碰撞在質(zhì)心系中遵循的普遍規(guī)律

翟 爽

(北京市日壇中學(xué) 北京 100020)

在地面參考系中，多個(gè)質(zhì)點(diǎn)相互作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是比較復(fù)雜的.例如：對(duì)于不同條件下的兩體碰撞問(wèn)題，我們需要對(duì)碰撞前后的動(dòng)量和機(jī)械能進(jìn)行分析，通過(guò)復(fù)雜的計(jì)算來(lái)判斷碰撞前后物體運(yùn)動(dòng)的變化情況.本文從質(zhì)心系中看問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)兩體碰撞前后，物體的速度及動(dòng)量變化遵循非常簡(jiǎn)單的規(guī)律.

1 引入質(zhì)心系

如圖1所示，空間有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)1和2.根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律知：在不受其他外力情況下，兩個(gè)物體相互作用時(shí)，普遍遵循如下的方程

(1)

(2)

圖1 空間兩質(zhì)點(diǎn)相互作用

將式(1)和式(2)相加得

(3)

上式可以變形為

(4)

如果把這個(gè)方程看作是某個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，并稱這個(gè)特殊的質(zhì)點(diǎn)為質(zhì)心,如圖2中的c,則這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量mc和位置rc分別為

mc=m1+m2

(5)

(6)

即質(zhì)心的質(zhì)量為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量之和，質(zhì)心的位置為兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的“平均位置”.

圖2 引入質(zhì)心

若m1=m2，則

質(zhì)心在兩質(zhì)點(diǎn)正中間；當(dāng)m1>m2時(shí)， 質(zhì)心的位置離質(zhì)點(diǎn)1比較近，當(dāng)m1

把兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)看成一個(gè)整體，當(dāng)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)組不受外力，只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力相互作用時(shí)，無(wú)論是碰撞前、碰撞后或者是碰撞的過(guò)程中，式(4)恒成立.即無(wú)論兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間碰撞的內(nèi)力多么復(fù)雜，質(zhì)心總是保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài).

2 從質(zhì)心系中看兩體碰撞

2.1 從質(zhì)心系中看兩體的位置

質(zhì)點(diǎn)1相對(duì)于質(zhì)心c的位置r1c為

r1c=r1-rc=

(7)

質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心c的位置r2c為

r2c=r2-rc=

(8)

可以看出矢量r1c與r2c互相平行，這說(shuō)明質(zhì)心是處于兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連線上,如圖3所示.兩個(gè)矢量的長(zhǎng)度之比為

即質(zhì)心到質(zhì)點(diǎn)1，2的距離與質(zhì)點(diǎn)1，2的質(zhì)量成反比.且質(zhì)心相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)1，2的位置不會(huì)因?yàn)樽鴺?biāo)系的選取不同而不同.

圖3 位置關(guān)系

2.2 從質(zhì)心系中看碰撞前后的速度變化規(guī)律

由于質(zhì)點(diǎn)組不受其他外力，只有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的內(nèi)力相互作用，由式(4)可知：質(zhì)心總是保持靜止或者勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，即質(zhì)心處于平衡狀態(tài).

若將直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)選取在質(zhì)心上，即以質(zhì)心為參考系(簡(jiǎn)稱質(zhì)心系)，那么這個(gè)參考系為慣性參考系.

設(shè)碰撞前質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于地面的速度分別為

碰撞后質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于地面的速度分別為u1,u2.根據(jù)動(dòng)量守恒關(guān)系，有

m1v1+m2v2=m1u1+m2u2

(9)

牛頓根據(jù)碰撞過(guò)程中動(dòng)能的損失情況，引入了恢復(fù)系數(shù)e，其定義為

(10)

實(shí)驗(yàn)測(cè)量表明，恢復(fù)系數(shù)的值處于0和1之間[1].當(dāng)e=0時(shí)，碰撞后的動(dòng)能損失最大，稱為完全非彈性碰撞；當(dāng)e=1時(shí)，碰撞后的動(dòng)能沒(méi)有損失，稱為彈性碰撞.由式(9)和式(10)得到碰撞后的速度為

(11)

(12)

將式(7)和式(8)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得到碰撞前質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于質(zhì)心的速度v1c和v2c,即

設(shè)碰撞后質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于質(zhì)心的速度為u1c和u2c，則

當(dāng)e=0時(shí)，u1c=u2c=0,即碰撞后的質(zhì)點(diǎn)1和2相對(duì)于質(zhì)心系的速度為零，說(shuō)明碰撞后兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)粘在一起，且相對(duì)質(zhì)心靜止.

當(dāng)e=1時(shí)，u1c=-v1c，u2c=-v2c，這表明在質(zhì)心系中去觀測(cè)兩體的彈性碰撞，兩質(zhì)點(diǎn)在碰撞前后相對(duì)于質(zhì)心c的速度大小相等，方向相反.

此外，因?yàn)橘|(zhì)心系中彈性碰撞前后質(zhì)點(diǎn)的速度大小不變，所以質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能也保持不變.

2.3 從質(zhì)心系中看碰撞前后的動(dòng)量變化規(guī)律

碰撞前，質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量為

可以看出m1v1c=-m2v2c，這說(shuō)明在碰撞前，從質(zhì)心系中觀測(cè)質(zhì)點(diǎn)1和2的動(dòng)量是大小相等方向相反的，兩者之和為零.

碰撞后，質(zhì)點(diǎn)1和質(zhì)點(diǎn)2相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量為

對(duì)于完全非彈性碰撞，e=0時(shí),有

m1u1c=m2u2c=0

即兩質(zhì)點(diǎn)都靜止在質(zhì)心處，兩者之和為零.

對(duì)于彈性碰撞，e=1時(shí)，有

m1u1c=-m2u2c

即從質(zhì)心系中觀測(cè)質(zhì)點(diǎn)1和2的動(dòng)量，還是大小相等方向相反，兩者之和為零.且m1u1c=m2v2c，m2u2c=m1v1c，這說(shuō)明質(zhì)心系中碰撞的兩個(gè)物體，碰撞的效果是兩個(gè)物體的動(dòng)量進(jìn)行交換.

3 結(jié)束語(yǔ)

從質(zhì)心系中看兩體發(fā)生完全非彈性碰撞，碰后兩物體都將靜止在質(zhì)心處.從質(zhì)心系中看兩體發(fā)生彈性碰撞，遵循如下規(guī)律：

(1)從質(zhì)心系中觀測(cè)兩個(gè)物體碰撞前后的速度時(shí)，其大小均不變，但是方向變?yōu)榉聪?

(2)從質(zhì)心系中觀測(cè)兩個(gè)物體的動(dòng)量時(shí)，碰撞前后總動(dòng)量始終為零，且碰撞的效果是兩個(gè)物體的動(dòng)量互換.

(3)從質(zhì)心系中觀測(cè)兩個(gè)物體的動(dòng)能時(shí)，碰撞前后，兩個(gè)物體的動(dòng)能均不變.