極坐標方程在解決與焦點有關(guān)的圓錐曲線問題中的應(yīng)用

李秀梅

摘 要 學生們在解決極坐標方程在解決與焦點有關(guān)的圓錐曲線問題時，需靈活運用極坐標方程與圓錐曲線問題。

關(guān)鍵詞 高考；圓錐曲線；極坐標方程

中圖分類號：G632 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2018）31-0219-01

近五年高考全國卷每年出一道大題考查極坐標、參數(shù)方程或絕對值不等式，大部分學生選擇極坐標參數(shù)方程，解題方法都是把極坐標參數(shù)方程化為直角坐標求解，不僅解題過程繁瑣，也失去了考查極坐標參數(shù)方程的目的。其實極坐標方程在解決直角坐標系下與焦點有關(guān)的圓錐曲線問題中有廣泛的應(yīng)用。

一、圓錐曲線的極坐標方程

橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：平面內(nèi)到一個定點（焦點）的距離與到一條定直線（準線）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡。以橢圓的左焦點（雙曲線的右焦點、拋物線的焦點）為極點，過點F作相應(yīng)準線的垂線，垂足為K，以FK的反向延長線為極軸建立極坐標系。

橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標方程為： 。其中p是定點F到定直線的距離，p>0，當0

當e>1時，方程表示雙曲線，若ρ>0，方程只表示雙曲線右支，若允許ρ<0，方程就表示整個雙曲線；當e=1時，方程表示開口向右的拋物線。

二、圓錐曲線極坐標方程的應(yīng)用

（一）焦點弦問題

【典例1】（2008年海南卷）過橢圓 的焦點 作一條斜率為2的直線與橢圓交于A，B兩點，O為坐標原點，求 的面積。

簡解：首先極坐標方程中的焦點弦長公式 求弦長，然后利用公式 直接得出答案。

注：用直角坐標求弦長過程比較煩雜（請參考高考解析）。

【典例2】（2009理科12文12）已知橢圓 的右焦點為 ，右準線為 ，點 ，線段AF交C于點B，若 ，則 =（ ）

A. B. C. D.

解析：選取右焦點 為極點，由題意知： = 設(shè)AF與X軸所成的角為 ，由極坐標方程可得 ，又因為 所以， ，解得 ，所以 。

（二）定值問題

【典例1】經(jīng)過橢圓的焦點作兩條相互垂直的弦AB和弦CD，求證 為定值。

證明：以橢圓的左焦點建立極坐標系，此時橢圓的極坐標方程為 ，又設(shè) 則代入可得 ， ，則

注：此公式對拋物線也成立，但對雙曲線不成立，注意使用的范圍。

【典例2】（2007重慶理改編）中心在原點 的橢圓 ，點 是其左焦點，在橢圓上任取三個不同點 使 。證明： 為定值，并求此定值。

解析：以點 為極點建立極坐標系，則橢圓的極坐標方程為： ，設(shè)點 對應(yīng)的極角為 ，則點 與 對應(yīng)的極角分別為 、 ， 、 與 的極徑就分別是 、 與

因此 ，而在三角函數(shù)的學習中，我們知道 ，因此 為定值。

點睛：在極坐標系中 、 、 分別對應(yīng)一個極角，而在解析幾何中，焦半徑對應(yīng)多個參數(shù)的二次關(guān)系，這就是極坐標解圓錐曲線問題的優(yōu)點。

參考文獻：

[1]語數(shù)外學習.中學數(shù)學月刊.