以氣缸為載體的高考題賞析

山東

龐 超

從歷年情況來看，每年都有以氣缸為載體的高考題，且大多數(shù)時(shí)候與力學(xué)、熱學(xué)等知識進(jìn)行綜合考查。

對于氣缸類問題的解法，一般是應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程，而理想氣體的質(zhì)量不變是該方程的適用條件。由于氣缸類問題涉及氣體、氣缸、活塞、水銀等多個(gè)研究對象，因此要善于從局部或整體選擇相關(guān)的研究對象，將已知量與待求量分別列入相應(yīng)的方程中，方能順利求解。氣缸類問題歸納起來主要有下文的五種類型，通過對氣缸問題的歸類解析，從中可以明顯看出以氣缸為載體的熱學(xué)問題的解題思路。

一、“一團(tuán)氣”問題

這類問題的特點(diǎn)是活塞把氣缸內(nèi)部分氣體封閉，題中氣體狀態(tài)的變化往往是“緩慢”進(jìn)行的，而活塞的移動(dòng)亦是緩慢的，因而可視為處于平衡狀態(tài)。可利用力的平衡條件及理想氣體狀態(tài)方程聯(lián)立求解。

【解析】設(shè)氣缸的橫截面積為S，活塞處于初始位置時(shí)氣缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為p，p0為大氣壓強(qiáng)，則有

(1)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間，缸內(nèi)封閉氣體的溫度；

(2)缸內(nèi)封閉的氣體與缸外大氣達(dá)到熱平衡時(shí)，缸內(nèi)封閉氣體的壓強(qiáng)。

【解析】(1)設(shè)初始時(shí)氣體體積為V1，在大活塞與大圓筒底部剛接觸時(shí)，缸內(nèi)封閉氣體的體積為V2，溫度為T2，由題給條件得

V2=S2l

在活塞緩慢下移的過程中，用p1表示缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)，由平衡條件有

p1S1+pS2=m1g+m2g+p1S2+pS1

解得p1=1.1×105Pa

故缸內(nèi)的氣體壓強(qiáng)不變，由蓋-呂薩克定律有

聯(lián)立解得T2=330 K。

聯(lián)立解得p′=1.01×105Pa。

二、“兩團(tuán)氣”問題

此類問題在高考中多次出現(xiàn)，解決的方法是分別以兩部分氣體及活塞為研究對象，應(yīng)用平衡條件確定兩部分氣體的壓強(qiáng)的關(guān)系，而后應(yīng)用理想氣體狀態(tài)方程求解。

1.氣缸中的活塞直接將氣體分隔為兩部分的問題

在處理兩部分氣體相關(guān)聯(lián)的氣缸問題時(shí)，若被活塞隔開的氣體狀態(tài)發(fā)生變化，而各部分氣體的質(zhì)量是不變的，則此類問題可抓住三個(gè)關(guān)鍵：一是將每部分氣體作為研究對象，明確其具體的氣態(tài)變化過程和始末狀態(tài)的參量(p、V、T)，列出相關(guān)的定質(zhì)量理想氣體狀態(tài)方程；二是弄清各狀態(tài)下各部分氣體的壓強(qiáng)關(guān)系，列出解題所需的輔助方程；三是當(dāng)活塞截面積相等時(shí)，兩部分氣體的體積和為一定值，這是一個(gè)隱含條件，利用它可得到另一輔助方程，然后聯(lián)立方程得出結(jié)果。

【例3】(2014·海南卷)一豎直放置、缸壁光滑且導(dǎo)熱的柱形氣缸內(nèi)盛有一定量的氮?dú)?，被活塞分隔成Ⅰ、Ⅱ兩部分；達(dá)到平衡時(shí)，這兩部分氣體的體積相等，上部氣體的壓強(qiáng)為p10，如圖3甲所示，若將氣缸緩慢倒置，再次達(dá)到平衡時(shí)，上下兩部分氣體的體積之比為3∶1，如圖3乙所示。設(shè)外界溫度不變，已知活塞面積為S，重力加速度大小為g，求活塞的質(zhì)量。

【解析】設(shè)活塞的質(zhì)量為m，氣缸倒置前下部氣體的壓強(qiáng)為p20，倒置后上、下部分氣體的壓強(qiáng)分別為p2、p1，由力的平衡條件有

氣缸倒置過程中，兩部分氣體均經(jīng)歷等溫過程，設(shè)氣體的總體積為V0，由玻意耳定律有

【例4】(2016·海南卷)如圖4所示，密閉氣缸兩側(cè)與一U形管的兩端相連，氣缸壁導(dǎo)熱；U形管內(nèi)盛有密度為ρ=7.5×102kg/m3的液體。一活塞將氣缸分成左、右兩個(gè)氣室，開始時(shí)，左氣室的體積是右氣室的體積的一半，氣體的壓強(qiáng)均為p0=4.5×103Pa。外界溫度保持不變。緩慢向右拉活塞使U形管兩側(cè)液面的高度差h=40 cm，求此時(shí)左、右兩氣室的體積之比。取重力加速度大小g=10 m/s2，U形管中氣體的體積和活塞拉桿的體積忽略不計(jì)。

【解析】設(shè)初始狀態(tài)時(shí)氣缸左氣室的體積為V01，右氣室的體積為V02；當(dāng)活塞至氣缸中某位置時(shí)，左、右氣室的壓強(qiáng)分別為p1、p2，體積分別為V1、V2，由玻意耳定律得

p0V01=p1V1,p0V02=p2V2

依題意有V01+V02=V1+V2

由力的平衡條件有p2-p1=ρgh

結(jié)合題給條件得V1∶V2=1∶1。

(1)恒溫?zé)嵩吹臏囟萒；

(2)重新達(dá)到平衡后左氣缸中活塞上方氣體的體積Vx。

(2)由初始狀態(tài)的力學(xué)平衡條件可知，左活塞質(zhì)量比右活塞的大。打開K后，左活塞下降至某一位置，右活塞必須升至氣缸頂，才能滿足力學(xué)平衡條件。

2.氣缸中的活塞通過連桿將氣體分隔成兩部分的問題

【例6】(2014·上海卷)如圖6所示，在水平放置的剛性氣缸內(nèi)用活塞封閉兩部分氣體A和B，質(zhì)量一定的兩活塞用桿連接。氣缸內(nèi)兩活塞之間保持真空，活塞與氣缸壁之間無摩擦，左側(cè)活塞面積較大，A、B的初始溫度相同。略抬高氣缸左端使之傾斜，再使A、B升高相同溫度，氣體最終達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)。若始末狀態(tài)A、B的壓強(qiáng)變化量ΔpA、ΔpB均大于零，對活塞壓力的變化量為ΔFA、ΔFB，則 ( )

A.A體積增大 B.A體積減小

C.ΔFA>ΔFBD.ΔpA<ΔpB

【例7】(2011·上海卷)如圖7所示，絕熱氣缸A與導(dǎo)熱氣缸B均固定于地面，由剛性桿連接的絕熱活塞與兩氣缸間均無摩擦。兩氣缸內(nèi)裝有處于平衡狀態(tài)的理想氣體，開始時(shí)體積均為V0、溫度均為T0。緩慢加熱A中氣體，停止加熱達(dá)到穩(wěn)定后，A中氣體壓強(qiáng)為原來的1.2倍。設(shè)環(huán)境溫度始終保持不變，求氣缸A中氣體的體積VA和溫度TA。

【解析】設(shè)初態(tài)壓強(qiáng)為p0，膨脹后A、B壓強(qiáng)相等，設(shè)為pB,有pB=1.2p0

B中氣體始末狀態(tài)溫度相等,則

得TA=1.4T0。

3.變異的氣缸問題

【例8】(2016·全國卷Ⅲ)一U形玻璃管豎直放置，左端開口，右端封閉，左端上部有一光滑的輕活塞。初始時(shí)，管內(nèi)汞柱及空氣柱長度如圖8所示。用力向下緩慢推活塞，直至管內(nèi)兩邊汞柱高度相等時(shí)為止。求此時(shí)右側(cè)管內(nèi)氣體的壓強(qiáng)和活塞向下移動(dòng)的距離。已知玻璃管的橫截面積處處相同；在活塞向下移動(dòng)的過程中，沒有發(fā)生氣體泄漏；大氣壓強(qiáng)p0=75.0 cmHg，環(huán)境溫度不變。

p1=p0+(20.0-5.00)cmHg

解得h=9.42 cm。

三、氣缸內(nèi)氣體變質(zhì)量問題

氣缸由于漏氣導(dǎo)致質(zhì)量發(fā)生變化，這類問題往往出現(xiàn)“緩緩”或“緩慢”這樣的詞語，這種情況需要做好活塞的受力分析，應(yīng)用平衡條件處理問題。

【例9】(2015·海南卷)如圖9所示，一底面積為S、內(nèi)壁光滑的圓柱形容器豎直放置在水平地面上，開口向上，內(nèi)有兩個(gè)質(zhì)量均為m的相同活塞A和B；在A與B之間、B與容器底面之間分別封有一定量的同樣的理想氣體，平衡時(shí)體積均為V。已知容器內(nèi)氣體溫度始終不變，重力加速度大小為g，外界大氣壓強(qiáng)為p0?，F(xiàn)假設(shè)活塞B發(fā)生緩慢漏氣，致使B最終與容器底面接觸。求活塞A移動(dòng)的距離。

因?yàn)闇囟炔蛔?，對于混合氣體有

(p1+p2)·V=pV′

四、氣缸與力學(xué)規(guī)律結(jié)合類問題

氣缸處于變速運(yùn)動(dòng)，這類問題需要做好受力分析，利用牛頓第二定律處理問題。

【例10】(2012·海南卷)如圖10所示，一氣缸水平固定在靜止的小車上，一質(zhì)量為m，面積為S的活塞將一定量的氣體封閉在氣缸內(nèi)，平衡時(shí)活塞與氣缸底相距L?，F(xiàn)讓小車以一較小的水平恒定加速度向右運(yùn)動(dòng)，穩(wěn)定時(shí)發(fā)現(xiàn)活塞相對于氣缸移動(dòng)了距離d。已知大氣壓強(qiáng)為p0，不計(jì)氣缸和活塞間的摩擦；且小車運(yùn)動(dòng)時(shí)，大氣對活塞的壓強(qiáng)仍可視為p0,整個(gè)過程溫度保持不變。求小車加速度的大小。

【解析】設(shè)小車加速度大小為a，穩(wěn)定是氣缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為p1，活塞受到氣缸內(nèi)外氣體的壓力分別為

F1=p1S，F(xiàn)0=p0S

由牛頓第二定律得F1-F0=ma

小車靜止時(shí)，在平衡情況下，氣缸內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為p0，由玻意耳定律得p1V1=p0V

式中V=SL，V1=S(L-d)

五、有關(guān)氣缸的實(shí)驗(yàn)問題

熱學(xué)實(shí)驗(yàn)高考考查的不多，難度不大，但應(yīng)該是今后考查的方向，應(yīng)該引起重視。

【例11】(2012·上海卷)如圖11所示，為“研究一定質(zhì)量氣體在壓強(qiáng)不變的條件下，體積變化與溫度變化關(guān)系”的實(shí)驗(yàn)裝置示意圖。粗細(xì)均勻的彎曲玻璃管A臂插入燒瓶，B臂與玻璃管C下部用橡膠管連接，C管開口向上，一定質(zhì)量的氣體被水銀封閉于燒瓶內(nèi)。開始時(shí)，B、C內(nèi)的水銀面等高。

(1)若氣體溫度升高，為使瓶內(nèi)氣體的壓強(qiáng)不變，應(yīng)將C管________(填“向上”或“向下”)移動(dòng)，直至________；

(2)實(shí)驗(yàn)中多次改變氣體溫度，用Δt表示氣體升高的溫度，用Δh表示B管內(nèi)水銀面高度的改變量。根據(jù)測量數(shù)據(jù)作出的圖線是 ( )

【答案】(1)向下，B、C兩管內(nèi)水銀面等高 (2)A

【解析】(1)為使氣體壓強(qiáng)不變應(yīng)使兩側(cè)水銀面相平，由于溫度升高，左側(cè)氣體體積膨脹，為使兩邊液面相平，需使右側(cè)玻璃管向下移動(dòng)。

(2)由于左側(cè)發(fā)生的是等壓變化，即

因此Δh- Δt圖象是一條過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，因此A選項(xiàng)正確。

【例12】(2017·全國卷Ⅲ)一種測量稀薄氣體壓強(qiáng)的儀器如圖12甲所示，玻璃泡M的上端和下端分別連通兩豎直玻璃細(xì)管K1和K2。K1長為l，頂端封閉，K2上端與待測氣體連通；M下端經(jīng)橡皮軟管與充有水銀的容器R連通。開始測量時(shí)，M與K2相通；逐漸提升R，直到K2中水銀面與K1頂端等高，此時(shí)水銀已進(jìn)入K1，且K1中水銀面比頂端低h，如圖12乙所示。設(shè)測量過程中溫度、與K2相通的待測氣體的壓強(qiáng)均保持不變。已知K1和K2的內(nèi)徑均為d，M的容積為V0，水銀的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

(1)待測氣體的壓強(qiáng)；

(2)該儀器能夠測量的最大壓強(qiáng)。

【解析】本題主要考查玻意耳定律的應(yīng)用；解題關(guān)鍵是確定以哪一部分氣體為研究對象，并能找到氣體在不同狀態(tài)下的狀態(tài)參量，然后列方程求解。準(zhǔn)確判斷不同狀態(tài)下氣體的壓強(qiáng)是解決理想氣體狀態(tài)方程的關(guān)鍵。

(1)水銀面上升至M的下端使玻璃泡中的氣體恰好被封住，設(shè)此時(shí)被封閉的氣體體積為V，壓強(qiáng)等于待測氣體的壓強(qiáng)。提升R，直到K2中水銀面與K1頂端等高，K1中水銀面比頂端低h，設(shè)此時(shí)被封閉的氣體體積為V1，壓強(qiáng)為p1，則

根據(jù)力的平衡條件，得p1=p+ρgh③

整個(gè)過程為等溫過程，根據(jù)玻意耳定律得

pV=p1V1④

(2)由題意知h≤l⑥