物理教學中數(shù)學能力培養(yǎng)探討

湖北

朱木清

應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力，既是物理教學需要，也是高考的重要要求，體現(xiàn)國家未來科技和人才戰(zhàn)略思想，高校與中學、教師和學生都應(yīng)有足夠的認識和相應(yīng)的作為。而現(xiàn)實的種種局限，也有物理學科本身難學因素影響，使相當一部分學生缺乏數(shù)理融合意義和訓(xùn)練感悟，導(dǎo)致物理學得很吃力。

作為物理教師，我們不能放松、更不能放棄“應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力”的教學要求，必須審慎當下困難，尋求措施辦法，奮力促進數(shù)理融合。這里，以個人的教學實踐，談點膚淺的體會和建議，供大家參考。

1.打通“斷頭路”， 補齊短板，增強數(shù)理融合的主動意識

物理中的數(shù)學能力培養(yǎng)，在大學有數(shù)學物理方法課程，在中學還是自由生長。面對當下窘境，物理教師需對各階段教學所需數(shù)學工具作以盤點，并與本校數(shù)學教師溝通，擬定一個數(shù)學補習實施方案，下達指導(dǎo)學生定出針對自身的行動計劃，這樣多方配合聯(lián)動，減少勞動浪費。

1.1.適時補習高一物理學習必需的數(shù)學知識

初中到高中，物理由具體到抽象，定性到定量，將用到大量數(shù)學知識。然而，由于現(xiàn)行教材數(shù)理兩科缺乏協(xié)同，數(shù)學滯后物理很多，給高一物理學習帶來很大困難，嚴重制約新課教學。問題緣起雖在課程頂層設(shè)計，而當前的教學困難又不能回避?；诔踔袛?shù)學缺陷，為解燃眉之急，需適時進行必要的數(shù)學補充。

實踐表明，在高一物理必修1的第一、二、三章相關(guān)部分前，穿插補充相關(guān)數(shù)學內(nèi)容：矢量與標量、三角函數(shù)部分內(nèi)容及解析幾何中方程與圖線基礎(chǔ)，對學生學習很有幫助。物理教師需打破“學科本位”，“客串”數(shù)學，親自動手編擬簡明實用的校本教材。例如可在第一章前穿插函數(shù)與圖線基礎(chǔ)，第二章前穿插銳角三角函數(shù)和解斜三角形，解決急需問題。要利用網(wǎng)絡(luò)平臺，督促學生配合行動。教學中，尤其是起步階段，遇到與數(shù)學關(guān)聯(lián)的重要節(jié)點，注意放慢速度講細點，密切兩科聯(lián)系，夯實基礎(chǔ)。

【例1】某物體沿x軸運動，其速度與時間的關(guān)系如圖1所示，則下列說法正確的有 ( )

A.物體的加速度a=0.75 m/s2

B.物體的速度變化率為0.5 m/s2

C.t=4 s時物體所在位置坐標x=4 m

D.0～1 s內(nèi)物體的位移為4 m

【答案】BD

本例涉及數(shù)學與物理幾個相關(guān)基礎(chǔ)概念，如果數(shù)理兩科教師都無視其關(guān)聯(lián)作用，就可能給學生留下知識盲區(qū)，受傷的是物理。但現(xiàn)實又缺乏這類糾錯題，故只有物理教師親自動手現(xiàn)編，自產(chǎn)自銷，填補空白。

1.2領(lǐng)會教材編寫意圖，認識數(shù)學物理方法的地位和作用

物理學是應(yīng)用數(shù)學思想與方法最充分、最成功的一門科學。高中物理課程標準中明確指出，高中的物理教學應(yīng)該通過物理概念和規(guī)律的學習過程，使學生了解物理學的研究方法，認識物理實驗、物理模型和數(shù)學工具在物理發(fā)展過程中的作用。要求教師在教學中注重物理思想、方法滲透過程的同時，也應(yīng)充分體現(xiàn)數(shù)學工具對物理學發(fā)展所起的促進作用。這一思想編織貫穿到教材中。

高一開篇“直線運動”，教材穿插補充了一些數(shù)學知識，如增加運動圖象的篇幅，小專題介紹變化率概念，利用速度圖象“面積”推導(dǎo)勻變速直線運動位移，滲透微積分思想。所有這些，反映出教材編寫的深刻用意：物理離不開數(shù)學。物理和數(shù)學，就像圖和數(shù)的關(guān)系，形影難離。 數(shù)離開圖不直觀，圖離開數(shù)不具體?？梢赃@樣說，離開了數(shù)學思想與方法，就沒有真正意義上的物理學。

【例2】意大利物理學家伽利略對自由落體運動的研究，開創(chuàng)了科學實驗和邏輯推理相結(jié)合的重要科學研究方法。如圖2所示，他先觀測小球分別沿傾角不同、阻力很小的斜面從靜止開始運動的情況，再進行邏輯推理。關(guān)于本實驗下列說法正確的有 ( )

A.利用傾角較小的斜面進行實驗，可“沖淡”重力，使時間測量相對容易

B．通過外推證實自由落體運動也是勻加速直線運動

C．斜面上小球運動速度的變化對位移是均勻的，即速度與位移成正比

D．斜面上小球運動速度的變化對時間是均勻的，即速度與時間成正比

【答案】ABD

在伽利略時代，不能通過實驗直接測定瞬時速度來驗證一個物體是否做勻變速運動。伽利略結(jié)合實驗，應(yīng)用數(shù)學和邏輯推理方法得出:初速度為零的勻加速運動物體發(fā)生的位移與所用時間的平方成正比，并外推到自由落體運動也是勻加速運動。300多年過去了，伽利略發(fā)現(xiàn)的自由落體運動規(guī)律，在整個物理學中不過是滄海一粟，地位影響愈來愈低，但他創(chuàng)造的抽象思維、數(shù)學推導(dǎo)和科學實驗相結(jié)合的研究方法，為人類走出千年科學研究泥潭，開啟近代科學大門，貢獻了最珍貴的思想智慧。對于伽利略的成就和獲得成就的方法，愛因斯坦贊揚最具有代表性：“伽利略的發(fā)現(xiàn)以及他所應(yīng)用的科學的推理方法，是人類思想史上最偉大的成就之一，而且標志著物理學的真正開端”。高中物理必修1增加的這節(jié)內(nèi)容，是數(shù)學物理思想方法的最光輝典范。偉人創(chuàng)造的科學思維方法，后人受用，是必須吸收和傳承的精神財富。

2.注重基礎(chǔ)，明確要領(lǐng)，著力掌握物理模型向數(shù)學模型轉(zhuǎn)化的技能

數(shù)理兩科相伴而生，研究方法一脈相通。但在很多同學心底，卻把它們劃得很開。不少同學，學了不少數(shù)學知識，并能解決一些較復(fù)雜的數(shù)學問題，但遇到物理中有些與數(shù)學相關(guān)的基本問題，卻理解不了；遇到一些需用數(shù)學處理的物理問題，常是思維混亂，甚至無從下手。因此，了解一些數(shù)學用于物理的基本常識，知道物理研究的基本方法和思維程序，是促進數(shù)理融合不可或缺的前提條件。

2.1知道數(shù)理描述的聯(lián)系和區(qū)別

【例3】物理關(guān)系式中比例系數(shù)的確定。

2.2明確解決物理問題的一般思維程序，知道數(shù)理模型轉(zhuǎn)化的方法要領(lǐng)

物理問題的求解一般要經(jīng)過下圖所示幾個基本環(huán)節(jié)：

(1)實際問題向物理模型的轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)

這一步是審題分析的反映，是物理解題的基礎(chǔ)和前提。所謂物理模型，就是按照由簡到繁，由易到難，循序漸進，逐層深入的原則，依據(jù)問題性質(zhì)，忽略次要因素，抓住主要矛盾，突出本質(zhì)特征，構(gòu)建出的理想化研究對象，是研究復(fù)雜問題的科學方法策略。物理模型包括實體模型，狀態(tài)模型，過程模型，如質(zhì)點、點電荷、勻強電場、理想電表、理想流體、靜態(tài)平衡、動態(tài)平衡、臨界狀態(tài)、勻變速運動、勻速圓周運動等。

(2)物理模型向數(shù)學模型的轉(zhuǎn)化環(huán)節(jié)

這一步是實現(xiàn)物理解題的重點和關(guān)鍵。所謂數(shù)學模型，就是利用數(shù)學的概念、方法和理論，借助符號、字母、圖形和數(shù)字等數(shù)學語言描述研究對象，反映問題中各要素之間關(guān)系的數(shù)學形式。簡言之, 就是把實際問題翻譯成純數(shù)學語言。具體的數(shù)學模型，分布在函數(shù)與方程、不等式、平面三角與解析幾何、復(fù)數(shù)與向量、數(shù)列與數(shù)學歸納法、極限與微積分等各部分。

數(shù)學應(yīng)用于物理，落腳到解題，就是分析物理模型的相關(guān)量，哪些是常量，哪些是變量；哪些是矢量，哪些是標量；哪些是過程量，哪些是狀態(tài)量；哪些是已知量，哪些是待求量。再根據(jù)物理規(guī)律找出各物理量之間的關(guān)系式。

(3)數(shù)學模型的求解環(huán)節(jié)

這一步需要數(shù)學技能的支撐，對解題者掌握的數(shù)學工具提出要求。

(4)數(shù)學模型解還原到物理模型解的環(huán)節(jié)

這一步需特別注意物理模型的適用條件和范圍，防范物理問題數(shù)學化錯誤，作出必要檢驗和討論。

【例4】物理模型與數(shù)學模型的區(qū)別。

3.加強訓(xùn)練指導(dǎo)，久久為功，讓數(shù)學方法在物理應(yīng)用中有獲得感

應(yīng)用數(shù)學處理物理問題的能力，用高考考試大綱中的語言描述，就是能夠根據(jù)具體問題列出物理量之間的關(guān)系式，進行推導(dǎo)和求解，并根據(jù)結(jié)果得出物理結(jié)論；能運用幾何圖形、函數(shù)圖象進行表達、分析。關(guān)鍵在將物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，注意結(jié)合物理模型的適用條件范圍，給出物理模型解。其間，涉及很多數(shù)學工具運用，體現(xiàn)數(shù)學的技能技巧。

技能需要反復(fù)刻苦訓(xùn)練才能形成，羅馬不是一日建成的。高中三年，須從高一做起，數(shù)學跟物理結(jié)伴同行，堅持一題多解，一題多變，多題一解，總結(jié)方法，整理歸類，逐步融合加深，力爭常見的數(shù)學模型逐一到位，定會收獲數(shù)理雙贏，受益終生。

【例5】甲、乙兩車在相鄰兩車道上同向直線運動，同時通過某路標。甲車速度v甲=16 m/s，并開始剎車做加速度大小a甲=2 m/s2的勻減速運動；乙車速度v乙=4 m/s，做加速度大小a乙=1 m/s2的勻加速運動，求：

(1)甲車超前乙車過程中，沿車行方向兩車間的最大距離；

(2)t=10 s時刻沿車行方向兩車間的距離。

【分析與解答】本題物理模型很明確：兩車可視質(zhì)點，做勻變速直線運動。

第(1)問是極值問題，有多種解法。

方法一：利用函數(shù)解析與二次函數(shù)模型

兩車同時同地同向出發(fā)，取路標處為坐標原點，在同一坐標系中：

沿車行方向兩車間距離為

s是關(guān)于時間t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c性質(zhì)特征或配方法：

故t=4 s時刻，兩車間距離最大sm=24 m。

方法二：利用數(shù)學圖象模型

甲車做勻減速運動，速度vt甲=v甲-a甲t，乙車做勻加速運動，vt乙=v乙-a乙t，作出兩車的速度圖象，如圖3所示。

速度圖線與時間軸所夾“面積”表示各自的位移，在t=0～4 s內(nèi)，甲的位移大于乙，甲超前于乙。兩車速度圖線的“夾面積”(圖中陰影部分)表示相對位移，t=4 s時刻，甲超前乙的距離達到最大值，即

方法三：利用相對運動和矢量運算模型

以乙車為參考系，甲車相對于乙車，初速度u0=v甲-v乙=(16-4) m/s=12 m/s，加速度大小a′=a甲-(-a乙)=3 m/s2(注意這里矢量計算容易出錯)，a′的方向跟u0相反，故甲車相對乙車做類似橫向的“豎直上拋運動”，滿足

ut=u0-a′t

方法四：利用函數(shù)解析與導(dǎo)函數(shù)等于零模型

如前所述，沿車行方向兩車間距離為

則兩車間距離最大值為sm=24 m。

由第(1)問求解可見，解物理極值題方法有：

Ⅰ.物理方法——先找到“取得極值的特征條件”，故亦稱條件極值法。如上述方法二中速度相等時取得極值，方法三中是相對速度u=0。

Ⅱ.數(shù)學方法——先依據(jù)物理模型，把物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，再利用數(shù)學方法求極值，如本題方法一和方法四。數(shù)學方法求極值時，涉及的數(shù)學工具通常有導(dǎo)數(shù)、二次三項式配方或判別式、三角函數(shù)式的化簡與變形、重要不等式性質(zhì)等；有時也可通過圖象分析或“數(shù)形結(jié)合”求極值，如方法二。

同一物理極值題，物理方法和數(shù)學方法通常都可，但有些情況只能用數(shù)學方法。物理方法相對簡明省時，但要求對過程圖景和特征條件理解透徹；數(shù)學方法相對耗時，但能帶動數(shù)學知識和技能復(fù)習。

但所求出的兩車間距離Δx=x乙-x甲=30 m是錯的。問題在什么地方？