拉壓超靜定問題中變形協(xié)調(diào)方程的討論

張曉艷 陳燕 唐亮

摘 要 在材料力學(xué)中利用小變形放大法得到變形協(xié)調(diào)方程是求解桿件拉壓靜不定問題的重難點。在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往對桿件拉壓受力的定性判斷不夠準確，導(dǎo)致對桿件力的方向假定不一致以及假設(shè)變形長度不同，所得到的變形協(xié)調(diào)方程也是不同的。現(xiàn)就教科書上針對桿件拉壓問題所講授的變形協(xié)調(diào)方程的幾種形式進行了探討，在此基礎(chǔ)上提出了利用投影法形成變形協(xié)調(diào)方程簡單易于理解，特別是在不易進行拉壓定性判斷的復(fù)雜桿系中更顯優(yōu)勢。

關(guān)鍵詞 變形協(xié)調(diào)方程 小變形放大法 材料力學(xué)

中圖分類號：O347 文獻標識碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.05.020

Abstract In the mechanics of materials， the small deformation magnification method is used to obtain the deformation compatibility equation. In the teaching practice， it is found that the qualitative judgment of the tension and compression of the rod is not accurate， which leads to the difference of the assumption that the direction of the rod is not consistent and the length of the deformation is different. In this paper， several forms of the deformation coordination equation are discussed in the textbook for the tension and pressure problem of the rod. On this basis， it is proposed that the formation of the deformation coordination equation by using the projection method is simple and easy to understand， especially in the complex bar system which is not easy to conduct the qualitative judgment of the tension and pressure.

Keywords deformation coordination equation； small deformation amplification method； material mechanics

求解桿件拉壓靜不定問題一般的解題思路是：[1-4]先建立力學(xué)平衡方程，然后根據(jù)桿件的變形特點建立變形協(xié)調(diào)方程，再補充力與變形之間的關(guān)系得到補充方程，進而求解得出所有的未知量。為得到變形協(xié)調(diào)方程，現(xiàn)行材料力學(xué)教科書中一般使用都是小變形放大法。

1 現(xiàn)行教材中對小變形放大法的描述

如圖1所示，鉸接桿件AC、BC在C點受力P的作用，求解C點變形后的位置。利用小變形放大法求解是通過桿件AC和BC伸長量 L1和 L2得到C點水平和豎直方向的位移。變形分析時嚴格的畫法是分別以A點為圓心，（L1+ L1）為半徑作圓弧，及以B點為圓心，（L2+ L2）為半徑作圓弧，兩圓弧的交點C'即為C點變形后的位置。實際操作時常采用的是“以直代曲”的近似畫法，即：分別過AC和BC變形延長線終點做AC和BC的垂線，兩條垂線的交點C''就是C點變形后的位置。[5-6]隨后，通過求解直角三角形可得到C點的水平和豎直方向的位移。

而在教學(xué)實踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往對桿件拉壓受力的定性判斷不夠準確，導(dǎo)致對桿件力的方向假定不一致以及假設(shè)變形長度不同，所得到的變形協(xié)調(diào)方程也是不同的。

如下面的超靜定例子。1，2，3桿在B點鉸接，利用小變形放大法先畫出B點變形后的點B'。當假定3根桿件都受拉時變形圖及受力圖如圖2所示。

通過該變形圖（圖2）可以得：

當假定1桿受壓，2，3桿受拉時，變形圖及受力圖如圖3所示：

通過該變形圖（圖3）可以得到：

對比公式（1）-（3）可以發(fā)現(xiàn)，假設(shè)了不同的拉壓關(guān)系，變形量比例或者選擇不同的直角三角形，所得到的變形協(xié)調(diào)方程表達式是不一致。由于拉壓關(guān)系假設(shè)的不同，公式中雖然正負符號不同，但所得結(jié)果及公式含義是一致的。

2 利用投影定理法解該問題

在分析該問題時，變形協(xié)調(diào)方程也可以使用投影定理得到，即首先假定所求點的水平及豎直方向位移，然后將該位移分別向桿件方向投影，投影的代數(shù)和即為桿件的變形量：

針對本文所分析的問題：假定B點的水平和豎直方向的位移分別為uB、vB，將uB、vB分別向1，2及3方向投影。

uB、B在1桿即AB方向的投影的代數(shù)和等于AB桿的變形量 L1，即： L1=uB。

uB、B在3桿即BD方向的投影的代數(shù)和等于BD桿的變形量 L3，即： L3=B。

同理，uB、B在2桿即BC方向的投影的代數(shù)和等于BC桿的變形量 L2，即： L2=。

可得： （4）

可以看到，在利用投影定理分析該問題時，無論怎樣假定1，2，3桿的拉壓和變形量的大小，所得到的變形協(xié)調(diào)方程都是一致的。通過比較可以得到方程（4）和方程（3）是一致的。而方程（1）和（2）得到的變形協(xié)調(diào)方程要復(fù)雜的多，而且及其容易出錯。

3 結(jié)束語

現(xiàn)行教材中求解桿件拉壓的靜不定問題使用小變形放大法時，對于復(fù)雜的桿件組（超過2個桿件），定性分析桿件受拉或受壓，或假設(shè)的桿件變形量相對大小不同作圖時，作圖所得到的變形后的點會不同，造成的結(jié)果是所列變形協(xié)調(diào)方程也會不同，增加了解題的難度以及理解問題的復(fù)雜度。投影定理法在理解問題上概念清晰，求解過程都簡單明了，所形成的變形協(xié)調(diào)方程易于理解，特別是在不易進行拉壓定性判斷的復(fù)雜桿系中更顯優(yōu)勢。

參考文獻

[1] 孫訓(xùn)方，方孝淑，關(guān)來泰.材料力學(xué)（1）.北京：高等教育出版社（第5版），2009.

[2] 劉鴻文.材料力學(xué)（1）.北京：高等教育出版社（第6版），2017.

[3] 單輝祖.材料力學(xué)（1）.北京：高等教育出版社（第4版），2016.

[4] 蓋爾（James M. Gere），古德諾（Barry J. Goodno）.材料力學(xué).北京：機械工業(yè)出版社（翻譯版， 原書第8版），2017，

[5] 鄧宗白，陶秋帆，金暉.關(guān)于材料力學(xué)中小變形問題的討論[J].力學(xué)與實踐，2009.31（4）：72-76.

[6] 常學(xué)平，王維，蔣平，等.拉、壓靜不定問題變形幾何分析中存在的問題[J].力學(xué)與實踐，2008.30（2）：89-90.