最小相關(guān)性和最大-最小相關(guān)性MWC重構(gòu)算法

文婉瀅 李 智

(四川大學(xué)電子信息學(xué)院，四川成都 610065)

1 引言

隨著各應(yīng)用領(lǐng)域信號帶寬的不斷增加，目前的商用數(shù)字模擬轉(zhuǎn)換設(shè)備(Analog-to-Digital Converter，ADC)已經(jīng)難以達到所需的采樣率要求，就算達到了采樣率要求，大量的樣本數(shù)據(jù)的存儲和傳輸也將是一大難題。2006年提出的壓縮感知(Compressed Sensing，CS)理論[1-2]解決了稀疏信號樣本數(shù)據(jù)量大的問題，也為其采樣提供了理論基礎(chǔ)。隨機解調(diào)(Random Demodulator，RD)[3-5]系統(tǒng)首次將CS應(yīng)用于模擬域，實現(xiàn)了模擬信息轉(zhuǎn)換[6](Analog to Information Conversion, AIC)，完成了對多音信號(multitone)的壓縮采樣，但是現(xiàn)實生活中，信號頻率大多數(shù)情況下都不僅是多個單頻點，這時用RD系統(tǒng)進行壓縮采樣就難以保證信號的正確重構(gòu)。隨后調(diào)制寬帶轉(zhuǎn)換器(Modulated Wideband Converter，MWC)[7- 8]實現(xiàn)了稀疏多帶信號的欠奈奎斯特采樣。由于通信、雷達和醫(yī)療等應(yīng)用領(lǐng)域的信號都可以建模為稀疏多帶信號，所以MWC結(jié)構(gòu)具有很強的實用性。2016年李智[9]團隊將其擴展到分布式領(lǐng)域，提出了分布式MWC(Distributed Modulated Wideband Converter，DMWC)。Eldar團隊在2017年提出了基于均勻線性陣列(Uniform Linear Array，ULA)的MWC系統(tǒng)[10]?？梢奙WC正在逐步向分布式發(fā)展，分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)在具有擴大探測范圍、提高探測實用性等優(yōu)點的同時還有一個很大的弊端就是節(jié)點分布造成的硬件資源浪費。且對于無人機探測等三圍空間的分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)，硬件質(zhì)量需要嚴格控制到克量級才能達到無人機飛行的載重要求。所以用軟件的方法找到一個可以準(zhǔn)確恢復(fù)的最小通道數(shù)，以盡量少的硬件代價實現(xiàn)高概率恢復(fù)很有必要。

重構(gòu)作為MWC系統(tǒng)的核心部分之一，一直以來都廣受關(guān)注[11-16]。近年來提出的多種算法中包括正交匹配追蹤(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法[7]，RMMV(Random Multiple Measurement Vectors)算法[11]，ReMBo(Reduce MMV and Boost)算法[12]，MVT(Measurement Vectors Transform)算法[13]，ISOMP(Improved Simultaneous Orthogonal Matching Pursuit)算法[14]，RPMB(Randomly Project MMV and Boost)算法[15]等。但是以上各類算法在沒有噪聲的情況下，實現(xiàn)高概率(≥99%)重構(gòu)所需的最小通道數(shù)還遠高于理論極限值。文獻[7]提出可以通過擴展通道來降低采樣通道數(shù)，但是這個方式需要增大硬件低通濾波器的截止頻率、增大ADC的采樣速率、增加后端數(shù)字擴展。因此，僅僅只在軟件上提高重構(gòu)性能、降低所需通道數(shù)，不僅能降低MWC系統(tǒng)的整體采樣率，還可以節(jié)約硬件設(shè)備，減少硬件體積，滿足無人機通信等分布式傳感器網(wǎng)絡(luò)對接收機設(shè)備小型化的要求。

本文提出了可提高低通道數(shù)下重構(gòu)性能的最小相關(guān)性(Minimum Correlation，MinCor)支撐集重構(gòu)算法和最大-最小相關(guān)性(Maximum and Minimum Correlation，Max-MinCor)支撐集重構(gòu)算法。兩種算法首先都通過特征值分解進行降維[7]，然后根據(jù)MUSIC(Multiple Signal Classification)思想[16]將測量值矩陣分為信號子空間和噪聲子空間。MinCor算法根據(jù)噪聲子空間與感知矩陣之間的最小相關(guān)性求取支撐集。在無噪聲條件下，MinCor算法達到高恢復(fù)率(≥99%)所需的通道數(shù)接近理論極限值，但是信噪比小于10 dB時其恢復(fù)率下降。為了提高其抗噪性，Max-MinCor算法聯(lián)合利用信號子空間與感知矩陣的最大相關(guān)性以及噪聲子空間與感知矩陣的最小相關(guān)性分別求取支撐集。Max-MinCor算法在MinCor算法的基礎(chǔ)上增加了抗噪性能。

2 MWC系統(tǒng)描述

(1)

(2)

在MWC恢復(fù)過程中重構(gòu)支撐集是非常重要的一步。理論上只需要m≥2N就可以重構(gòu)出原始信號的支撐集[7]，N為x(t)中的頻帶數(shù)。然而，對于長度為L的N-稀疏信號，OMP算法需要m≥2Nln(L)，基追蹤算法(Basis Pursuit, BP)需要m≥Nlog2(L)[17]。只要未知信號長度L大于4，兩者均大于2N。文獻[7]將OMPMMV算法應(yīng)用于MWC的支撐集重構(gòu)，實驗表明當(dāng)m>4Nlog(M/2N)時可以達到高概率重構(gòu)，其中M為偽隨機序列長度，但該結(jié)果與理論下限2N還有較大差距。針對該問題本文提出MinCor和Max-MinCor算法。

圖1 MWC系統(tǒng)框圖Fig.1 Block diagram of modulated wideband converter

3 MinCor算法和Max-MinCor算法

3.1 MinCor算法

現(xiàn)有的MWC恢復(fù)算法都是通過觀測樣本矩陣與感知矩陣的最大相關(guān)性來求支撐集，因此與感知矩陣不具有最大相關(guān)性的那部分觀測值就被舍去了，沒有用于計算，然而，剩余部分觀測值與感知矩陣的最小相關(guān)性中也包含有支撐集信息，用其計算支撐集的數(shù)學(xué)表達式如下：

(3)

其中W為樣本矩陣Y的噪聲子空間，j為感知矩陣A中的列序號，S為所求得的支撐集，由2N個滿足上述條件的i組成。下面以定理形式引入，并對其進行證明。

證明 在沒有噪聲時，由支撐集S的定義可知，V=ASUS，其中AS表示對應(yīng)于S的A的列子集，US表示對應(yīng)于S的U的行子集。因此由已知條件可得WTV=WTASUS=0。因為U的稀疏度為K，得出rank(US)=K，即U的S列線性無關(guān)，所以US可逆。于是WTAS=0，即當(dāng)j∈S時，=WTAj=0成立。

假設(shè)除了j∈S外，還有j0S使=0成立，即WTA[S, j0]=0。從WTV=0可以知道，剩余觀測值W的列組成的矩陣的秩為m-K。又因為WTA[S, j0]=0，根據(jù)線性方程組理論rank(WT)+rank(A[S, j0])≤m,又因為rank(A[S, j0])≥rank(AS)=K所以rank(A[S, j0])=K，說明A中最大線性無關(guān)的列數(shù)為K，與A中最大線性無關(guān)的列數(shù)為K+1相矛盾。所以當(dāng)且僅當(dāng)j∈S時，=WTAj=0成立。

由以上定理可以推出在沒有噪聲時，當(dāng)m≥K+1時，通過計算噪聲子空間W在A的各列上的投影值，即，j∈1,2,…,L可以求出支撐集。在有噪聲的情況下，由于，j∈S不再為零，需要通過比較的數(shù)值，取較小的K項即可求出支撐集。向量W在另一個向量A上的投影可以反映向量W與向量A之間的相關(guān)性[14]。所以將以上描述的算法命名為最小相關(guān)性算法(MinCor算法)。

由以上證明可以看出，采用噪聲子空間W來計算MWC支撐集需要滿足以下要求：1)感知矩陣A的任意m列線性無關(guān)；2)矩陣W的秩等于m-K。因為構(gòu)成MWC感知矩陣的偽隨機序列pi(t)的隨機性，1)得到保證[7]。如果rank(U)=K，因為AS中各個列互不相關(guān)，所以：

rank(W)=m-rank(V)=m-rank(U)=m-K

(4)

即滿足2)。其算法如表1所示。

表1 MinCor算法

續(xù)表1

3.2 最大-最小相關(guān)性算法

針對MinCor算法在信噪比小于10 dB時，恢復(fù)性能下降的問題，本文提出最大-最小相關(guān)性算法(Max-MinCor)。該算法綜合了最大相關(guān)性與最小相關(guān)性算法各自的優(yōu)點，分別用最大相關(guān)性方法和最小相關(guān)性方法計算支撐集，然后將兩種方法求得的支撐集求并集得到初步支撐集，在初步支撐集項數(shù)大于通道數(shù)時添加判決條件刪除多余支撐集。算法步驟如表2所示。

表2 Max-MinCor算法

續(xù)表2

4 實驗結(jié)果

本節(jié)設(shè)計以下三個實驗對提出算法進行驗證：4.1節(jié)對比了MinCor、Max-MinCor和OMP、RPMB算法的重構(gòu)成功率情況，其中RPMB算法中解MMV模型用OMPMMV方法，重復(fù)嘗試次數(shù)設(shè)置為10，門限值設(shè)置為0.1，投影維度為2N；4.2節(jié)比較了以上幾種算法在運行時間上的差異；4.3節(jié)驗證了MinCor、Max-MinCor算法在擴展通道情況下可用于進一步減少通道數(shù)。

采用文獻[7]中的信號模型和采樣參數(shù)，實驗中的多帶信號由式(5)產(chǎn)生：

cos(2πfi(t-τi))+n(t)

(5)

其中n(t)為高斯白噪聲，MWC系統(tǒng)中的參數(shù)設(shè)置為：頻帶數(shù)N=6，fnyq=10 GHz，帶寬B={50,50,50}MHz，能量系數(shù)E={10,20,30}，延遲時間τ={3.159，5.528，1.580}μs，fi∈[-fnyq/2，fnyq/2]，且fi隨機產(chǎn)生，偽隨機序列長度L=195，樣本長度為405。

圖2為一個加入SNR=20 dB的高斯白噪聲的信號與其頻譜圖。設(shè)置m=30，圖3和圖4分別為對圖2信號進行MWC采樣后，用MinCor算法和Max-MinCor算法恢復(fù)的信號和頻譜圖。從圖3和圖4可以看出，此時，MinCor算法和Max-MinCor算法的恢復(fù)效果在時域和頻域顯示都很好。

圖2 加入噪聲的信號及其頻譜圖Fig.2 Original noisy signal and its spectrum

圖3 MinCor恢復(fù)信號及其頻譜圖Fig.3 Reconstructed signal based on MinCor and its spectrum

圖4 Max-MinCor恢復(fù)信號及其頻譜圖Fig.4 Reconstructed signal based on Max-MinCor and its spectrum

4.1 重構(gòu)成功率比較

計算重構(gòu)成功率時，進行500次蒙特卡羅實驗，計算支撐集成功方法見文獻[7]。圖5給出了在不同SNR下，當(dāng)通道數(shù)m∈[1,41]時Max-MinCor、MinCor、OMP、RPMB算法的重構(gòu)成功率情況。可見，在沒有噪聲時，Max-MinCor、MinCor算法在m=K+1=13時即可實現(xiàn)高于99%的重構(gòu)成功率。在有噪聲時，以上兩種算法仍然能在低通道數(shù)下實現(xiàn)高概率重構(gòu)。在不同信噪比條件下，從實驗結(jié)果可以看出，當(dāng)m<22時，MinCor算法重構(gòu)成功率明顯高于OMP和RPMB；在信噪比較低時(<10 dB)，隨著通道數(shù)的增加MinCor算法重構(gòu)成功率低于OMP，此時Max-MinCor算法的恢復(fù)率在所選通道數(shù)區(qū)間高于MinCor、OMP和RPMB，穩(wěn)定時恢復(fù)率可以達到96.6%，比MinCor算法穩(wěn)定時的恢復(fù)率高6%左右。

圖5 不同信噪比時的重構(gòu)成功率比較Fig.5 Reconstruction success rate comparison under different SNRs

4.2 重構(gòu)時間比較

MinCor算法的另一個優(yōu)點是在通道數(shù)較小時，因為其測量值矩陣的維度為m×(m-2N)小于OMPMMV算法的測量值矩陣維度m×2N，所以當(dāng)m在區(qū)間[2N+1,4N]取值時，MinCor算法的運行時間小于OMP、RPMB和Max-MinCor算法，這時在信噪比大于10 dB時，MinCor算法可實現(xiàn)快速高概率重構(gòu)。

本節(jié)在4.1節(jié)的基礎(chǔ)上，設(shè)置m∈[10,60]，SNR=30 dB，其余參數(shù)不變，得到Max-MinCor、MinCor、OMP、RPMB算法的支撐集重構(gòu)所需時間對比圖如圖6所示。圖6中重構(gòu)時間等于同一個信號重復(fù)執(zhí)行500次支撐集求解過程的總時間除以500，即多次重構(gòu)的平均重構(gòu)時間。由圖6可以看出，重構(gòu)時間隨著樣本數(shù)據(jù)量(即通道數(shù))的增加而增加，在通道數(shù)小于35時，MinCor算法的重構(gòu)時間低于以上所有算法的重構(gòu)時間。

圖6 重構(gòu)支撐集所需時間對比Fig.6 Reconstruction time comparison

4.3 與通道擴展復(fù)用進一步減小通道數(shù)

文章[7]提出的擴展通道的方法通過增加后端ADC采樣率來達到降低通道數(shù)節(jié)約硬件成本的目的。這種方法是實用的，且與本文提出的MinCor、Max-MinCor算法并不矛盾，兩者復(fù)用將達到更好的效果。MinCor、Max-MinCor算法與擴展通道復(fù)用，理論上可以將頻帶數(shù)為N時恢復(fù)率達到99%以上所需的最小通道數(shù)從2N+1降低到「(2N+1)/q?，其中q為擴展因數(shù)，「??表示向上取整，更大程度上減小了硬件通道數(shù)。

本節(jié)在4.1節(jié)的基礎(chǔ)上，設(shè)置q=3，其余參數(shù)不變。圖7給出了MinCor、Max-MinCor算法與OMP、RPMB算法在不同信噪比下，當(dāng)通道數(shù)m∈[1,41]時的重構(gòu)成功率情況。可以看出當(dāng)SNR≥20 dB時，MinCor算法重構(gòu)成功率大于等于OMP和RPMB；Max-MinCor算法重構(gòu)成功率高于MinCor、OMP和RPMB；且在無噪聲的理論條件下，m=5時就可以達到100%的恢復(fù)率，當(dāng)SNR為10 dB時，MinCor算法穩(wěn)定重構(gòu)率能達到95%左右，Max-MinCor算法穩(wěn)定重構(gòu)率能達到98%左右。從圖7(a)的實驗結(jié)果也可以看出，無噪聲時，恢復(fù)率達到99%以上的最小通道數(shù)從擴展前的13減小到了擴展后的5。

圖7 擴展因數(shù)q=3，不同信噪比時的重構(gòu)成功率比較Fig.7 Reconstruction success rate comparison under different SNRs if q=3

5 結(jié)論

針對MWC中現(xiàn)有算法高概率恢復(fù)支撐集所需通道數(shù)高的缺陷，提出兩種新的計算支撐集的方法即MinCor算法和Max-MinCor算法。實驗結(jié)果表明無噪聲條件下兩種算法完美恢復(fù)所需的最小通道數(shù)均已接近理論極限。且MinCor算法在低通道數(shù)下恢復(fù)速率高于現(xiàn)有MMV算法，但該方法缺失了一定的抗噪性。Max-MinCor算法在MinCor算法的基礎(chǔ)上提高了抗噪性能，但該算法恢復(fù)速率有降低。同時，如果有進一步降低通道數(shù)的要求，以上兩種方法可以與通道擴展進行復(fù)用。在以后的研究中，可以對算法的抗噪性能和運算速率進行進一步改善。