高等數(shù)學(xué)中分部積分在分析力學(xué)中的應(yīng)用

丁金鳳

摘要：高等數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，具有高度的抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性，并具有極其廣泛的應(yīng)用，本文結(jié)合筆者的研究方向，探討了高等數(shù)學(xué)在分析力學(xué)中的作用，通過三個力學(xué)模型說明高等數(shù)學(xué)中分部積分在分析力學(xué)中的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；分析力學(xué)；應(yīng)用

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2018）18-0226-02

一、高等數(shù)學(xué)的重要性

數(shù)學(xué)一詞在西方源于古希臘語，意思是通過學(xué)習(xí)獲得的知識。從字面意思來看，早期的數(shù)學(xué)更接近人類的生活。數(shù)學(xué)與其他事物一樣，經(jīng)過不斷的演化，將生活中具體的事物、規(guī)律不斷的抽象化，變成如今我們所數(shù)學(xué)的數(shù)字、公式和定理。今天，除了中小學(xué)階段學(xué)習(xí)的初等數(shù)學(xué)在實際生活中會偶有應(yīng)用，大家對大學(xué)時學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)的應(yīng)用性產(chǎn)生了懷疑，疑問為什么要學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)？這些抽象的數(shù)字、符號、公式、定理等跟他們的生活有什么聯(lián)系呢？高等數(shù)學(xué)作為一門必修課，學(xué)了有何作用呢？事實上，高等數(shù)學(xué)的用途遠(yuǎn)遠(yuǎn)超乎人們的想象，尤其在信息化的當(dāng)下，幾乎無處不在。我們幾乎每天都會接觸到的手機(jī)、電腦，經(jīng)常要用到搜索功能、語音識別、詞典翻譯等，這些功能的實現(xiàn)離不開高等數(shù)學(xué)的參與。舉個例子，學(xué)生們在學(xué)習(xí)線性代數(shù)時會覺得除了能解線性方程外，看不出線性代數(shù)還能做什么，搜索引擎中要對成百上千篇文章，數(shù)以百萬計的關(guān)鍵詞做分類，這時候就要用到線性代數(shù)中的奇異值分解，通過計算機(jī)進(jìn)行奇異值分解就能完成近義詞分類，將文章進(jìn)行分類，還可以得到每個主題、每個詞語之間的關(guān)聯(lián)性，也就是我們在百度一個問題時想要的結(jié)果和相關(guān)聯(lián)的結(jié)果都會出現(xiàn)。由此可見，高等數(shù)學(xué)與我們實際生活息息相關(guān)，大到航天、能源等方面，都需要用到高等數(shù)學(xué)的知識，同時高等數(shù)學(xué)在其他學(xué)科的發(fā)展中也起著基石的作用。坐在課堂上學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)，學(xué)生們會覺得高等數(shù)學(xué)是一門高深難懂的課程，但是數(shù)學(xué)的本質(zhì)卻是直接而簡單的，當(dāng)人們運用數(shù)學(xué)這個工具解決了一個又一個實際問題中的難題時，總不禁感嘆高等數(shù)學(xué)的無窮魅力。

二、高等數(shù)學(xué)中微積分的起源

微積分的創(chuàng)立首先是為了解決17世紀(jì)主要的科學(xué)問題，有四種主要類型的問題：（1）已知位移可表述為時間的函數(shù)，求任意時刻的速度和加速度；（2）任意曲線的切線問題；（3）求函數(shù)的最大、最小值問題；（4）求曲線弧長，曲線所圍的面積，曲面所圍的體積，物體的重心問題。微積分問題至少被17世紀(jì)十幾個大數(shù)學(xué)家探索過，如羅貝瓦爾、費馬、巴羅等都探討了如何求切線的問題。17世紀(jì)，求曲線弧長、面積、體積、重心的工作始于開普勒，后來沃利斯、尼爾、費馬等也得出了重要結(jié)論。實際上在牛頓和萊布尼茨做出他們的沖刺之前，微積分大量的工作已經(jīng)累計起來了。在數(shù)學(xué)和科學(xué)的發(fā)展中，普遍的工作淹沒在細(xì)節(jié)里，需要有足夠的想象力和魄力將這些碎片組織起來，在微積分中這兩位偉人便是牛頓和萊布尼茨。

三、分析力學(xué)介紹

18世紀(jì)以來，由于機(jī)械工業(yè)的大發(fā)展，提出了大量新的力學(xué)問題，這些問題中需要處理互相約束的物體組成的系統(tǒng)，分析力學(xué)就是在解決這些問題的過程中發(fā)展起來的，理論力學(xué)以牛頓定律為基礎(chǔ)，主要采用數(shù)學(xué)中的幾何方法研究力學(xué)系統(tǒng)，與理論力學(xué)不同，分析力學(xué)是數(shù)學(xué)中的分析法，更側(cè)重于能量。分析力學(xué)是運用純粹數(shù)學(xué)分析的方法研究質(zhì)點系的機(jī)械運動，它開辟了解決受約束的物理及更復(fù)雜的物體系的運動和平衡的新途徑。分析力學(xué)的基本內(nèi)容是闡述力學(xué)的基本原理，通過力學(xué)變分基本原理導(dǎo)出物體的運動微分方程，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究方程特點以及積分方法等。力學(xué)變分原理具有高度的統(tǒng)一性與普遍性，更適用于受約束的復(fù)雜質(zhì)點系。分析力學(xué)廣泛應(yīng)用于工程技術(shù)領(lǐng)域，如自動控制、宇宙力學(xué)、一般鏈?zhǔn)嚼碚摰取Ｏ旅鎸⑼ㄟ^不同的力學(xué)模型，闡述在分析力學(xué)的研究中通過力學(xué)變分原理求解系統(tǒng)的運動微分方程時，高等數(shù)學(xué)中分部積分的應(yīng)用。

四、幾類分析力學(xué)模型舉例

（一）一般完整系統(tǒng)的Lagrange動力學(xué)方程

我們所研究的力學(xué)系統(tǒng)大都是含有約束的系統(tǒng)，所以研究非保守力學(xué)系統(tǒng)更具有實際意義。

完整非保守Hamilton原理可寫成：（δT+Qδq）dt=0，下面通過分部積分計算導(dǎo)出Lagrange方程：

δq+δ？搖+Qδqdt=0

其中δ=δq，利用分部積分可得：

-+Qδqdt+δq=0

利用邊界條件，得到完整非保守系統(tǒng)的Lagrange方程：-=Q

（二）基于El-Nabulsi動力學(xué)模型的Birkhoff力學(xué)系統(tǒng)的動力學(xué)方程

2005年El-Nabulsi提出了類分?jǐn)?shù)階模型，這一類模型中利用廣義分?jǐn)?shù)階外力來體現(xiàn)實際中所受到的廣義外力，但在計算中不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)階計算，同時又解決了非保守系統(tǒng)的建模問題。

求積分泛函在給定邊界條件下的極值問題，根據(jù)變分原理，泛函取極值的必要條件是δS=0，即：

δS=δ（R-B）（t-τ）dτ=（δR+Rδ-δB）（t-τ）dτ=0

上述計算中需要用到高等數(shù)學(xué)中的分部積分，即

Rδ（t-τ）dτ=R（t-τ）δa？搖-δa（t-τ）-R（α-1）（t-τ）dτ=-（t-τ）+R（1-α）（t-τ）δadτ

代入，求得該模型下系統(tǒng)的運動微分方程：

---=R（μ=1，…，2n）

（三）含時滯的非保守系統(tǒng)的運動微分方程

時滯動力系統(tǒng)普遍存在于自然和工程實際中，它是對力學(xué)系統(tǒng)更本質(zhì)、更真實的描述。

完整非保守系統(tǒng)的Hamilton原理為（δL+

Qs″δq）dt=0，滿足邊界條件，將各項代入，得到：

（t）+（t+τ）+Qs″（t）δq+

（t）+（t+τ）？搖δdt

下一步計算中使用分部積分，并利用邊界條件得到含時滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的運動微分方程，可稱為含時滯的非保守力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange方程：（t）+（t+τ）-（t）-（t+τ）=Qs″（t），（t1≤t≤t2-τ）

（t）-（t）=Qs″（t），（t-τ

五、結(jié)語

通過上述列舉的三類模型：完整非保守系統(tǒng)、基于El-Nabulsi動力學(xué)模型的Birkhoff力學(xué)系統(tǒng)、含時滯的非保守Hamilton系統(tǒng)，通過變分原理，利用分部積分得到相應(yīng)的系統(tǒng)的動力學(xué)方程，進(jìn)而通過動力學(xué)方程研究該系統(tǒng)的動力學(xué)行為。高等數(shù)學(xué)在分析力學(xué)中的應(yīng)用可見一斑，分析力學(xué)的發(fā)展研究離不開高等數(shù)學(xué)這一有力基石，諸如機(jī)械設(shè)計與制造專業(yè)、土木工程專業(yè)、工程力學(xué)專業(yè)等，這一類工科專業(yè)需要用到的高等數(shù)學(xué)知識較多，如果高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)較差，會造成后續(xù)的專業(yè)課學(xué)習(xí)比較費力，這類專業(yè)在大一時期學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時教師可以將高等數(shù)學(xué)在相關(guān)專業(yè)的應(yīng)用舉例講給學(xué)生聽，避免學(xué)生覺得高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)枯燥無用。通過了解高等數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用提高學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的積極性，并與后續(xù)的專業(yè)學(xué)習(xí)相結(jié)合，為專業(yè)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)的同時提高學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)驅(qū)力。

參考文獻(xiàn)：

[1]莫里斯·克萊因.古今數(shù)學(xué)思想[M].上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1981.

[2]吳軍.數(shù)學(xué)之美[M].北京：人民郵電出版社，2014.

[3]梅鳳祥，劉桂林.分析力學(xué)基礎(chǔ)[M].西安交通大學(xué)出版社，1987.