二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)

王成娟

【摘要】我們知道，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的系數(shù)確定了（可以用待定系數(shù)法確定a、b、c的值），它的圖像和性質(zhì)也就決定了；反過來當(dāng)已知二次函數(shù)的圖象或它的一些性質(zhì)，也可以求出它的字母系數(shù)的值或字母系數(shù)的范圍。

【中圖分類號】O122 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）03-0288-02

二次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)中的地位非常重要，又是學(xué)生難于掌握的教材內(nèi)容.它既聯(lián)系著一元一次方程、一元一次不等式，又是解決極值應(yīng)用題的必要基礎(chǔ).《二次函數(shù)》教學(xué)的重點(diǎn)為二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)及應(yīng)用，教學(xué)難點(diǎn)為a、b、c與二次函數(shù)的圖像的關(guān)系.因此，必須想方設(shè)法使學(xué)生理解和掌握函數(shù)的圖像和性質(zhì).

一、二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）中的系數(shù)a、b、c及其意義

1.二次項(xiàng)系數(shù)a及其意義。二次項(xiàng)系數(shù)a不但決定了二次函數(shù)圖像的開口方向，（當(dāng)a>0時，拋物線開口向上；當(dāng)a<0時，其開口向下），它還決定開口的大小。也就是說，當(dāng)二次函數(shù)a的絕對值相同時，這些拋物線的形狀完全相同，反之也成立。因此拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）可以由拋物線y=ax2（a≠0）平行移動得到。2.常數(shù)項(xiàng)c的意義。對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）來說，當(dāng)x=0時，y=c，即拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）總是經(jīng)過（0，c）。當(dāng)c>0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸；當(dāng)c<0時，拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸；當(dāng)c=0時，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。反過來，當(dāng)拋物線與時，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)。反過來，當(dāng)拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)已知時，其二次函數(shù)解析式中的常數(shù)項(xiàng)c的值也就決定了。

二、給出習(xí)題讓學(xué)生解：

二次函數(shù)y=2xy+bx+c與y軸的交點(diǎn)為（0，3），圖像的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（2，-1）。

1.求這個二次函數(shù)圖像與x軸兩個交點(diǎn)間的距離；

2.將此圖像向左平移2個單位，再向上平移1個單位，得到一個新的二次函數(shù)的圖像，求新的二次函數(shù)的解析式；

3.設(shè)新的二次函數(shù)的頂點(diǎn)為C，若以A為圓心，AC為半徑畫圓，與y軸交于點(diǎn)B，D，求Cos∠BAD的值.很多學(xué)生能利用已知條件畫出草圖，進(jìn)行分析，從而能迅速得出：

（1）由題意：①a·0+b·0+c=3②-b/2a=2③（4ac-b）/4a=-1，并解得a=1，b=-4，c=3，順利地寫出了解析式y(tǒng)=xy-4x+3.

還有部分學(xué)生能根據(jù)條件：頂點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出了y=a（x-2）-1的函數(shù)關(guān)系式，再以（0，3）代入即得a=1，得函數(shù)式y(tǒng)=（x-2）-1=x-4x+3.學(xué)生還能靈活地運(yùn)用因式分解法把以上函數(shù)式寫成y=（x-3）（x-1）的形式，從而找到了函數(shù)圖像與x軸兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，于是交點(diǎn)間的距離顯而易見，為|3-1|=2.

（2）把函數(shù)式寫成y=（x-2）-1后再按條件平移，實(shí)際上只要把頂點(diǎn)A（2，-1）向左平移2個單位，向上平移1個單位，得新的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，0），也就不難得到新的函數(shù)解析式為y=x。

（3）以A為圓心，AC為半徑畫圓，則BD=2，AB=AD=BD，∴Cos∠BAD=3/5。

三、二次函數(shù)的對稱性與系數(shù)

由于關(guān)于某直線對稱或關(guān)于某點(diǎn)對稱的兩個圖形是全等形，故關(guān)于兩標(biāo)軸對稱或關(guān)于拋物線頂點(diǎn)對稱的兩個拋物線的形狀大小也是一樣的，只是它們的開口方向或頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸或它們與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)不同而已。因此，當(dāng)已知一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0），我們可以求出它關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱或關(guān)于其頂點(diǎn)對稱的拋物線的解析式。

1.關(guān)于兩坐標(biāo)軸對稱

（1）關(guān)于x軸對稱

求與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式時，由對稱性可知，它們的形狀完全一致，只是開口方向相反，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)由原來的（0，c）變?yōu)樗P(guān)于x軸的對稱點(diǎn)（0，-c）。故其關(guān)于x軸對稱的拋物線解析式為y=-ax2+bx+c（a≠0）。這里的二次項(xiàng)系數(shù)a，一次項(xiàng)系數(shù)b和常數(shù)項(xiàng)c）正好與原來拋物線解析式的系數(shù)互為相反數(shù)。

（2）關(guān)于y軸對稱

求拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式，這時它的形狀、開口方向與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)都一樣，也就是二次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)不變，只是對稱軸由原來的直線x=-y變成了直線x=y也就是一次項(xiàng)系數(shù)與原來拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，故與拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于y軸對稱的拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0）。

2.關(guān)于拋物線的頂點(diǎn)對稱的拋物線

求拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）關(guān)于其頂點(diǎn)對稱的拋物線的解析式，這時兩個拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸、形狀完全一致，只是開口方向相反，故所求的拋物線解析式為：

y=-a（x+y）2+x=-a-bx+y

例5求拋物線y=x2-2x-3關(guān)于其頂點(diǎn)為中心對稱的拋物線的解析式。

簡析：拋物線y=x2-2x-3=（x-1）2-4，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，-4），對稱軸是直線x=1。所以所求拋物線的解析式為：y=-（x-1）2-4=-x2+2x-5

四、二次函數(shù)圖像的形狀、位置與系數(shù)的范圍

由二次函數(shù)圖像的一些特殊形狀、位置可以確定字母系數(shù)的數(shù)值或范圍。

例6已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖像與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（b，0），（點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)）。與y軸交于點(diǎn)C（0，2），請說明a、b、c的乘積是正還是負(fù)？

簡析：由題意，-x>0所以a、b異號，又因?yàn)楹瘮?shù)圖像與y軸交于點(diǎn)（0，2），所以c=2>0，所以a、b、c的乘積是負(fù)數(shù)。

總之，二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的字母系數(shù)a、b、c與它的圖像性質(zhì)之間的關(guān)系相當(dāng)密切，加強(qiáng)二次函數(shù)的字母系數(shù)的研究，對探討二次函數(shù)的圖像性質(zhì)大有裨益。