多元表征，讓數(shù)學學習深度發(fā)生——以“乘法分配律”為例

江蘇省常熟市塔前小學 顧培華

【問題描述】

《乘法分配律》是蘇教版四年級下冊探索運算規(guī)律的內(nèi)容之一。每每教完這一內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)總有一部分學生陷于與乘法分配律的對錯糾纏，對乘法分配律的本質(zhì)內(nèi)涵與外在形式的對接時而清晰，時而模糊。老師就不得不再次強調(diào)乘法分配律的意義、特征、注意點等，再不然就通過大量的題海訓練來解決問題?？墒聦嵣?，用這樣的方式?jīng)]法讓學生徹底擺脫與乘法分配律的尷尬相遇。

【內(nèi)涵解讀】

多元表征學習是基于學生認知規(guī)律，組織引導學生進行數(shù)學深度學習的學習方式，其本質(zhì)內(nèi)涵是將數(shù)學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構(gòu)意義聯(lián)系，是建構(gòu)“內(nèi)化—聯(lián)系—外化”的數(shù)學深度學習生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。因此，多元表征學習是學習數(shù)學的一種重要策略。

【創(chuàng)新設計】

一、設計初心

教師：教學過程要遵循學生的認知規(guī)律，為學生創(chuàng)設與教材文本深度對話的多元表征方式，外顯知識的形成過程，溝通知識的內(nèi)在聯(lián)系，讓學生通過多種不同的表征感悟統(tǒng)一的數(shù)學模型。

學生：學習過程中要學會選擇和跟進合適的表征方式，經(jīng)歷知識的“個性化”過程，從而對嚴密抽象的數(shù)學知識注入自己的密碼，留下自己的痕跡，能夠在自主表征的過程中講述自己的數(shù)學故事。

二、設計策略

1．多元表征學習設法激活、喚醒已知，找準深度學習的邏輯起點

學習即聯(lián)系，關乎學生已有的個體經(jīng)驗，這里的經(jīng)驗包括孩子積累的生活經(jīng)驗和學習經(jīng)驗。在學習過程中，教師可以通過創(chuàng)設情境等方式，給學生一個自主攝取原有相關經(jīng)驗的有效通道，實現(xiàn)對新知學習所需經(jīng)驗的激活與喚醒，為獲取新知提供思考的基礎和支撐，進而讓學生進行自主解釋和表征，敞亮知識生成發(fā)展的邏輯。

（1）鏈接已有經(jīng)驗中乘法分配律的“原點”

基于乘法分配律算式表征的本質(zhì)內(nèi)涵是含有相同的幾個幾，那選擇怎樣的情境表征能夠有效引領孩子深度學習呢？

蘇教版教材之所以從原先的“求校服總價”改編成現(xiàn)在的“求跳繩總數(shù)”，究其原因是為了便于學生調(diào)取原有經(jīng)驗中最適切的“生長種子”。

原校服問題：（60+40）×3=60×3+40×3

3個60加40的和=3個60加3個40

現(xiàn)跳繩問題：（6+4）×24=6×24+4×24

6+4即10,10個24=6個24加4個24

引導學生結(jié)合已有經(jīng)驗，可以用言語表征和算式表征解決問題的方法。

方法一：先求四、五年級一共有多少個班？（6+4）×24；

方法二：先分別求出四、五年級各領多少根跳繩？6×24+4×24。

（2）鏈接已學知識中乘法分配律的“原型”

等學生自主探究出乘法分配規(guī)律后，及時引導學生回顧已學知識中這種規(guī)律的存在“身影”，讓學生經(jīng)歷剝離乘法分配律存在的不同“外衣”，進一步去理解其本質(zhì)內(nèi)涵。

鏈接1：口算、筆算方法的角度

出示：12×3=36，引導學生可以看作（10+2）個3。

方法一：口算 方法二：筆算

即：（10+2）×3=10×3+2×3。

鏈接2——長方形周長的角度

出示：長方形有2條長、2條寬。

即：長×2+寬×2=（長+寬）×2。

2．多元表征學習引發(fā)探究、建構(gòu)模型，夯實深度學習的多元外化

學習即建模，關乎孩子當下的自主狀態(tài)。學生在數(shù)學課堂上是亦步亦趨地依葫蘆畫瓢，還是積極探究后的自主建構(gòu)，答案無可厚非，但過程卻值得為師者用心探索。在數(shù)學學習的過程中，讓孩子們通過自主操作、觀察比較、互動交流后自主表征出個體對知識的理解樣態(tài)，然后在集體交流中進一步辨析糾偏、厘清本質(zhì)、歸納完善，從而真正為數(shù)學學習建構(gòu)屬于自己的數(shù)學理解。

（1）根據(jù)“含有幾個幾”列出等式

課堂上，首先根據(jù)給出的實際問題引導學生畫圖表征出解題過程，明確兩種方法結(jié)果相等的本質(zhì)含義和內(nèi)在聯(lián)系——都含有10個24。

（2）緊扣“含有幾個幾”進行圖式互換表征。

①圖的表征→式的表征：根據(jù)動態(tài)圖形表征寫出得到的等式。

（3+5）×2 = 3×2+5×2 （5+3）×60 = 5×60+3×60

②式的表征→圖的表征：根據(jù)等式用圖形進行表征。（4+2）×10=4×10+2×10

（3）經(jīng)歷“觀察比較、猜想驗證”的探究過程

將學習過程中得到的幾個等式作為后續(xù)研究的學習素材：

（6+4）×24 = 6×24+4×24

（3+5）×2 = 3×2+5×2

（5+3）×60 = 5×60+3×60

（4+2）×10 = 4×10+2×10

通過觀察等式，比較異同——引發(fā)猜想，舉例驗證——抽象本質(zhì)，總結(jié)規(guī)律的深入學習，引導學生用言語表征出這個規(guī)律的內(nèi)涵，并鼓勵學生自主用符號表征出發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，用一個等式表示出來：

在交流內(nèi)化的基礎上表示出乘法分配律：（a+b）×c=a×c+b×c。

3．多元表征學習溝通關聯(lián)、激勵想象，達成深度學習的思維拓展

（1）溝通關聯(lián)

①抽取面積模型解釋乘法分配律

對原來圖式進行轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)譯，鋪上對應小長方形。通過計算大長方形面積，發(fā)現(xiàn)和原來求幾個幾的題目表面上看完全不同，但實質(zhì)是完全相通的。

大長方形面積=兩個小長方形面積之和

（3+5）×2=3×2+5×2

②幾個幾的另一種解釋及兩種方法的溝通

從（60+40）×3=60×3+40×3這個等式，既能看出（60+40）個3=60個3+40個3，等式兩邊都表示有100個3。還可以換個角度看到不同的幾個幾（見下圖）：

從圖形表征來分析，橫看是3個（60+40），豎看是3個60與3個40的和。不管看到幾個幾，都可以用乘法分配律來解釋。

（2）拓展想象

課末，將“兩個數(shù)的和”拓展到“兩個數(shù)的差”，將“兩個數(shù)的和”拓展到“三個數(shù)的和”，進而引發(fā)孩子展開新一輪的自主猜想、舉例驗證……在獨立的個性解讀與表征過程中，進一步豐富對乘法分配律的認識。

現(xiàn)在孩童在數(shù)學課堂上的想象與創(chuàng)造就是將來數(shù)學學習中的嚴密推理和發(fā)現(xiàn)的前身，故此讓我們堅定地堅持吧！

【后續(xù)思考】

將多元表征滲透到數(shù)學課堂教學中，一方面可以調(diào)動學生多感官的認知因素，促進知識的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維以及促進學生數(shù)學智慧的生長；另一方面，通過對問題進行多元化的表征，為學生解決數(shù)學問題提供了新的平臺，從而有助于提高學生對問題多角度的解釋能力和創(chuàng)新能力。數(shù)學中多元表征的教學策略為：深度對話文本，找準深度學習的邏輯起點；運用教育機智，夯實深度學習的多元外化；引導關聯(lián)想象，達成深度學習的思維拓展。讓我們正確運用并發(fā)揮多元表征的“正能量”，讓學生在數(shù)學課堂上的深度學習真正發(fā)生。