稀疏重構(gòu)混合源參數(shù)估計(jì)方法

王春霞 李丹陽(yáng) 鄧 科 殷勤業(yè)

(西安交通大學(xué)電子與信息工程學(xué)院，陜西西安 710049)

1 引言

信源定位是陣列信號(hào)處理的一個(gè)研究熱點(diǎn)，在雷達(dá)、聲吶、地質(zhì)學(xué)、海洋學(xué)等方面都有重要應(yīng)用。根據(jù)信號(hào)源與接收天線距離的不同，通常將信源分為近場(chǎng)源和遠(yuǎn)場(chǎng)源。近場(chǎng)源與天線陣列之間的距離r∈(0.62(D3/λ)1/2,2D2/λ)(D為陣列孔徑,λ為信號(hào)波長(zhǎng))；遠(yuǎn)場(chǎng)源與天線陣列之間的距離r?2D2/λ。

源定位算法的研究起始于遠(yuǎn)場(chǎng)源，比較成熟的遠(yuǎn)場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)算法有MUSIC算法和ESPRIT算法等。在近場(chǎng)源定位中，需要估計(jì)信源角度和信源距離兩個(gè)參數(shù)，現(xiàn)有的近場(chǎng)源估計(jì)算法有二維MUSIC算法[1]，高階ESPRIT算法[2]以及廣義ESPRIT算法[3]等。在某些實(shí)際應(yīng)用中，如表面波雷達(dá)定位、基于麥克風(fēng)陣列的說(shuō)話人定位，以及室內(nèi)自導(dǎo)引系統(tǒng)中，往往只有一部分信源位于陣列的近場(chǎng)區(qū)域，而另一部分信源位于陣列的遠(yuǎn)場(chǎng)區(qū)域。目前適用于遠(yuǎn)近場(chǎng)源共存的信源參數(shù)估計(jì)方法研究還不夠充分，現(xiàn)有的混合源定位算法主要包括兩階段MUSIC算法[4]、斜投影 MUSIC算法[5]、基于子空間差分技術(shù)的混合源定位算法[6]等。兩階段MUSIC算法通過(guò)構(gòu)造兩個(gè)特殊的高階累積量矩陣來(lái)解決源分離問(wèn)題，計(jì)算量大，且當(dāng)遠(yuǎn)近場(chǎng)源存在相近角度時(shí)會(huì)出現(xiàn)估計(jì)錯(cuò)誤。斜投影 MUSIC算法采用斜投影算法分離出近場(chǎng)源信息并構(gòu)建新的協(xié)方差矩陣，但由于僅利用了新的協(xié)方差矩陣的斜對(duì)角元素信息，估計(jì)精度有所下降?；谧涌臻g差分技術(shù)的混合源定位算法在獲得遠(yuǎn)場(chǎng)角度的基礎(chǔ)上，通過(guò)差分技術(shù)獲得抑制噪聲后的近場(chǎng)協(xié)方差矩陣，實(shí)現(xiàn)了近遠(yuǎn)場(chǎng)源的有效分離。以上三種都是子空間類(lèi)算法，這類(lèi)方法受子空間理論框架的限制，在信噪比較低、陣列快拍數(shù)不足或出現(xiàn)相干信號(hào)源的情況下，參數(shù)估計(jì)性能會(huì)急劇下降,甚至失效。

近年來(lái)，隨著壓縮感知理論體系的出現(xiàn)和不斷完善，作為其核心的稀疏重構(gòu)框架被引入陣列信號(hào)處理，出現(xiàn)了許多基于稀疏重構(gòu)的信源參數(shù)估計(jì)算法，如Wang等人提出的稀疏混合源定位算法[7]、l1-SVD[8]算法、JLZA-DOA[9]算法、文獻(xiàn)[10]提出的稀疏近場(chǎng)源定位算法以及一類(lèi)為了解決稀疏重構(gòu)條件下的網(wǎng)格失配問(wèn)題而提出的算法[11-15]等。文獻(xiàn)[7]提出的基于高階累積量的稀疏混合源定位算法借助稀疏信號(hào)重構(gòu)獲得了更好的分辨率和估計(jì)精度,突破了子空間類(lèi)算法的局限性，其構(gòu)造的矩陣大小為(2M+1)×(2M+1)2(L=2M+1，L為陣元個(gè)數(shù))，但并未使用全部的累積量矩陣信息，所利用的有效元素個(gè)數(shù)與本文算法構(gòu)造的(2M+1)×(2M+1)維的矩陣相當(dāng)。文獻(xiàn)[7]在進(jìn)行近場(chǎng)距離估計(jì)時(shí)，將遠(yuǎn)場(chǎng)源當(dāng)作特殊的近場(chǎng)源處理，在估計(jì)近場(chǎng)距離時(shí)也需對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)距離進(jìn)行估計(jì)，算法效率嚴(yán)重下降。文獻(xiàn)[10]使用了稀疏重構(gòu)思想對(duì)近場(chǎng)源參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，利用了二階累積量方法，但其在估計(jì)近場(chǎng)源DOA時(shí)，僅使用了接收信號(hào)自相關(guān)矩陣(2M+1)2個(gè)元素中的(2M+1)個(gè)，信息利用率低，在一定程度上制約了算法的估計(jì)精度。

本文提出的基于稀疏重構(gòu)的混合源參數(shù)估計(jì)算法利用二階統(tǒng)計(jì)量來(lái)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，采用l1-SVD算法的改進(jìn)形式結(jié)合稀疏重構(gòu)思想估計(jì)出遠(yuǎn)場(chǎng)到達(dá)角，由估計(jì)出的遠(yuǎn)場(chǎng)角度和遠(yuǎn)場(chǎng)源信號(hào)功率對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)協(xié)方差矩陣進(jìn)行重建，再?gòu)男盘?hào)協(xié)方差矩陣中減去重建的遠(yuǎn)場(chǎng)協(xié)方差矩陣得到近場(chǎng)協(xié)方差矩陣的估計(jì)，接著利用旋轉(zhuǎn)不變思想構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，通過(guò)對(duì)目標(biāo)函數(shù)求最優(yōu)解得到近場(chǎng)源到達(dá)角，最后利用估計(jì)出的到達(dá)角對(duì)近場(chǎng)陣列流形進(jìn)行稀疏重構(gòu)，得到近場(chǎng)源的距離估計(jì)。

2 混合源信號(hào)模型

如圖1所示，假設(shè)共有K個(gè)窄帶獨(dú)立信源入射到由L=2M+1個(gè)陣元組成的均勻等距線陣上。不失一般性，假設(shè)前K1個(gè)信號(hào)源為近場(chǎng)信號(hào)源,后K-K1個(gè)為遠(yuǎn)場(chǎng)信號(hào)源。

圖1 混合源模型Fig.1 The mixed sources model

以陣列中心為相位參考點(diǎn)，則第l個(gè)陣元在t時(shí)刻的接收信號(hào)可表示為：

(1)

其中sk(t)表示第k個(gè)窄帶信源，nl(t)表示該陣元上的加性噪聲，τlk表示第k個(gè)信源從0陣元到l陣元的延遲相位。對(duì)于第k個(gè)近場(chǎng)源，τlk為：

(2)

(3)

式(1)可以用矩陣形式表示為：

x(t)=ANsN(t)+AFsF(t)+n(t)

(4)

式中

x(t)=[x-M(t),…,xM(t)]T

(5)

(6)

(7)

sN(t)=[s1(t),…,sK1(t)]T

(8)

sF(t)=[sK1+1(t),…,sK(t)]T

(9)

n(t)=[n-M(t),…,nM(t)]T

(10)

3 遠(yuǎn)場(chǎng)源到達(dá)角估計(jì)

首先對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)源到達(dá)角進(jìn)行估計(jì)，由陣列的接收矢量x(t)構(gòu)造陣列的協(xié)方差矩陣R：

R=E{x(t)x(t)H}=RN+RF+σ2I

(11)

式中E{·}表示取期望,[·]H表示共軛轉(zhuǎn)置，RN和RF分別為遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)協(xié)方差矩陣，σ2為噪聲功率，I為單位矩陣。

假設(shè)信源總數(shù)K已知。利用文獻(xiàn)[16]的思想，將遠(yuǎn)場(chǎng)源所在角度區(qū)域劃分網(wǎng)格并形成集合Θ=[θ1,θ2,…,θN0]，其中N0是劃分的網(wǎng)格數(shù)，且N0滿(mǎn)足N0?K，則協(xié)方差矩陣可以稀疏表示為：

R=A(Θ)S+ANSN+N

(12)

其中A(Θ)=[a(θ1),…,a(θN0)]表示過(guò)完備的遠(yuǎn)場(chǎng)陣列流形矩陣，S為N0×L維的稀疏矩陣。當(dāng)網(wǎng)格劃分足夠密集時(shí)，會(huì)有(K-K1)個(gè)角度θ={θK1+1,θK1+2,…,θK}∈Θ或者在Θ中有對(duì)應(yīng)的近似值。式(12)的過(guò)完備表示將到達(dá)角的估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成了求解S的新問(wèn)題，通常信源在某一范圍內(nèi)個(gè)數(shù)很少，S對(duì)應(yīng)的譜是稀疏的，符合稀疏重構(gòu)所需要滿(mǎn)足的信號(hào)稀疏性。

基于上述分析，結(jié)合對(duì)R的稀疏表示，構(gòu)造如下的目標(biāo)函數(shù)：

(13)

4 近場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)

4.1 近遠(yuǎn)場(chǎng)協(xié)方差分離

在得到遠(yuǎn)場(chǎng)源到達(dá)角的估計(jì)之后，根據(jù)式(11)可得RN=R-RF-σ2I，因此可以通過(guò)估計(jì)RF和σ2來(lái)得到RN的估計(jì)[6]。對(duì)R進(jìn)行特征值分解：

(14)

其中Δs為大特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，Us為對(duì)應(yīng)特征向量構(gòu)成的信號(hào)子空間，Δn為小特征值構(gòu)成的對(duì)角陣，Un為對(duì)應(yīng)特征向量構(gòu)成的噪聲子空間。

結(jié)合(11)和(14)兩式得到：

(15)

RF可以通過(guò)下式進(jìn)行估計(jì)：

(16)

(17)

[·]?表示偽逆。

RN可以表示為：

(18)

其中σ2為噪聲功率，通過(guò)對(duì)R的(L-K)個(gè)小的特征值求平均可以得到其估計(jì)值。由式(18)可以看出，從信號(hào)協(xié)方差矩陣中既消除了陣列噪聲，又消除了遠(yuǎn)場(chǎng)源信息，可以更好地實(shí)現(xiàn)混合信號(hào)的抑噪和分離。

4.2 近場(chǎng)源到達(dá)角估計(jì)

為避免二維搜索，提高估計(jì)精度，利用均勻線陣的對(duì)稱(chēng)性對(duì)近場(chǎng)源方向矩陣AN進(jìn)行分塊處理：

(19)

其中

(20)

(21)

(22)

等式(21)可以進(jìn)一步表示為：

(23)

現(xiàn)在使用稀疏重構(gòu)來(lái)估計(jì)近場(chǎng)源到達(dá)角，對(duì)RN進(jìn)行特征值分解：

(24)

對(duì)Gs進(jìn)行分塊處理：

(25)

(26)

(27)

結(jié)合上述分析，構(gòu)造如下的目標(biāo)函數(shù)：

(28)

4.3 近場(chǎng)源距離的估計(jì)

(29)

根據(jù)稀疏重構(gòu)理論，近場(chǎng)源距離的估計(jì)問(wèn)題可以表示為如下的l1范數(shù)最小化目標(biāo)函數(shù)：

(30)

本文算法的具體步驟如下：

1)獲得協(xié)方差矩陣R，通過(guò)求解式(13)的優(yōu)化問(wèn)題，得到遠(yuǎn)場(chǎng)源的角度估計(jì)值；

2)由得到的遠(yuǎn)場(chǎng)源角度估計(jì)值重構(gòu)遠(yuǎn)場(chǎng)協(xié)方差矩陣RF，利用子空間差分方法得到RN；

4)根據(jù)得到的近場(chǎng)源角度估計(jì)值，求解式(30)得到近場(chǎng)源距離的估計(jì)值。

5 計(jì)算復(fù)雜度

關(guān)于計(jì)算復(fù)雜度，這里主要考慮累積量矩陣的構(gòu)建、特征值分解、稀疏重構(gòu)等主要過(guò)程。本文算法需兩次(2M+1)×(2M+1)維的特征值分解和三次稀疏重構(gòu)過(guò)程。在混合源參數(shù)估計(jì)中，文獻(xiàn)[7]需要構(gòu)建(2M+1)×(2M+1)2維的累積量矩陣，(2M+1)×(2M+1)2維和(2M+1)×N維兩個(gè)矩陣的SVD分解，兩次稀疏重構(gòu)過(guò)程。對(duì)比可知，由于構(gòu)建了高階累積量矩陣，文獻(xiàn)[7]比本文算法具有更高的計(jì)算復(fù)雜度。文獻(xiàn)[6]僅需兩次特征值分解和三次譜峰搜索，其復(fù)雜度低于本文算法, 但本文算法的參數(shù)估計(jì)效果優(yōu)于文獻(xiàn)[6]。具體的運(yùn)算量如表1所示，其中N為快拍數(shù)，N0～N3分別為遠(yuǎn)場(chǎng)角度域、近場(chǎng)角度域、遠(yuǎn)場(chǎng)距離域和近場(chǎng)距離域劃分的網(wǎng)格數(shù)。將本文算法與文獻(xiàn)[6]、[7]進(jìn)行比較，考慮兩個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)源位于(-5°,)和(30°,)，兩個(gè)近場(chǎng)源位于(-5°,3λ)和(20°,4λ)，快拍數(shù)為500，信噪比為10 dB，對(duì)每種算法運(yùn)行100次仿真實(shí)驗(yàn)并獲得平均運(yùn)行時(shí)間，結(jié)果如表2所示。可以看出，采用MUSIC類(lèi)譜峰搜索的文獻(xiàn)[6]運(yùn)算時(shí)間最短，本文算法次之，文獻(xiàn)[7]基于高階累積量的稀疏重構(gòu)算法運(yùn)行時(shí)間最長(zhǎng)，這正好和三種算法的計(jì)算復(fù)雜度相對(duì)應(yīng)。

表1 計(jì)算復(fù)雜度比較

表2 平均運(yùn)行時(shí)間

6 仿真結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)采用11個(gè)陣元組成的均勻線陣,陣元間距為0.25λ，信源為等功率的互相獨(dú)立的窄帶信源，噪聲為復(fù)加性高斯白噪聲，且信源與噪聲互不相關(guān)。實(shí)驗(yàn)2和實(shí)驗(yàn)3的仿真結(jié)果基于500次獨(dú)立的蒙特卡羅試驗(yàn)。

信噪比(SNR)和均方根誤差(RMSE)分別被定義為：

(31)

(32)

實(shí)驗(yàn)1驗(yàn)證本文算法的角度分辨能力及估計(jì)信源個(gè)數(shù)的能力，對(duì)比算法選擇文獻(xiàn)[6]。首先考慮有相同混合源到達(dá)角的情況，假設(shè)空間中有三個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)源位于(-15°,)，(-5°,)和(20°,)，兩個(gè)近場(chǎng)源位于(-30°,1.8λ)和(10°,2.2λ)，快拍數(shù)N=2000，信噪比SNR=10 dB。從圖2和圖3可以看出，當(dāng)信源個(gè)數(shù)較多時(shí)，文獻(xiàn)[6]中的算法已無(wú)法對(duì)近場(chǎng)角度和近場(chǎng)距離做出正確估計(jì)，而本文算法依然保持著非常尖銳的譜峰。因此，本文算法在信源個(gè)數(shù)較多情況下的估計(jì)效果遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于文獻(xiàn)[6]中的算法。

圖2 混合源角度估計(jì)譜Fig.2 The estimated spatial spectrums of mixed sources

圖3 近場(chǎng)源距離估計(jì)譜Fig.3 The estimated range spectrums of near-field sources

為了更好地說(shuō)明本文算法相比于文獻(xiàn)[6]方法的高分辨率，令信噪比從0 dB變到30 dB，每種信噪比條件下進(jìn)行1000次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，其余仿真條件不變，繪制出遠(yuǎn)場(chǎng)信源的分辨概率隨信噪比變化的情況，如圖4所示。從圖4可以看出，本文算法空間分辨概率在0～10 dB之間隨著信噪比增加幾乎直線上升到最大概率，并一直維持在最大概率。而文獻(xiàn)[6]中基于譜峰搜索的算法的空間分辨概率在0～10 dB之間概率為0，10～15 dB稍微有所上升，15～20 dB才開(kāi)始有明顯上升，后緩慢上升至最大概率。因此本文算法的空間分辨率明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[6]中的方法，這也驗(yàn)證了稀疏重構(gòu)的高分辨率特性。

圖4 遠(yuǎn)場(chǎng)源分辨概率變化曲線Fig.4 The resolutions versus SNRs for far-field sources

實(shí)驗(yàn)2仿真混合信源下本文算法的估計(jì)效果，對(duì)比算法選擇文獻(xiàn)[6]。假設(shè)空間中兩個(gè)遠(yuǎn)場(chǎng)源分別位于(-5°,)，(30°,)，兩個(gè)近場(chǎng)源分別位于(-15°,3λ)，(20°,4λ)，信噪比從-10 dB變到15 dB，快拍數(shù)為500。從圖5可以看出，無(wú)論是近場(chǎng)源還是遠(yuǎn)場(chǎng)源參數(shù)估計(jì)，本文算法的估計(jì)精度均優(yōu)于文獻(xiàn)[6]。

圖5 混合源均方根誤差隨信噪比變化曲線 Fig.5 RMSEs of mixed sources versus SNRs

實(shí)驗(yàn)3為純近場(chǎng)信源參數(shù)估計(jì)性能的仿真，對(duì)比算法選擇文獻(xiàn)[6]、[7]和[10]。假定兩個(gè)近場(chǎng)源位于(-5°,3λ)和(20°,4λ)，其他參數(shù)同實(shí)驗(yàn)2。觀察圖6結(jié)果可以看出，本文算法在近場(chǎng)到達(dá)角估計(jì)中具有更低的估計(jì)誤差，估計(jì)精度明顯優(yōu)于其他兩種算法。在距離估計(jì)中，當(dāng)信噪比較低時(shí)，本文算法與文獻(xiàn)[10]估計(jì)精度相當(dāng)，并高于文獻(xiàn)[6]和[7]，而在高信噪比下，本文方法和文獻(xiàn)[6]效果趨于一致。文獻(xiàn)[7]算法由于高階累積量在高信噪比下優(yōu)異的噪聲魯棒性，具有最佳的近場(chǎng)距離估計(jì)效果，但其未分離近場(chǎng)源和遠(yuǎn)場(chǎng)源，在近場(chǎng)距離估計(jì)時(shí)，也要將遠(yuǎn)場(chǎng)信源當(dāng)作特殊的近場(chǎng)源進(jìn)行距離估計(jì)，復(fù)雜度高于本文算法。

圖6 純近場(chǎng)均方根誤差隨信噪比變化曲線Fig.6 The RMSEs of DOAs and ranges versus SNRs of pure near-field sources

7 結(jié)論

本文提出了一種基于稀疏信號(hào)重構(gòu)的混合源分離定位方法。首先使用l1-SVD算法的改進(jìn)形式估計(jì)出遠(yuǎn)場(chǎng)源到達(dá)角，然后采用協(xié)方差差分方法得到近場(chǎng)源協(xié)方差矩陣，再通過(guò)對(duì)近場(chǎng)源協(xié)方差矩陣稀疏重構(gòu)估計(jì)出近場(chǎng)源到達(dá)角，最后利用估計(jì)出的近場(chǎng)角度對(duì)近場(chǎng)源協(xié)方差矩陣進(jìn)行稀疏表示，估計(jì)出近場(chǎng)源距離。本文方法在充分利用二階統(tǒng)計(jì)量信息的同時(shí)，不必進(jìn)行二維譜峰搜索和額外的近場(chǎng)源參數(shù)配對(duì)，同時(shí)避免了構(gòu)造計(jì)算復(fù)雜度高的高階累積量矩陣。仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文算法的有效性和空間分辨能力，與文獻(xiàn)[6]中基于MUSIC的算法相比，本文算法估計(jì)精度高，具有更好的混合源分離效果和空間分辨率，避免了文獻(xiàn)[6]中由于近場(chǎng)距離譜峰不明顯而可能導(dǎo)致的估計(jì)失敗問(wèn)題；與文獻(xiàn)[7]相比，本文算法避免了高階累積量的構(gòu)建，也不需要對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)距離加以估計(jì)，有效降低了運(yùn)算量；與文獻(xiàn)[10]相比，本文算法利用了所有陣列接收自相關(guān)矩陣元素的信息，較高的信息利用率保證了更優(yōu)的信源參數(shù)估計(jì)精度。在純近場(chǎng)條件下，本文算法具有更高的角度估計(jì)精度，且低信噪比條件下的近場(chǎng)距離估計(jì)精度也很高。