二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復雜度分析

冉 杰，劉衍民，王常春，王正偉

（遵義師范學院數(shù)學學院，貴州遵義563006）

1 引言

混沌偽隨機序列的復雜性是指偽隨機序列接近隨機序列的程度。越接近隨機序列，其復雜度越大，因此，偽隨機序列復雜性是衡量保密通信系統(tǒng)抗干擾、抗截獲能力的重要指標之一[1]。因此復雜度的分析具有重要的研究價值。

關于復雜度的分析已經(jīng)有大量的學者研究。一些有關混沌時間序列復雜度研究的工作如下：文獻[1]對Logistic映射、Gaussian映射和TD-ERCS系統(tǒng)的混沌時間序列進行了復雜度分析。孫克輝等計算了TD-ERCS離散混沌偽隨機序列的復雜度大小[2]。文獻[3]采用強度統(tǒng)計復雜度算法，分別對離散混沌系統(tǒng)(TD-ERCS)和連續(xù)混沌系統(tǒng)(簡化Lorenz系統(tǒng))進行復雜度分析。羅松江等以Logistic映射和耦合映像格子映射產(chǎn)生的混沌序列和多進制混沌偽隨機序列為例，用增強統(tǒng)計復雜度方法，分析了混沌偽隨機序列的復雜度[4]。更多復雜度的研究見文獻[5-11]。

雖然關于復雜度的研究已經(jīng)有大量的成果，但是這些成果遠不能滿足實際需求。復雜度的研究仍然是一個艱巨而深遠的研究主題。關于復雜度的研究工作還需進一步的深入。基于此，本文借助譜熵算法，討論二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復雜度。

2 譜熵復雜度算法

譜熵(spectralentropy,SE)采用傅里葉變換，通過傅里葉變換域內(nèi)能量分布，結合香農(nóng)熵得出相應譜熵值，其算法流程如下[1]：

第2步：離散傅里葉變換，對序列作如下傅里葉變換：

第4步：計算譜熵，利用Pk，得信號的譜熵（SE）為：

當序列功率譜分布越不均衡時，序列頻譜結構越簡單，信號中具有明顯的振蕩規(guī)律，得到的SE測度值越小，即復雜度越小，否則復雜度越大[1]。

3 二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復雜度分析

利用上述的SE復雜度算法，計算二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)的復雜度，并討論參數(shù)的取值情況。

二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)[8-10]如下：

其中，a和h為系統(tǒng)參數(shù)。當a=0.85，h=1，系統(tǒng)（5）展現(xiàn)出混沌吸引子如圖1。下面我們討論系統(tǒng)（5）在 a∈［0，1］和h∈［0，1］之間的復雜度。計算結果如圖2所示?；趫D2，我們?nèi)=0.95，h=1系統(tǒng)（5）展現(xiàn)出比圖1更加復雜的混沌吸引子，如圖3所示。

圖 1 系統(tǒng)（5）的混沌吸引子，a=0.85，h=1。

圖 2 系統(tǒng)（5）的 SE 復雜度，a∈［0，1］和 h∈［0，1］。

圖 3 系統(tǒng)（5）的混沌吸引子，a=0.95，h=1。

4 結論

通過以上的分析，我們發(fā)現(xiàn)在圖2的右上角區(qū)域具有較高的復雜度。進一步，當參數(shù)a∈［0.9，1］和h∈［0.9，1］時，系統(tǒng)的復雜度達到了0.9.也就是說當我們采用二維離散 Lorenz混沌系統(tǒng)作加密運算時，參數(shù)就可以選擇在這個參數(shù)區(qū)間，讓密匙更加復雜，難以破解。因此二維離散Lorenz混沌系統(tǒng)具有較好的應用前景。