不確定理論下帶懲罰機(jī)制的城市污水處理期望收益模型

張 林,李存林,2*,李 丹 (.北方民族大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,寧夏 銀川 75002；2.北方民族大學(xué)管理學(xué)院,寧夏 銀川 75002)

隨著我國城市化率和生活水平的提高,城市產(chǎn)生的污水越來越多.此前,我國主要靠政府建設(shè)污水處理廠處理污水.現(xiàn)在,政府對污水處理都進(jìn)行了市場化管理,外包(BOT)給專業(yè)企業(yè)[1].這使得政府和污水處理企業(yè)形成了委托代理關(guān)系,隨之也帶來了“道德風(fēng)險(xiǎn)”問題:政府無法準(zhǔn)確評估企業(yè)實(shí)際的污水處理量,造成雙方信息不對稱.這種不對稱可能引發(fā)企業(yè)的投機(jī)行為,即:為了追求利潤最大化,企業(yè)不顧污水處理過程中,不確定性因素對實(shí)際污水處理量的影響,惡意提高簽約量,使簽約量大于實(shí)際處理量,來獲取更多利潤.這可能造成大量污水得不到及時(shí)處理,甚至導(dǎo)致城市環(huán)境污染或城市環(huán)境公共危機(jī)事件.由此造成環(huán)境和社會(huì)利益負(fù)的外部性,政府還可能為此埋單.為了降低委托代理關(guān)系中的道德風(fēng)險(xiǎn),維護(hù)政府和社會(huì)公共利益,預(yù)防污水處理企業(yè)惡意提高簽約量的投機(jī)行為,政府必須在與企業(yè)簽訂外包合同時(shí)[2-3],引入懲罰機(jī)制降低道德風(fēng)險(xiǎn).引入懲罰機(jī)制,致使企業(yè)充分、合理地評估生產(chǎn)中可能存在的不確定因素,客觀、科學(xué)地確定簽約量.

國內(nèi)外學(xué)者對城市污水處理的研究主要分為兩類.一類研究污水處理的生物化學(xué)方法及工藝流程.如:污泥對水中硫化物的吸附特性[4]、冬季硝化強(qiáng)化與微生物種群分析[5]、污水地下滲濾系統(tǒng)強(qiáng)化脫氮試驗(yàn)的研究、化學(xué)強(qiáng)化、污染物分析、城市廢水指標(biāo)[6-8]等方面;另一類研究污水處理過程的優(yōu)化與管理.如排污權(quán)價(jià)格對污水處理投資決策的影響[9]、污水處理系統(tǒng)最優(yōu)控制[10]、企業(yè)運(yùn)營成本的污水處理費(fèi)制度[11]、城鎮(zhèn)污水處理設(shè)施空間優(yōu)化配置[12-13]等.第二類研究在涉及污水處理量時(shí),都將其刻畫為一個(gè)確定的數(shù)值.事實(shí)上,污水處理實(shí)踐中常常遇到一些復(fù)雜的、主觀的和不確定的因素[14],如管理不善、工人操作失誤、設(shè)備故障、天氣情況等,影響企業(yè)實(shí)際完成的污水處理量.因此,許多學(xué)者將企業(yè)實(shí)際污水處理量刻畫為隨機(jī)變量[15-19].眾所周知,隨機(jī)變量依賴于事件的可重復(fù)性.現(xiàn)實(shí)中,很多企業(yè)無法收集到足以估計(jì)其處理量的歷史數(shù)據(jù),也無法找到其統(tǒng)計(jì)規(guī)律.企業(yè)只能讓同行專家利用經(jīng)驗(yàn)判斷或不完全的數(shù)據(jù)做出粗略估計(jì)[20].從另外角度看,之前專家對污水處理問題的研究,都聚焦在企業(yè)內(nèi)部處理方式的優(yōu)化或處理技術(shù)的更新.沒有學(xué)者從政府與企業(yè)關(guān)系角度研究污水處理問題.

針對以上不足,本文從以下兩個(gè)方面進(jìn)行改進(jìn):一是引入公理化的不確定決策空間,將企業(yè)污水處理量刻畫為不確定空間中的不確定變量.這種不確定變量,不依賴于歷史統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),只依賴于專家對污水處理企業(yè)的經(jīng)驗(yàn)評估.這種經(jīng)驗(yàn)評估是建立在公理化不確定系統(tǒng)上,使得這種處理方式更科學(xué),更合理;二是從政府和企業(yè)的關(guān)系角度,在污水處理的模型中引入懲罰機(jī)制,抑制企業(yè)決策中的“道德風(fēng)險(xiǎn)”.

1 研究方法

現(xiàn)實(shí)中,企業(yè)處理污水量受眾多因素的影響,每次影響正常生產(chǎn)的原因也不盡相同.這些影響生產(chǎn)的不確定因素,通常也是無規(guī)律可尋.一方面,如果污水處理企業(yè)有很多條生產(chǎn)線,企業(yè)可以在不同的生產(chǎn)線同時(shí)收集數(shù)據(jù),很容易收集到估計(jì)產(chǎn)量分布規(guī)律的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).而實(shí)踐中,污水處理企業(yè)只有一兩條相同的生產(chǎn)線,不具備同時(shí)收集污水處理量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的條件,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的收集只能一年一年積累,要收集到足以估計(jì)其產(chǎn)量概率分布的大樣本,需要幾年的時(shí)間,這對實(shí)際生產(chǎn)幾乎沒有指導(dǎo)意義.另一方面,隨著居民生活水平的變化,污水成分也發(fā)生變化,處理技術(shù)也在更新,整個(gè)企業(yè)生產(chǎn)條件發(fā)生變化,造成之前收集的數(shù)據(jù)和現(xiàn)在的數(shù)據(jù)不具備同分布的性質(zhì).這種背景下,用概率變量估計(jì)污水處理量顯然是不科學(xué)的,也不可行.當(dāng)然,也有學(xué)者利用專家經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行估計(jì),用主觀概率刻畫污水處理企業(yè)的實(shí)際處理量,然后用概率理論進(jìn)行處理.這些學(xué)者忽略了專家的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)相對于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)是較為粗略的.主觀概率又是建立在概率理論可加測度上的理論,將這種粗略的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)變量用在具有可加性的概率測度上,意味著人為將專家粗略估計(jì)的變量假定為一個(gè)相對精確的統(tǒng)計(jì)變量.這使得專家的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)在運(yùn)算中具有了可加性.而理論上沒有人證明主觀經(jīng)驗(yàn)具有可加性,實(shí)踐中也不可能有人相信一個(gè)主觀的經(jīng)驗(yàn)判斷還具有可加性.這種用概率理論或主觀概率理論處理專家主觀經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù),必然造成企業(yè)對自己實(shí)際污水處理量估計(jì)的過度自信,導(dǎo)致企業(yè)簽約量大于實(shí)際處理量.在具有懲罰機(jī)制的條件下,企業(yè)觸發(fā)懲罰條款的可能性大增,收益也會(huì)受損.若由于樂觀估計(jì)造成的過多簽約污水,得不到及時(shí)處理,還可能導(dǎo)致環(huán)境危機(jī)事件.

本文引入 Liu[20-21]提出的公理化不確定理論.這種理論中的不確定變量,不依賴于事件的可重復(fù)性,只依賴于行業(yè)專家對實(shí)際狀況的經(jīng)驗(yàn)評估,這種經(jīng)驗(yàn)評估不但是建立在非可加測度基礎(chǔ)上的,而且是建立在公理化系統(tǒng)上的.這有效的避免了主觀概率系統(tǒng)中,主觀經(jīng)驗(yàn)估計(jì)具有可加性的弱點(diǎn).

定義1[20]設(shè)Γ是一個(gè)非空集,l是Γ上的一個(gè)σ?代數(shù),l上的元素Λ稱為事件,M{Λ}是事件Λ發(fā)生的信度. Λc是Λ在l上的補(bǔ)集.若以下三個(gè)公理

公理1. (規(guī)范性公理) 對于全集Γ,有M{Λ}=1.

公理 2. (對偶性公理) 對于任意事件Λ,有M{Λ}+M{Λc}=1.

公理3. (次可加性公理)對于事件Λ1, Λ2,??,Λn,???,有則稱M為一個(gè)不確定測度,稱三元集(Γ,l,M)為一個(gè)不確定空間.

定義 2[20]設(shè)ξ是一個(gè)不確定變量,則Φ(x) = M { ξ ≤x}是ξ的分布函數(shù),其中x∈?.

定理 1[20]設(shè)ξ是一個(gè)具有不確定分布Φ的不確定變量,若它的期望值存在,則期望值為

定義3 一個(gè)不確定變量ξ滿足

則稱ξ是線性的,且服從線性不確定分布,記為ξ ～ L[a,b].

定理 2[22]設(shè)ξ是一個(gè)具有不確定分布Φ的不確定變量,若 f(x)是一個(gè)嚴(yán)格單調(diào)(單增或單減)函數(shù),則存在期望值

2 模型的建立與求解

如引言所述,政府在與污水處理企業(yè)簽訂委托代理合同時(shí),應(yīng)增加懲罰條款,以遏制企業(yè)“道德風(fēng)險(xiǎn)”.模型中政府對污水處理企業(yè)的懲罰機(jī)制設(shè)計(jì)為:對未完成的污水量,按照合約價(jià)乘以一定的懲罰率實(shí)施懲罰.

2.1 模型假設(shè)

(1)假定企業(yè)實(shí)際污水處理量為不確定空間的不確定變量.

(2)假設(shè)政府能提供給企業(yè)足夠的污水量,若污水供給量不足,政府應(yīng)按簽約量支付費(fèi)用;

(3)對企業(yè)的懲罰只針對簽約量中未完成部分,對完成部分按照合同計(jì)價(jià);

(4)一切不可抗力因素導(dǎo)致的不良后果,由政府和企業(yè)雙方共同承擔(dān),不影響簽約效果.

現(xiàn)在給出模型中使用的符號說明

x企業(yè)與政府簽約的污水量(萬t), Qx≤≤0,Q表示政府提供給企業(yè)的污水量,假設(shè) Q足夠大;ξ企業(yè)實(shí)際能夠處理的污水量(萬t),是不確定變量,0≥ξ;p污水處理費(fèi)用單價(jià)(元/t),0≥p;c處理污水的總成本費(fèi)用單價(jià)(元/t),0＞＞cp;v政府對企業(yè)違約部分的懲罰率,0＞v;)(xμ污水處理企業(yè)收益(萬元).

2.2 模型構(gòu)建

設(shè)企業(yè)實(shí)際能夠處理的污水量ξ是一個(gè)不確定變量,具有不確定分布Φ.如果企業(yè)污水簽約量是 x,則收益不確定函數(shù)μ(x)為

注:企業(yè)污水處理量ξ在年初簽訂合約時(shí)是一個(gè)不確定的量,但到了年終, ξ是具體的確定值.因此,算子min{x,ξ}雖然是不確定變量與確定變量的取小運(yùn)算,實(shí)踐中仍然是有意義的.根據(jù)目標(biāo)函數(shù)(1),考慮帶懲罰機(jī)制的污水處理問題,可建立如下期望收益模型.

定義 4 設(shè)污水處理企業(yè)的收益小于μ*的最大不確定指數(shù)要小于等于β,則基于不確定理論的污水處理期望收益模型為

式中:β為企業(yè)所能承受的最大不確定指數(shù)(0≤β≤1),μ*是污水處理企業(yè)的保守收益.

2.3 模型轉(zhuǎn)化與求解

模型(2)是不確定規(guī)劃,要用去不確定性的方法,將其轉(zhuǎn)化為等價(jià)的經(jīng)典數(shù)學(xué)規(guī)劃求解.

定理 3 設(shè)政府對未完成污水量的總價(jià)值(x?ξ)p以懲罰率v進(jìn)行懲罰,若ξ～L[a,b],則帶懲罰機(jī)制的污水處理期望收益為

證明 因ξ服從線性不確定分布 L [ a,b],分布函數(shù)為 Φ (t ) ,(t∈?+).μ( x,ξ)是關(guān)于ξ的單調(diào)遞增函數(shù),將(1)式代入E[μ( x,ξ)],根據(jù)定理2及線性不確定分布 L [ a ,b]的性質(zhì)[20-21]可得

積分可得

證畢.

對于約束條件

又ξ是一個(gè)不確定變量,根據(jù)文獻(xiàn)[20]可知μ( x, ξ)是 不 確 定 變 量 的 函 數(shù),連 續(xù) 且 單 調(diào),用D ( v ,β,μ*)表示可行解的集合,可得如下定理

定理4 模型(2)可行解集合具有下列性質(zhì):

(1)若 D ( v ,β,μ*)是空集,則污水處理企業(yè)就會(huì)放棄和政府進(jìn)行簽約;

(2)若 D ( v ,β,μ*)非空,則

證明 將(1)式代入約束條件(4)式,可得

或

(1)由*式,有

此時(shí)企業(yè)不會(huì)選擇和政府簽約,即可行集D ( v ,β,μ*)是空集.

(2) 若 D ( v ,β,μ*)非空,對*式,可行解 x應(yīng)滿足同理,對**式,有

綜上所述,若 D ( v ,β,μ*)非空,則滿足

證畢.

因此,模型(2)可轉(zhuǎn)化為下列等價(jià)模型(6).

定義 5 不確定理論下帶懲罰機(jī)制的污水處理期望收益模型為

其中,E[μ(x,ξ)]滿足(3)式,x∈ D (v,β,μ*)滿足(5)式.

3 數(shù)值算例

政府以每噸 p = 3元將本城市部分污水委托給某企業(yè)處理,企業(yè)處理污水的成本為每噸 1=c 元,政府對未處理完污水量懲罰率為 1.0=v ,企業(yè)實(shí)際污水處理量]200,150[～Lξ, 即150=a萬t,200=b萬t.則基于不確定理論,帶懲罰機(jī)制的污水處理企業(yè)期望收益(3)式為

設(shè)企業(yè)保守收益為300萬元,則可行集(5)式為

若,05.0=β則模型(6)為

用Matlab軟件算出最優(yōu)解 17.169=x 萬t,最大期望收益89.329=μ萬元.如圖1

圖1 期望收益和簽約量關(guān)系Fig.1 Expected return and contract volume

圖1中第1、2、4條豎線分別代表兩個(gè)區(qū)間:外圍區(qū)間 [1 50,200]為目標(biāo)函數(shù)的分段區(qū)間,前面第1、2條豎線表示約束集 [1 50,507.5/3],第 3條豎線代表期望收益函數(shù)的全局最優(yōu)解xq.分析圖1可知,當(dāng)企業(yè)承受的不確定指數(shù)為 0.05時(shí),企業(yè)受到可行集的約束.當(dāng)x取最大約束值 xj=507 . 5/3(≈169.17)時(shí),得到最大收益值為 329.89萬元.當(dāng) xj大于全局最優(yōu)解xq= 1 93. 4 8時(shí),函數(shù)圖中有極大值點(diǎn)(193.48, 343.48),此刻企業(yè)獲得穩(wěn)定的最大收益值343.48萬元.

4 結(jié)果與分析

下面利用Matlab軟件的粒子群算法分別對模型中的參數(shù):不確定指數(shù)β、懲罰率v、不確定度區(qū)間[a , b]取不同的值,求得相應(yīng)的污水簽約量x和期望收益E[μ],然后再分別討論各個(gè)參數(shù)值的變化對結(jié)果的影響,及實(shí)際意義.

4.1 對不確定指數(shù)β的討論

結(jié)合上面算例,取

則計(jì)算如表1

表1 期望收益、簽約量和不確定指數(shù)的關(guān)系Table 1 Expected return, contract volume and uncertain index

圖2 期望收益和不確定指數(shù)的關(guān)系Fig.2 Expected return and uncertain index

從圖2、圖3和表1可知,(1)懲罰率不變的條件下,隨著企業(yè)所能承受的不確定指數(shù)β的逐漸增加,簽約量逐漸增大,期望收益也快速增加.當(dāng)β增加到 0.12時(shí),][μE和x均達(dá)到最大值.(2)當(dāng)β大于0.12以后,其對期望收益和簽約量將不在有影響.因?yàn)殡S著β增大,可行集范圍漸漸擴(kuò)大.可行集的右端點(diǎn)值已經(jīng)超過了期望收益函數(shù)的全局最優(yōu)解 48.193=q x ,之后全局最優(yōu)解xq保持不變,且在企業(yè)污水處理能力范圍 ]200,150[之間,固然最大收益值不變(如圖1).

圖3 簽約量和不確定指數(shù)的關(guān)系Fig.3 Contract volume and uncertain index

4.2 對懲罰率v的討論

同樣地,結(jié)合上述算例取 p = 3,c = 1, μ*=300,β =0.05,[ a , b]=[150,200],可得

表2 期望收益、簽約量和懲罰率的關(guān)系Table 2 Expected return, contract volume and penalty rate

圖4 期望收益和懲罰率的關(guān)系Fig.4 Expected return and penalty rate

從圖4、圖5和表2可知,(1)給定不確定指數(shù),隨著懲罰率的增大,簽約量逐漸減小,期望收益也減小.(2)當(dāng)懲罰率達(dá)到0.7時(shí),簽約量達(dá)到最大值154.88萬t,收益達(dá)到最大值308.79萬元.若懲罰率繼續(xù)增大,簽約量減小較為緩慢,懲罰率對簽約量的影響減小.此時(shí),企業(yè)簽約量已接近無風(fēng)險(xiǎn)生產(chǎn)量a,企業(yè)違約的不確定指數(shù)比較低,懲罰對企業(yè)的影響較小;(3)當(dāng)v較小時(shí),x和E[μ]減小非?？?說明懲罰因子具有明顯遏制企業(yè)簽約量的作用.換句話說,懲罰因子較小時(shí),企業(yè)簽約量較大,違約風(fēng)險(xiǎn)也較大,此時(shí)增加懲罰率,對企業(yè)道德風(fēng)險(xiǎn)具有明顯抑制作用.(4)若沒有懲罰因子,企業(yè)最大簽約量就會(huì)選擇為最大設(shè)計(jì)產(chǎn)能 200,此時(shí)企業(yè)違約風(fēng)險(xiǎn)很高.

圖5 簽約量和懲罰率的關(guān)系Fig.5 Contract volume and penalty rate

4.3 對無風(fēng)險(xiǎn)處理量a的討論

類似上面取p=3,c=1, μ*=300, v = 0.1,β=0.05,可得模型為

表3 期望收益、簽約量和a值的關(guān)系Table 3 Expected return, contract volume and a value

當(dāng)企業(yè)簽約量為a時(shí),企業(yè)違約的不確定指數(shù)為0,a稱為無風(fēng)險(xiǎn)處理量.a與企業(yè)管理能力有關(guān),如果管理水平高,影響正常生產(chǎn)的不確定因素就減少,企業(yè)無風(fēng)險(xiǎn)處理量就提高,收益也就增加.利用Matlab軟件計(jì)算如表3.

結(jié)合表3、圖6和圖7分析可知,在一定的不確定指數(shù)β和懲罰率v下,隨著無風(fēng)險(xiǎn)處理量a的取值逐漸增大,簽約量x逐漸增大,期望收益E[μ]也在逐漸增大.(1)從圖6中觀察到E[μ]一開始的增大趨勢相比x較大,這是因?yàn)樵谄髽I(yè)剛開始提高管理水平,降低不確定因素時(shí),降低了企業(yè)的違約指數(shù),也就大大的降低了企業(yè)違約的懲罰成本,此時(shí),管理能力提高對企業(yè)的效益提高具有明顯的貢獻(xiàn).(2)當(dāng)a的值大于 110時(shí),從圖6和圖7發(fā)現(xiàn),x和E[μ]增加較為緩慢,這是因?yàn)殡S著企業(yè)的無風(fēng)險(xiǎn)處理量a逐漸增加,企業(yè)的管理經(jīng)營水平逐漸提升,經(jīng)營管理水平提高對企業(yè)效益的顯著影響逐漸降低,也就是x和E[μ]的增加速度降低,這正好符合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際效益遞減規(guī)律,因此出現(xiàn)了圖6和圖7的現(xiàn)象.綜上分析,建議企業(yè)應(yīng)該加強(qiáng)內(nèi)部控制與管理,降低影響污水處理的不確定因素,提高無風(fēng)險(xiǎn)處理量a,可有效的增加期望收益.

圖6 期望收益和a的關(guān)系Fig.6 Expected return and a

圖7 簽約量和a的關(guān)系Fig.7 Contract volume and a

5 結(jié)論

5.1 企業(yè)簽約量越大,收益越高,所承受的風(fēng)險(xiǎn)也越大.這符合企業(yè)生產(chǎn)與風(fēng)險(xiǎn)的經(jīng)濟(jì)學(xué)現(xiàn)象.

5.2 懲罰率越高,企業(yè)簽約量越小,收益也隨之減少.說明懲罰因子起到了重要的作用:有效地降低了企業(yè)的投機(jī)行為和道德風(fēng)險(xiǎn).

5.3 企業(yè)的無風(fēng)險(xiǎn)處理量越高,企業(yè)的簽約量越大,收益也越大.說明企業(yè)運(yùn)行中要加強(qiáng)內(nèi)部管理運(yùn)營,努力提高無風(fēng)險(xiǎn)處理量.