課堂觀察：理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教育——從一節(jié)高中數(shù)學(xué)公開(kāi)課《歸納推理》談起

湖南省華容縣第二中學(xué) 段華堂

最近筆者聽(tīng)了高二一節(jié)數(shù)學(xué)觀摩課，聽(tīng)了之后感受頗多。這節(jié)課在認(rèn)真分析學(xué)情和教材的基礎(chǔ)上，準(zhǔn)確定位教學(xué)目標(biāo)，從數(shù)學(xué)視角、學(xué)生視角、教育視角，也即從理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教育的角度，基于課標(biāo)的理念進(jìn)行了合理而有效的設(shè)計(jì)，立意較高。

一、理解數(shù)學(xué)

1．教學(xué)目標(biāo)合理定位

本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)放在對(duì)歸納推理的概念的理解和應(yīng)用上，而提高學(xué)生從特殊到一般的歸納能力則是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)。歸納推理作為發(fā)現(xiàn)新知的一種途徑，有時(shí)探索的過(guò)程是漫長(zhǎng)而曲折的，課堂上設(shè)置了有一定難度的“歐拉公式的發(fā)現(xiàn)”，正是希望學(xué)生通過(guò)一番“辛苦”的努力才能得到結(jié)論，這樣的安排有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和鍛煉學(xué)生的意志品質(zhì)。

根據(jù)以上想法，結(jié)合學(xué)生實(shí)際，制定了如下教學(xué)目標(biāo)：（1）知識(shí)與技能：了解歸納推理的概念、作用，掌握歸納推理的一般步驟，會(huì)進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的歸納推理。（2）過(guò)程與方法:學(xué)生通過(guò)積極主動(dòng)地參與課堂活動(dòng)，經(jīng)歷歸納推理概念的獲得過(guò)程，了解歸納推理的含義；通過(guò)欣賞一些偉大猜想的產(chǎn)生過(guò)程，體會(huì)并認(rèn)識(shí)利用歸納推理能猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)一些新事實(shí)、得出新結(jié)論的作用，并明確歸納推理的一般步驟。（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀：學(xué)生通過(guò)主動(dòng)探究、合作學(xué)習(xí)、相互交流，培養(yǎng)不怕困難、勇于探索的優(yōu)良作風(fēng)，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度。

2．注意處理好幾個(gè)問(wèn)題

（1）結(jié)論的開(kāi)放性。歸納推理很大程度上是一種創(chuàng)造性思維，教學(xué)中每個(gè)學(xué)生做出的推理可能并不一致，在這里有些時(shí)候結(jié)論是開(kāi)放的，不是唯一的，只要“合情”，就應(yīng)該認(rèn)為是對(duì)的，應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生積極地創(chuàng)造性的思維。當(dāng)然，面對(duì)推出的不同結(jié)論，可以比較哪些結(jié)論是更具有研究?jī)r(jià)值的，哪些思考是更有深度的。（2）過(guò)程的復(fù)雜性。歸納推理有時(shí)不是一蹴而就的，并不是所有的問(wèn)題只看三五個(gè)特殊情形，就能得出一般性結(jié)論，有些問(wèn)題則需要多看幾個(gè)，在歸納的同時(shí)也能培養(yǎng)學(xué)生在探究問(wèn)題的過(guò)程中鍥而不舍的精神。（3）結(jié)論的正確性。歸納推理所得的結(jié)論不一定都是正確的。例如：法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬觀察到都是質(zhì)數(shù)，于是他用歸納推理提出猜想：任何形如22n+1 的數(shù)都是質(zhì)數(shù)。這就是著名的費(fèi)馬猜想。半個(gè)世紀(jì)之后，善于計(jì)算的歐拉（Euler）發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)費(fèi)馬數(shù)不是質(zhì)數(shù)，從而推翻了費(fèi)馬的猜想。甚至有的問(wèn)題很難舉出反例說(shuō)明它是錯(cuò)誤的，也不容易證明結(jié)論的正確性，比如哥德巴赫猜想。課上有意安排這樣的例子，目的是使學(xué)生辯證地看待歸納推理這種方法。（4）處理好推理和證明的關(guān)系。數(shù)學(xué)上為保證結(jié)論正確，總是強(qiáng)調(diào)要證明結(jié)論，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新結(jié)論，“證明”不是本節(jié)課要解決的問(wèn)題。課上例題中的“歐拉公式”就是這樣，學(xué)生在短時(shí)間內(nèi)能夠得出一般性的結(jié)論，已實(shí)屬不易，若再要求證明，則難度過(guò)高，時(shí)間上也不允許，而且會(huì)讓學(xué)生抓不住“推理”這個(gè)重點(diǎn)，所以處理時(shí)更宜放在課后，讓學(xué)有余力的學(xué)生思考。

3．設(shè)計(jì)具有數(shù)學(xué)視野

首先，本節(jié)課先從一個(gè)調(diào)查統(tǒng)計(jì)案例引入，通過(guò)學(xué)生對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答自然地引出“推理”這個(gè)概念，同時(shí)它也是一個(gè)歸納推理的例子，為后面的歸納推理埋下伏筆，后續(xù)也將通過(guò)學(xué)生的活動(dòng)，讓他們意識(shí)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程不僅是為了解決問(wèn)題，還有數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，接著給出幾個(gè)推理的例子，讓學(xué)生感受它們之間的區(qū)別。課堂上，教師通過(guò)PPT展示出這一章所要學(xué)習(xí)的幾種推理，即:

這樣，使學(xué)生在宏觀上有一個(gè)基本的框架的認(rèn)識(shí)。

其次，在問(wèn)題的設(shè)計(jì)上，從學(xué)科內(nèi)、跨學(xué)科、生活化的角度引入，這樣拓展了學(xué)生的思維空間，因?yàn)闅w納推理并非數(shù)學(xué)所獨(dú)有。練習(xí)題中有等式問(wèn)題、質(zhì)數(shù)問(wèn)題（哥德巴赫猜想）、數(shù)列、空間幾何、三角等。作為教者，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)需要站在學(xué)科的高度，合理選取、重組、重設(shè)。一個(gè)問(wèn)題是要用教材教，而不是拘泥于教材，要對(duì)教材再加工。本節(jié)課在對(duì)教材的理解基礎(chǔ)上，沒(méi)有照搬教材，而是經(jīng)過(guò)教師個(gè)人的思考，重新組合，適當(dāng)調(diào)整。比如課堂練習(xí)2，曾老師把它作為一種合情與演繹的關(guān)系的預(yù)演題來(lái)處理，使聽(tīng)者感到新鮮。

二、理解學(xué)生、理解教育

理解學(xué)生，就是理解學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知特點(diǎn)；理解教育，就是要尋找以適合學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)的方式傳授數(shù)學(xué)知識(shí)。

1．以學(xué)生為中心，以人為本

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教者必須對(duì)每個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)都進(jìn)行仔細(xì)地推敲，看邏輯是否自然，是否符合學(xué)生認(rèn)知水平，學(xué)生能否接受，如何接受，能接受到什么程度。

首先，利用情景設(shè)置吸引學(xué)生的注意力，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣。本節(jié)課先從一個(gè)調(diào)查統(tǒng)計(jì)案例引入，切題又更適應(yīng)學(xué)生實(shí)際，適合課堂教學(xué)。接著，從學(xué)生熟悉的實(shí)例出發(fā)，引出概念；以問(wèn)題的形式啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納；鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)言，允許學(xué)生犯錯(cuò)，對(duì)學(xué)生發(fā)言及時(shí)點(diǎn)評(píng)。這種教學(xué)方式順應(yīng)學(xué)生的思維習(xí)慣，概念形成過(guò)程更加自然，使學(xué)生覺(jué)得大部分內(nèi)容都是自己想出來(lái)的，印象會(huì)更深刻。學(xué)習(xí)是學(xué)生內(nèi)化的結(jié)果，只有自己建構(gòu)的知識(shí)才是最有效的。在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師是情境的創(chuàng)造者，過(guò)程的引導(dǎo)者和啟發(fā)者，學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，是知識(shí)的探究者和發(fā)現(xiàn)者，本堂課較好地體現(xiàn)了“以人為本”的教育理念。

2．問(wèn)題設(shè)計(jì)的有效性

執(zhí)教老師有效的提問(wèn)可以激發(fā)學(xué)生的思維。給出幾個(gè)推理的例子之后，教師問(wèn)：“這些推理方式有何特點(diǎn)與區(qū)別？都正確嗎？”給出歸納推理的含義之后，讓學(xué)生列舉生活中運(yùn)用和學(xué)科學(xué)習(xí)中使用歸納推理的例子；在歐拉公式的發(fā)現(xiàn)中，對(duì)棱錐、棱柱也不忘歸納其頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)、面數(shù)，處處體現(xiàn)歸納推理；在練習(xí)2中，提問(wèn)學(xué)生：如何想到取倒數(shù)來(lái)求通項(xiàng)公式？精準(zhǔn)的問(wèn)題、恰當(dāng)?shù)奶釂?wèn)時(shí)機(jī)，學(xué)生的思維一下子被激發(fā)出來(lái)，這些都體現(xiàn)了教師的教學(xué)機(jī)智。課堂教學(xué)的有效性很大程度上依賴于教師的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，而課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是兩個(gè)方面:（1）提出好的問(wèn)題。“好問(wèn)題”有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，即“有意義”，并且在學(xué)生的思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，“有意義”就是要反映當(dāng)前學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)，“在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)”的問(wèn)題才能形成認(rèn)知的沖突，激活學(xué)生思維。（2）設(shè)計(jì)教和學(xué)的調(diào)控過(guò)程，這就是數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展的再創(chuàng)造過(guò)程以及與學(xué)生認(rèn)知過(guò)程的有機(jī)融合。因此，教學(xué)問(wèn)題設(shè)計(jì)的有效性如何，直接影響課堂教學(xué)質(zhì)量。

3．學(xué)案與多媒體的使用

執(zhí)教老師使用學(xué)案，讓學(xué)在教前，提高了教學(xué)的有效性，落實(shí)學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性、合作性和探究性，讓更多的學(xué)生參與到課堂中來(lái)；使用多媒體課件、實(shí)物展臺(tái)與板書(shū)教學(xué)相結(jié)合，對(duì)學(xué)生各種感官進(jìn)行全方位、多層次、全面立體的刺激，通過(guò)學(xué)生的課堂感悟，完成了既定的教學(xué)目標(biāo)，反映出學(xué)生對(duì)歸納推理的全面的、正確的認(rèn)識(shí)，達(dá)到了較好的教學(xué)效果。

從學(xué)科高度觀察課堂，從學(xué)生認(rèn)知規(guī)律出發(fā)來(lái)組織教學(xué)，且教學(xué)強(qiáng)調(diào)對(duì)核心內(nèi)容的解構(gòu)，注重激活學(xué)生思維，目的在于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從而提高教學(xué)的有效性。