天體運(yùn)動易錯問題分析

湖北

許 文

學(xué)習(xí)中防止錯誤，才能取得進(jìn)步。認(rèn)識每一道錯題背后可能隱藏著的知識上的疏漏、理解上的偏差，透過錯誤表象看到其本質(zhì)，往往比正確的做出一道題收效更大。本文分析天體運(yùn)動中的易錯問題，幫助同學(xué)們利用錯題寶庫來提升復(fù)習(xí)效能。

一、因亂套公式致錯

【例1】空間站是一種在近地軌道長時間運(yùn)行，可供多名航天員巡訪、長期工作和生活的載人航天器。如圖1所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道Ⅰ上繞地球運(yùn)行，一宇宙飛船與空間站對接檢修后再與空間站分離，分離后空間站仍在軌道Ⅰ上圍繞地球運(yùn)行，分離時宇宙飛船依靠自身動力裝置在很低短的距離內(nèi)加速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行。已知橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為 3.5R，地球質(zhì)量為M，萬有引力常量為G。則分離后飛船在橢圓軌道上至少運(yùn)行多長時間才有機(jī)會與空間站進(jìn)行第二次對接？

圖1

飛船所在橢圓軌道的半長軸：

則飛船在軌道Ⅱ上運(yùn)動的周期：

設(shè)再次對接所需至少時間為t，空間站比飛船多運(yùn)行一周，則有：

飛船和空間站須同時到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)才能進(jìn)行對接，故至少所需時間t應(yīng)為T1、T2的最小公倍數(shù)，即t=27T1

二、因受力分析不清致錯

【例2】西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用“長征三號丙”運(yùn)載火箭，成功將第十一顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星送入了太空預(yù)定軌道。這是一顆地球同步衛(wèi)星，若衛(wèi)星離地心距離為r，運(yùn)行速率為v1，加速度為a1，地球赤道上待發(fā)衛(wèi)星隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為a2，第一宇宙速度為v2，地球半徑為R，則下列關(guān)系式正確的是 ( )

【錯因】以上錯解的原因在于混淆赤道上待發(fā)衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及同步衛(wèi)星的區(qū)別。它們的受力情況不同，近地衛(wèi)星與同步衛(wèi)星只受地球的萬有引力作用，做圓周運(yùn)動的向心力由萬有引力提供；而地球赤道上的待發(fā)衛(wèi)星除受地球的萬有引力作用外，還受到地面的支持力，由這兩個力的合力提供做圓周運(yùn)動的向心力。

【答案】AD

【感悟】赤道上的物體、近地衛(wèi)星、同步衛(wèi)星之間的區(qū)別如下表。

比較內(nèi)容赤道表面物體1近地衛(wèi)星2同步衛(wèi)星3受力分析萬有引力與彈力萬有引力向心力來源F引-FN=F向F引=F向重力GG=FN< F引G=F引線速度vv1=ω1Rv2=GMRv3=ω3(R+h)=GMR+hv1

續(xù)表

三、因運(yùn)動分析不清致錯

【例3】如圖2所示為某天體系統(tǒng)的模型圖。圖中a為恒星，b、c為繞a運(yùn)行的雙行星，在它們的相互引力的作用下繞它們的共同質(zhì)量中心O做圓周運(yùn)動。已知O、a間的距離遠(yuǎn)大于b、c間的距離，b、c繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動的周期為T，O點(diǎn)繞a做圓周運(yùn)動的周期為2T，繞行方向均為逆時針方向。當(dāng)a、b、c共線且c在a、b之間時，b上出現(xiàn)a的“全食”。以下說法中正確的是 ( )

圖2

A．b、c的總質(zhì)量一定小于a的質(zhì)量

B．b、c繞O點(diǎn)運(yùn)行的角速度可能等于O點(diǎn)繞a運(yùn)行的角速度

C．連續(xù)兩次“a全食”的時間間隔是T

D．連續(xù)兩次“a全食”的時間間隔是2T

【錯解】b、c雙星系統(tǒng)在與a間的萬有引力作用下繞a運(yùn)行，b、c雙星系統(tǒng)與a之間的萬有引力大小相等，不能判斷b、c的總質(zhì)量與a的質(zhì)量的大小關(guān)系；在圖示位置b上出現(xiàn)a的“全食”， 由于b、c繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動的周期為T，經(jīng)歷時間T，b、c系統(tǒng)的相對位置回到原位置，故連續(xù)兩次“a全食”的時間間隔是T。選C。

【錯因】以上錯解的原因是對運(yùn)動情況分析不清。(1)a、b、c三星系統(tǒng)中的b、c子系統(tǒng)質(zhì)量中心O與a均繞三星系統(tǒng)的質(zhì)心做圓周運(yùn)動，但題給出“a為恒星”，又“O、a間的距離遠(yuǎn)大于b、c間的距離”，故a到三星系統(tǒng)的質(zhì)心的距離很小，相對b、c子系統(tǒng)，a的質(zhì)量應(yīng)很大；(2)b、c繞O點(diǎn)做圓周運(yùn)動的同時，還要考慮到O點(diǎn)也在繞a點(diǎn)做圓周運(yùn)動，因此b、c也在繞a點(diǎn)轉(zhuǎn)動。

【答案】AD

【感悟】本題中b、c組成一個雙星小系統(tǒng)，b、c的質(zhì)心O與a又組成一個雙星大系統(tǒng)(三星系統(tǒng))。如圖3所示，雙星系統(tǒng)模型有以下特點(diǎn)：

圖3

(2)兩顆星的繞行方向、周期及角速度都相同，即：T1=T2，ω1=ω2；

(3)兩顆星的半徑與它們之間的距離關(guān)系為：r1+r2=L；

四、因模型建立不清致錯

【例4】1772年，法籍意大利數(shù)學(xué)家拉格朗日在論文《三體問題》指出：兩個質(zhì)量相差懸殊的天體(如太陽和地球)所在同一平面上有5個特殊點(diǎn)，如圖4中的L1、L2、L3、L4、L5所示，人們稱為拉格朗日點(diǎn)．若飛行器位于這些點(diǎn)上，會在太陽與地球共同引力作用下，可以幾乎不消耗燃料而保持與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動。若發(fā)射一顆衛(wèi)星定位于拉格朗日L2點(diǎn)，下列說法正確的是 ( )

圖4

A．該衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動周期和地球自轉(zhuǎn)周期相等

B．該衛(wèi)星在L2點(diǎn)處于平衡狀態(tài)

C．該衛(wèi)星繞太陽運(yùn)動的向心加速度大于地球繞太陽運(yùn)動的向心加速度

D．該衛(wèi)星在L2處所受太陽和地球引力的合力比在L1處大

【錯解】該衛(wèi)星在L1、L2、L3、L4、L5這些拉格朗日點(diǎn)上，在太陽與地球的引力共同作用下，可以幾乎不消耗燃料而繞太陽運(yùn)動，因此該衛(wèi)星在L2點(diǎn)相對太陽與地球處于平衡狀態(tài)，合力為零；選B。

【錯因】以上錯解的原因是衛(wèi)星在這些拉格朗日點(diǎn)的運(yùn)動模型建立不清。衛(wèi)星在拉格朗日點(diǎn)上，受太陽與地球的引力共同作用，與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動。衛(wèi)星在運(yùn)動過程中與太陽、地球的相對位置保持不變。而物體在做勻速圓周運(yùn)動時由合力提供向心力，是一種非平衡狀態(tài)。

【正解】該衛(wèi)星在這些拉格朗日點(diǎn)上保持與地球同步繞太陽做圓周運(yùn)動，因此該衛(wèi)星圓周運(yùn)動的角速度、周期與地球繞太陽公轉(zhuǎn)的角速度、周期相等；衛(wèi)星由太陽與地球引力的合力提供向心力；該衛(wèi)星在L2處繞太陽運(yùn)動的半徑較地球運(yùn)動的半徑大，由a=ω2r知該衛(wèi)星的向心加速度較大；該衛(wèi)星在L1點(diǎn)與L2點(diǎn)比較，做圓周運(yùn)動的角速度相等，但在L2處圓周運(yùn)動的半徑較大，由F合=F向=mω2r知，該衛(wèi)星在L2處受到的合力較大。

【答案】CD

五、因變軌實(shí)質(zhì)不清致錯

【例5】如圖5所示，為了探測某未知星球，探測飛船載著登陸艙先在橢圓軌道Ⅰ上運(yùn)行，在Q點(diǎn)變速后先進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ運(yùn)行，再順利進(jìn)入圓軌道Ⅲ繞星球運(yùn)行，展開對該星球的探測，則關(guān)于探測飛船 ( )

圖5

A．在軌道Ⅱ上運(yùn)動到P點(diǎn)的速率小于在圓軌道Ⅲ上運(yùn)動速率

B．在軌道Ⅱ上運(yùn)動到Q點(diǎn)的加速度小于在圓軌道Ⅲ上的加速度

C．從軌道Ⅱ上變軌到軌道Ⅲ上運(yùn)動，必須在Q點(diǎn)減速

D．在軌道Ⅰ上運(yùn)行的機(jī)械能最大

【錯解】探測飛船在軌道Ⅱ上從Q點(diǎn)到P點(diǎn)的運(yùn)動過程是減速運(yùn)動，因此vP

【錯因】以上錯解的原因是對航天器變軌的實(shí)質(zhì)不清所致。探測飛船由橢圓軌道Ⅰ變到橢圓軌道Ⅱ、由橢圓軌道Ⅱ變到圓軌道Ⅲ，都應(yīng)在Q點(diǎn)瞬間適當(dāng)減速，才能實(shí)現(xiàn)以上的變軌運(yùn)動。

【答案】CD

六、因數(shù)學(xué)變換不徹底漏解

【例6】用m表示地球的通訊衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)的質(zhì)量，h表示離地面的高度，用R表示地球的半徑，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則通訊衛(wèi)星所受的地球?qū)λ娜f有引力的大小為 ( )

由萬有引力充當(dāng)向心力得：F=mω2(R+h) (4)

選BC。

【原因】以上漏解的原因是數(shù)學(xué)變換不徹底所致。衛(wèi)星受到的萬的引力提供向心力，而向心力可以有多種表達(dá)。因此，應(yīng)結(jié)合具體的已知條件，進(jìn)行有效的數(shù)學(xué)變換。

【正解】在以上漏解的基礎(chǔ)上，將(4)式兩邊平方后與第(3)式相乘，可以消去h，得：

【答案】BCD