Mathematica在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的若干應(yīng)用

摘 要：Mathematica是美國(guó)Wolfram公司研制開發(fā)的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件系統(tǒng)，它很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)及與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。自1987年發(fā)布系統(tǒng)的1.0版本開始便迅速流行起來，后經(jīng)不斷改進(jìn)和完善，于2017年推出了11.0中文漢化版本。Mathematica功能強(qiáng)大，已廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。目前，Mathematica在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用還不是很多，本文將分享一些應(yīng)用案例和研究心得。

關(guān)鍵詞：Mathematica；中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)；教學(xué)改革

作者簡(jiǎn)介：甘哲，湖南教育出版社。（湖南 長(zhǎng)沙 410000）

中圖分類號(hào)：G622 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2018）13-0061-02

Mathematica是美國(guó)Wolfram公司研制開發(fā)的數(shù)學(xué)計(jì)算軟件系統(tǒng)，很好地結(jié)合了數(shù)值和符號(hào)計(jì)算引擎、圖形系統(tǒng)、編程語言、文本系統(tǒng)及與其他應(yīng)用程序的高級(jí)連接。自1987年發(fā)布系統(tǒng)的1.0版本開始便迅速流行起來，后經(jīng)不斷改進(jìn)和完善，于2017年推出了11.0中文漢化版本。Mathematica功能強(qiáng)大，已應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。目前，Mathematica在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用還不是太多，本文將分享一些應(yīng)用案例和研究心得。

一、符號(hào)計(jì)算

著名的數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）說過：“讓一些杰出的人才奴隸般地把時(shí)間浪費(fèi)在計(jì)算上是不值得的?！彼释谐蝗漳苡糜?jì)算機(jī)把科學(xué)家從這奴隸般的計(jì)算中解放出來。計(jì)算機(jī)的誕生，是為了應(yīng)對(duì)大量復(fù)雜的計(jì)算。最開始僅限于數(shù)值計(jì)算，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展，人們希望用來處理數(shù)學(xué)符號(hào)的演算，也稱計(jì)算機(jī)代數(shù)。簡(jiǎn)單地說，就是用符號(hào)運(yùn)算代替了數(shù)的運(yùn)算，這里的符號(hào)可以代表整數(shù)，有理數(shù)，實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)，也可以代表多項(xiàng)式，函數(shù)，還可以代表數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)等?，F(xiàn)在，人們已經(jīng)開始利用計(jì)算機(jī)代數(shù)發(fā)現(xiàn)、驗(yàn)證、證明和解決許許多多的數(shù)學(xué)問題，符號(hào)計(jì)算的方法和能力正顯示出巨大的優(yōu)勢(shì)。

■+■≈0.8333是數(shù)值計(jì)算，得到近似結(jié)果。而■+■=■，則是符號(hào)計(jì)算，得到準(zhǔn)確結(jié)果。32-22=5是數(shù)值計(jì)算，x2-y2=（x-y）（x+y）則是符號(hào)計(jì)算。目前的計(jì)算機(jī)甚至能將圖片當(dāng)作符號(hào)進(jìn)行處理。顯然這樣的操作，有利于學(xué)生理解記憶數(shù)學(xué)公式。

二、大數(shù)計(jì)算

在不少資料上，有類似的教學(xué)設(shè)計(jì)：

教師：現(xiàn)在來做一個(gè)數(shù)學(xué)游戲，請(qǐng)大家來?yè)尨?，今天是星期一，那?0天后是星期幾？

學(xué)生：是星期四。

教師：100天后是星期幾？

學(xué)生：是星期三。

教師：8100天之后是星期幾？（巨大的數(shù)字讓學(xué)生感到茫然，短暫的思考后出現(xiàn)了轉(zhuǎn)機(jī)）

學(xué)生：8100=（7+1）100展開后最后一項(xiàng)肯定是1，而前面各項(xiàng)都是7的倍數(shù)，所以8100被7除，余數(shù)是1，8100天后是星期二。

教師：傾畢生之精力也難以將8100的具體數(shù)值算出來，就連計(jì)算器也無能為力，但在數(shù)學(xué)真理面前卻是“小菜一碟”，顯示出數(shù)學(xué)理性精神的光輝與無比的威力、魅力。想知道8100=（7+1）100的展開式是什么嗎？今天我們一起學(xué)習(xí)二項(xiàng)式定理。

這樣的設(shè)計(jì)比較常見，用問題入手，引出要講的知識(shí)點(diǎn)，二項(xiàng)式定理也確實(shí)是解決此類問題的利器。問題是，真的傾畢生之精力也難以將8100的具體數(shù)值算出來，就連計(jì)算器也無能為力嗎？使用符號(hào)計(jì)算軟件，一瞬間就可以得到結(jié)果：

2037035976334486086268445688409378161051468393665936250636140449354381299763336706183397376。

這反映了設(shè)計(jì)者不了解計(jì)算機(jī)能做什么。事實(shí)上，計(jì)算機(jī)能做這些“出人意料”的事情，正突顯了數(shù)學(xué)的巨大優(yōu)勢(shì)，絲毫不影響二項(xiàng)式定理的“光輝形象”。

三、算法編程

1976年的一天，《華盛頓郵報(bào)》于頭版頭條報(bào)道了一則數(shù)學(xué)新聞。文中記敘了這樣一個(gè)故事：70年代中期，美國(guó)各所名牌大學(xué)校園內(nèi)，人們都像發(fā)瘋一般，夜以繼日，廢寢忘食地玩弄一種數(shù)學(xué)游戲。這個(gè)游戲十分簡(jiǎn)單：任意寫出一個(gè)自然數(shù)N，并且按照以下的規(guī)律進(jìn)行變換：如果是個(gè)奇數(shù)，則下一步變成3N+1。如果是個(gè)偶數(shù)，則下一步變成N/2。不單單是學(xué)生，甚至連教師、研究員、教授都紛紛加入。為什么這種游戲的魅力經(jīng)久不衰？因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，無論N是怎樣一個(gè)數(shù)字，最終都無法逃脫回到谷底1。準(zhǔn)確地說，是無法逃出落入底部的4-2-1循環(huán)。這就是著名的“冰雹猜想”。

當(dāng)執(zhí)行下面簡(jiǎn)單的幾行代碼后，計(jì)算機(jī)就會(huì)快速返回計(jì)算結(jié)果。

Collatz[n_]：=If[EvenQ[n]，n/2，3n+1]

Collatz3[n_]：=Nest[Collatz，n，3]

FixedPointList[Collatz3，31]

{31，142，107，484，364，274，206，155，700，526，395，1780，1336，167，754，566，425，319，1438，1079，4858，3644，2734，2051，9232，1154，866，650，488，61，46，35，160，20，16，2，2}

也可以通過搜索計(jì)算，窮舉一些式子的可能性。有這樣一道數(shù)字謎題：

在方格內(nèi)填寫1，2，……9九個(gè)數(shù)字，使得等式成立。

共有10組答案，單靠人力是很難完全解出來的。

四、繪制函數(shù)與探究最值

1. 繪制函數(shù)。函數(shù)圖像是研究函數(shù)性質(zhì)、解決函數(shù)相關(guān)問題的重要工具，主要考查函數(shù)解析式與函數(shù)圖像的關(guān)系，重點(diǎn)考查識(shí)圖、用圖、畫圖等方面的能力，多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，函數(shù)的圖像是數(shù)形結(jié)合的典范，縱觀近幾年高考試題，函數(shù)圖像考查涉及的面廣，形式靈活，經(jīng)常以新面孔出現(xiàn)，是每年的必考內(nèi)容。而手工繪制函數(shù)存在較大誤差，會(huì)影響學(xué)生的認(rèn)知和判斷，因此使用計(jì)算機(jī)作圖是很有必要的（圖1）。

2. 探究函數(shù)最值。所謂無巧不成題。題目的數(shù)據(jù)常常是精心設(shè)置的，稍微改動(dòng)一下就會(huì)出現(xiàn)問題。譬如某題：“若a>0，b>0，a+2b=1，求a2+b2+■■的最小值?！北桓某伞叭鬭>0，b>0，a+2b=1，求a2+b2+■的最小值?！笨此聘膭?dòng)之后變簡(jiǎn)單了，實(shí)則不然。通過計(jì)算機(jī)計(jì)算，看看a和b為何值時(shí)，函數(shù)值取得最小值。發(fā)現(xiàn)改變后的題目，計(jì)算結(jié)果要復(fù)雜很多。

In[19]：=FindMinimum[{a2+b2}+■，a+2b=1 && a>0 && b>0}，{a，b}]

Out[19]={0.85，{a？邛0.4，b？邛0.3}}

In[20]=FindMionimum[{a2+b2+■，a+2b=1 &&a; >0 && b>0}，{a，b}]

Out[20]={8.30827，{a？邛0.4，88733，b？邛0.255634}}

此外，Mathematica的應(yīng)用還有很多。包括繪制完全圖圖2，繪制分形圖圖3等。相信隨著Mathematica在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越深入，必然還將有更多的發(fā)現(xiàn)。

五、探究軌跡與數(shù)列

1. 探究軌跡。解析幾何中要求學(xué)生探究動(dòng)點(diǎn)與多定點(diǎn)之間的關(guān)系，除了加減乘除，還有很多超出老師預(yù)期的。譬如下面兩例：

例1：已知點(diǎn)P（2，0），Q（1，0），MP*MQ=10，探究點(diǎn)M的軌跡。輸入：ContourPlot[（（x-2）^2+y^2）^（1/2）*（（x-8）^2+y^2）^（1/2）==10，{x，0，10}，{y，-2，2}]，執(zhí)行得到圖4。

例2：已知點(diǎn)P（2，0），Q（1，0），MP^3=MQ，探究點(diǎn)M的軌跡。輸入：ContourPlot[（（x-2）^2+y^2）^（1/2）^3==（（x-1）^2+y^2）^（1/2），{x，-1，2}，{y，-1.5，1.5}]，執(zhí)行得到圖5。

2. 探究數(shù)列。已知數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=3，an+2=3an+1-2an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。（2006年福建高考試題文科22題）

此題用計(jì)算機(jī)可快速解答，只需執(zhí)行下面語句，就可以得到通項(xiàng)公式為：

RSolve[{a[n+2]==3a[n+1]-2a[n]，a[1]==1，a[2]==3}，a[n]，n]

{{a[n]->-1+2n}}

參考文獻(xiàn)：

[1] 金榮樂.Mathematica系統(tǒng)在初中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2008，（1）.