué)不太注重的。筆者建議，要積極動(dòng)手、主動(dòng)嘗試，讓截口曲線的認(rèn)知獲得更為深刻的理解。首先，概念的第一層次是理解，這里筆者為學(xué)生提供一個(gè)清晰的認(rèn)知方案：用廢棄的塑料罐頭做成對(duì)頂圓錐的形態(tài)，兩邊塑封，在其中倒?jié)M水，然后冰凍，在結(jié)成冰之后，用刀片進(jìn)行如章頭圖形態(tài)的切割，從而獲得第一層次的感官認(rèn)識(shí)。這種主動(dòng)嘗試的活動(dòng)可以在選修課程中進(jìn)行嘗試，以求獲得良好的概念初步認(rèn)知。其次，第二層次是對(duì)于問(wèn)題的合理嘗試。這里筆者選用了近年來(lái)具備典型概念考查的熱點(diǎn)問(wèn)題，凸顯概念教學(xué)的深刻性。

【案例2】圓錐曲線截口曲線的理解

問(wèn)題：如圖，AB是平面α外固定的斜線段，B為斜足。若點(diǎn)C在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且∠CAB等于直線AB與平面α所成的角，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為_(kāi)__________。

分析：本題是顯然的雙幾何交匯問(wèn)題，即在立體幾何背景下考查圓錐曲線概念。這與學(xué)生親手操作之后的概念認(rèn)知有什么關(guān)系呢？我們來(lái)看問(wèn)題的形成：首先將平面α抽離，思考“點(diǎn)C在空間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CAB位于定值的動(dòng)點(diǎn)C在空間的軌跡”是什么？顯然是圓錐！那么問(wèn)題演變?yōu)閳A錐曲面上的點(diǎn)和在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)的交匯問(wèn)題，顯然這恰恰是拋物線的截口，因?yàn)樵撈矫娌迦霑r(shí)與軸所成角恰恰是圓錐母線和軸所成角，因此平面和母線是平行狀態(tài)，得到拋物線。

說(shuō)明：這里概念的實(shí)施采用了兩個(gè)層次，首先是感知，其次是解決問(wèn)題。為什么問(wèn)題的解決變得如此容易？筆者以為恰恰是因?yàn)橛辛宋覀兊牟僮黧w驗(yàn)，讓概念的理解有了初步的鋪墊，從而獲得了概念在具體問(wèn)題解決過(guò)程中的深刻性。

總之，教學(xué)中教師要對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)留出一些讓學(xué)生有足夠體驗(yàn)的時(shí)間，這樣的概念教學(xué)體驗(yàn)對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是深層次的、有效的。筆者一直以為，題不再多，有體驗(yàn)則靈！從概念教學(xué)進(jìn)行學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的體驗(yàn)，讓這種感悟、思考來(lái)得更多一些，才能讓這種理解變得更為高效。