基于Monte-Carlo法的滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性隨機(jī)振動(dòng)可靠性分析

胡明用，李昌，韓興，李云飛，陳宇

(1.遼寧科技大學(xué) 機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，遼寧 鞍山 114051；2.中國(guó)能源建設(shè)集團(tuán)東北電力第一工程有限公司，沈陽(yáng) 110179)

隨著高鐵和航空航天等技術(shù)迅猛發(fā)展，滾動(dòng)軸承作為關(guān)鍵支承部件，對(duì)其研究也不斷地深入。滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是一種復(fù)雜的非線性振動(dòng)系統(tǒng)，由于接觸非線性和間隙非線性耦合導(dǎo)致系統(tǒng)表現(xiàn)出復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)行為，其中包括周期振動(dòng)、準(zhǔn)周期振動(dòng)和混沌振動(dòng)，尤其混沌振動(dòng)的位移具有不確定性和不可預(yù)測(cè)性[1-4]。由于環(huán)境和人為因素的客觀存在，使得系統(tǒng)中零件的幾何尺寸、材料特性、加工誤差和系統(tǒng)的工況參數(shù)都是隨機(jī)變化的，從而導(dǎo)致系統(tǒng)響應(yīng)存在隨機(jī)性,而這種隨機(jī)性必會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性和可靠性，因此，如何定量計(jì)算隨機(jī)參數(shù)狀態(tài)下系統(tǒng)的非線性隨機(jī)振動(dòng)可靠度就成為了關(guān)鍵問(wèn)題。文獻(xiàn)[5]基于齒輪動(dòng)力學(xué)模型建立了齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)耦合振動(dòng)的可靠性模型，解決了齒輪耦合振動(dòng)的可靠性分析和可靠性靈敏度分析的問(wèn)題；文獻(xiàn)[6]以汽輪機(jī)扭葉片為研究對(duì)象，在考慮幾何因素、安裝因素、材料因素和轉(zhuǎn)速隨機(jī)性的同時(shí)，將確定性有限元法、響應(yīng)面方法和Monte-Carlo模擬法相結(jié)合對(duì)葉片進(jìn)行振動(dòng)可靠性分析。但運(yùn)用可靠性理論對(duì)滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行非線性隨機(jī)振動(dòng)可靠性分析還比較少。

以滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)x方向振動(dòng)位移為例，基于Monte-Carlo法，多次重復(fù)抽樣并統(tǒng)計(jì)分析模擬得出其分布和可靠度，同時(shí)分析可靠度對(duì)某些隨機(jī)參數(shù)的敏感性，以克服以往滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)可靠性設(shè)計(jì)中難以獲得大樣本數(shù)據(jù)的問(wèn)題，為滾動(dòng)軸承設(shè)計(jì)制造和轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性研究提供參考。

1 滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的建立

假設(shè)滾動(dòng)體等距離分布在內(nèi)外圈滾道之間，以相同的速度在內(nèi)外圈滾道間做純滾動(dòng)，且保持架與滾動(dòng)體不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)。滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型如圖1所示，第j個(gè)滾動(dòng)體在t時(shí)刻的位置角為

圖1 滾動(dòng)軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型Fig. 1 Model of rolling bearing-rotor system

(1)

式中：Z為滾動(dòng)體數(shù)目；ω為滾動(dòng)體的公轉(zhuǎn)角速度。

當(dāng)徑向游隙為Gr，則彈性接觸變形為

uθj=xcosθj+ysinθj-Gr,

(2)

式中：x，y分別為轉(zhuǎn)子軸心在垂直和水平方向上的位移。

由Hertz接觸定理[7]得滾動(dòng)軸承的非線性接觸力Q，將其分解到x和y方向?yàn)?/p>

(3)

式中：Ki和Ke分別為滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間的接觸剛度；下標(biāo)“+”表示只計(jì)入uθj的正值；當(dāng)uθj≤0時(shí)，表示滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈不接觸，彈性變形量為0。

系統(tǒng)的轉(zhuǎn)子為剛性轉(zhuǎn)子，根據(jù)Lagrange方程建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

(4)

式中：m為系統(tǒng)質(zhì)量；c為系統(tǒng)的阻尼；e為系統(tǒng)的不平衡量偏心距；Fr為作用在轉(zhuǎn)子上的恒定徑向力。

2 Monte-Carlo模擬方法及可靠性分析

Monte-Carlo法又稱統(tǒng)計(jì)模擬試驗(yàn)法或隨機(jī)模擬法，主要思想是要建立與所求問(wèn)題相對(duì)應(yīng)的一個(gè)隨機(jī)概率模型，其中，模型中含有某個(gè)隨機(jī)變量，使這個(gè)隨機(jī)變量的某個(gè)數(shù)字特征(如概率、期望等)正好是所求解問(wèn)題的解；繼而對(duì)建立的數(shù)學(xué)概率模型進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)獲得關(guān)于隨機(jī)變量的大量抽樣值；然后用統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法來(lái)求出這個(gè)隨機(jī)變量數(shù)字特征的估計(jì)值，進(jìn)而求解工程技術(shù)問(wèn)題的近似解[8]。該方法在解決復(fù)雜工程系統(tǒng)和軍用裝備的系統(tǒng)可靠性分析中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，例如：1)小樣本下可靠度和壽命的評(píng)估近似方法；2)大型復(fù)雜的可修復(fù)系統(tǒng)可靠性分析方法；3)多種分析方法的適用性分析和方法選優(yōu)。利用Monte-Carlo法求解工程中的可靠性問(wèn)題，既能保證結(jié)果的準(zhǔn)確性，又適用于各種分布。加之近年來(lái)計(jì)算機(jī)迅猛發(fā)展，使用Monte-Carlo法在計(jì)算機(jī)上大量且快速模擬這些試驗(yàn)成為了可能。

限于篇幅，文中將以系統(tǒng)x方向振動(dòng)位移為例分析其可靠性?；贛onte-Carlo法的可靠性分析基本步驟如下：

1) 選取m，c，e，F(xiàn)r，轉(zhuǎn)速n和Gr為隨機(jī)參數(shù)，假設(shè)這6個(gè)隨機(jī)參數(shù)均服從正態(tài)分布，其余參數(shù)為常數(shù)。在MATLAB中通過(guò)normrnd函數(shù)隨機(jī)抽樣N次，N一般要求不小于1 000，生成上述隨機(jī)參數(shù)的正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)組Xk=(m,c,e,Fr,n,Gr),k=1,2,…,N。

3) 將第k組Xk=(m,c,e，F(xiàn)r,n,Gr)代入系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中求得xk，然后將其代入振動(dòng)位移可靠性極限方程中得到Zk的值。

MATLAB求解過(guò)程如圖2所示。

圖2 可靠性分析程序框圖Fig.2 Block diagram of reliability analysis program

3 計(jì)算實(shí)例與分析

以某深溝球軸承為例分析系統(tǒng)的x方向振動(dòng)位移可靠性，軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1[9]，系統(tǒng)隨機(jī)參數(shù)及其統(tǒng)計(jì)特性見(jiàn)表 2。

表1 軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.1 Structural parameters of bearing

表2 隨機(jī)參數(shù)及統(tǒng)計(jì)特性Tab.2 Random parameters and statistical characteristics

3.1 系統(tǒng)振動(dòng)位移可靠性分析

在上述假設(shè)條件下，通過(guò)Monte-Carlo法進(jìn)行3組抽樣，抽樣次數(shù)依次為5000，10000和15000，依次模擬t=500 s時(shí)的x方向振動(dòng)位移的概率分布。圖3—圖5分別為3組抽樣結(jié)果，其中包括x方向位移的抽樣歷程、概率分布圖和頻數(shù)分布直方圖。每組抽樣概率分布圖中，x方向位移離散點(diǎn)近似為一條直線段；每組頻數(shù)分布直方圖中擬合出了正態(tài)分布曲線，隨著抽樣次數(shù)的增加，擬合越接近正態(tài)分布曲線。由此可知，x方向位移模擬結(jié)果近似服從正態(tài)分布。

圖3 第1組抽樣Fig.3 First group samplings

圖4 第2組抽樣Fig.4 Second group samplings

圖5 第3組抽樣Fig.5 Third group samplings

不同抽樣次數(shù)下，x方向位移可靠度計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。由表可知，隨著抽樣次數(shù)增加，可靠度也隨之增大，最后趨于穩(wěn)定。本例中可靠度在0.98以上，抽樣次數(shù)達(dá)到15 000時(shí)可靠度穩(wěn)定，為0.985 1。

表3 x方向位移可靠度計(jì)算結(jié)果Tab.3 Reliability calculation results of displacement along x direction

3.2 可靠度對(duì)隨機(jī)參數(shù)的敏感性分析

可靠度對(duì)隨機(jī)參數(shù)的敏感性分析是可靠性研究領(lǐng)域的一個(gè)重要方面，對(duì)基于可靠度的設(shè)計(jì)、優(yōu)化和可靠謊報(bào)校驗(yàn)十分必要，也可進(jìn)一步提高估算可靠度的計(jì)算效率[10]。如果可靠度對(duì)某個(gè)隨機(jī)參數(shù)的敏感性較大，則該隨機(jī)參數(shù)在設(shè)計(jì)過(guò)程中要盡量精確；反之，該隨機(jī)參數(shù)可做常數(shù)處理，以減少計(jì)算量。

限于篇幅，只繪出x方向位移可靠度隨徑向力Fr和徑向游隙Gr、偏心距e和系統(tǒng)質(zhì)量m、阻尼c和轉(zhuǎn)速n、徑向力Fr和系統(tǒng)質(zhì)量m的三維變化曲面，分別如圖6—圖9所示。在單個(gè)隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布，均值連續(xù)變化，標(biāo)準(zhǔn)差不變，其他隨機(jī)參數(shù)為常數(shù)情況下，計(jì)算其可靠度結(jié)果如圖10所示。各個(gè)隨機(jī)參數(shù)下的x方向位移可靠度均值和方差見(jiàn)表4。由圖6—圖10和表4可知，x方向位移可靠度對(duì)阻尼c、徑向力Fr和偏心距e的敏感性較大，其中Fr最大，c和e次之，故在設(shè)計(jì)中盡量給出其精確值；而x方向位移可靠度對(duì)轉(zhuǎn)速n、徑向游隙Gr和系統(tǒng)質(zhì)量m的敏感性相對(duì)很小，其中n最小，故可做常數(shù)處理。

圖6 x方向位移可靠度隨Fr和Gr變化的三維曲面Fig.6 3D surface of reliability of displacement along x direction as Fr and Gr change

圖7 x方向位移可靠度隨e和m變化的三維曲面Fig.7 3D surface of reliability of displacement along x direction as e and m change

圖8 x方向位移可靠度隨c和n變化的三維曲面Fig.8 3D surface of reliability of displacement along x direction as c and n change

圖9 x方向位移可靠度隨Fr和m變化的三維曲面Fig.9 3D surface of reliability of displacement along x direction as Fr and m change

圖10 x方向位移可靠度隨各個(gè)隨機(jī)參數(shù)的變化圖Fig.10 Relationships between reliability of displacement along x direction and some random parameters

表4 可靠度的均值和方差Tab.4 Averages and variances of reliability

4 結(jié)論

1)在假設(shè)各個(gè)隨機(jī)參數(shù)服從正態(tài)分布情況下，基于Monte-Carlo法，多次重復(fù)抽樣并統(tǒng)計(jì)分析模擬得出t=500 s時(shí)x方向振動(dòng)位移近似服從正態(tài)分布，且抽樣次數(shù)越多，擬合精度越高。

2)隨著抽樣次數(shù)增多，x方向振動(dòng)位移可靠度逐漸增大且趨于穩(wěn)定，可靠度誤差越小。當(dāng)抽樣次數(shù)達(dá)到15 000時(shí)可靠度穩(wěn)定，為0.985 1。

3)分析x方向振動(dòng)位移可靠度對(duì)各個(gè)隨機(jī)參數(shù)的敏感性，x方向振動(dòng)位移可靠度對(duì)阻尼c、徑向力Fr和偏心距e敏感性較大，其中Fr最大，c和e次之，故在設(shè)計(jì)中盡量給出其精確值；而x方向振動(dòng)位移可靠度對(duì)轉(zhuǎn)速n、徑向游隙Gr和系統(tǒng)質(zhì)量m敏感性相對(duì)很小，其中n最小，故可做常數(shù)處理，以減少計(jì)算量。