常曲率空間中的兩類(lèi)緊致子流形*

官展聿，梁 林，周 鑒，梁馨月

(1，3.云南師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，云南 昆明 650500;2.楚雄師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,云南 楚雄 675000；4.云南師范大學(xué)經(jīng)管學(xué)院,云南 昆明 650500)

1.引言

常曲率空間中的子流形是微分幾何研究的主要對(duì)象之一，許多微分幾何學(xué)家致力于研究在不同條件下常曲率空間中子流形的性質(zhì)。對(duì)于具有平行平均曲率向量的子流形浸入到高余維的常曲率空間中的情形，很多研究者已作出研究，并得到一系列的結(jié)果。 Sing Tung Yau在1974年證得，如果M2是常曲率空間N中的一個(gè)曲面并且M2的平均曲率向量平行，那么M2具有平行平均曲率，并且它要么是N中的一個(gè)臍超曲面的極小曲面，要么M2是N中的某個(gè)三維臍子流形的曲面[1]。隨后，他又證得在Sn+p(p>1)中具有平行平均曲率向量的緊致子流形Mn中如果它的第二基本型形式滿足一定的條件，那么它是全臍的[2]。2015年，Zhang Hua Hou，Wang-Hua Qiu在[3]中處理了具有平行平均曲率向量乘積空間的子流形，并得到了一些Simon型等式。而我們將研究常曲率空間中的兩類(lèi)緊致等距浸入子流形。

2. 預(yù)備知識(shí)

(2.1)

(2.2)

(2.3)

其中

(2.4)

對(duì)(2.4)進(jìn)行微分可得Ricci恒等式如下：

(2.5)

令σ為Mn的第二基本形式模長(zhǎng)的平方，定義Hα的第一和第二協(xié)變導(dǎo)數(shù)分別為：

(2.6)

(2.7)

由(2.1)―(2.3)及(2.5)―(2.7)可以得到子流形Mn上關(guān)于σ的Laplace

(2.8)

下面我們給出如下引理：

等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)其滿足如下條件之一：

(1)A1=…=Ap=0,

(2)有兩個(gè)矩陣Aα0和Aβ0不為零，并且存在一個(gè)正交矩陣T使得

其中，02×u，0u×2，0u×u都是零矩陣，u=n-2，L=N(Aα0)=N(Aβ0)，

3.主要定理

證明 由引理2.1及Mn的極小性將(2.6)和(2.7)代入到(2.8)中可得

(3.1)

(3.2)

證明 由平均曲率向量平行以及(2.6)有

(3.3)

其中▽⊥為Mn的法聯(lián)絡(luò)算子，由(3.3)有

=0,

(3.4)

由平均曲率向量平行可得ωn+1β=0(β≠n+1). 再由(2.3)有

具體來(lái)說(shuō)，1）不改變每個(gè)電源并網(wǎng)方式，而通過(guò)先進(jìn)的控制、計(jì)量、通信等技術(shù)聚合各電源、儲(chǔ)能系統(tǒng)、可控負(fù)荷等不同類(lèi)型的分布式能源，通過(guò)更高層面的軟件構(gòu)架實(shí)現(xiàn)多個(gè)分布式能源的協(xié)調(diào)優(yōu)化運(yùn)行，更有利于資源的合理優(yōu)化配置及利用；2）無(wú)需對(duì)電網(wǎng)進(jìn)行改造，而能夠聚合分布式能源對(duì)公網(wǎng)穩(wěn)定輸電，并提供快速響應(yīng)的輔助服務(wù)，成為分布式能源進(jìn)入電力市場(chǎng)的有效方法，降低了其在市場(chǎng)中孤獨(dú)運(yùn)行的失衡風(fēng)險(xiǎn)，可以獲得規(guī)模經(jīng)濟(jì)的效益；3）分布式能源的可視化及虛擬電廠的協(xié)調(diào)控制優(yōu)化，大大減小了以往分布式能源并網(wǎng)對(duì)公網(wǎng)造成的沖擊，降低了分布式電源增長(zhǎng)帶來(lái)的調(diào)度難度，使配電管理更趨于合理有序，提高了系統(tǒng)運(yùn)行的穩(wěn)定性。

AαAn+1-An+1Aα=0 (α≠n+1)，

從而有

且

(3.5)

(3.6)

令F2=tr(φn+1)2，F(xiàn)3=tr(φn+1)3，由(3.6)計(jì)算可得

|φ|2=tr(φn+1)2+tr(φα)2

(3.7)

即

(3.8)

并且由(3.6)及tr(φα)=0可將(3.5)改寫(xiě)為

(3.9)

再由(3.4)，(3.6)可得

(3.10)

(3.11)

由引理2.1及Mn沿平行平均曲率方向是全臍的，因此可將(3.11)式化簡(jiǎn)為

下面討論n=p=2的特殊情況：

λi=(-1)iλ,μi=(-1)iμ,i=1,2,

那么有

(3.13)

將(3.13)代入到(3.11)中可得

(3.14)

由|φ|2=2(λ2+μ2)可將(3.14)式化簡(jiǎn)為