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    正整數(shù)不含分部量2有序分拆的一些恒等式

    2018-07-23 01:43:02
    大連理工大學學報 2018年4期
    關(guān)鍵詞:恒等式分部證法

    郭 育 紅

    (河西學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 甘肅 張掖 734000 )

    0 引 言

    在整數(shù)分拆理論中,MacMahon[1]第一次定義了正整數(shù)的有序分拆,即把正整數(shù)n表示成一些正整數(shù)的有序和,其中每一項叫該分拆的分部量.如果不考慮分部量的順序就是無序分拆.例如,4的有序分拆有4,3+1,1+3,2+2,2+1+1,1+2+1,1+1+2,1+1+1+1共8個,而4的無序分拆有5個:4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1.有序分拆也可以表示成向量的形式.例如,上述4的8個有序分拆可記為(4),(3 1),(1 3),(2 2),(2 1 1),(1 2 1),(1 1 2),(1 1 1 1).

    分拆恒等式一直是分拆理論中很有趣的一部分內(nèi)容,也一直是分拆理論的研究熱點之一.最近幾年,許多學者在研究整數(shù)分拆恒等式時,不僅考慮正整數(shù)不同類型的分拆數(shù)之間的關(guān)系,比如,在無序分拆的研究中,有Euler恒等式[1-2]以及相關(guān)的一系列恒等式.在有序分拆的研究中,關(guān)于分部量為奇數(shù)的分拆、分部量是1或2的分拆、分部量大于1的分拆之間也有豐富的分拆恒等式[3-5].而且,學者們也考慮了分部量出現(xiàn)的不同類型的頻數(shù)帶來的分拆恒等式.

    2015年,Munagi等[6]在有序分拆中考慮了分部量出現(xiàn)的頻數(shù)問題,給出了關(guān)于正整數(shù)的In-place有序分拆的幾個恒等式.其還將有序分拆的分部量λ給出兩種形式,分別表示成λ、λ*.同時將分拆恒等式中偶分部量、奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次推廣到一般的k次,k≥2,得到了更為寬泛的結(jié)果.

    所謂正整數(shù)的有序分拆中分部量λ出現(xiàn)In-placej次是指在該分拆中,分部量λ連續(xù)出現(xiàn)j次.例如,分拆(2 2 2 2 3 4 4 5 5 6 6 2 2 3 1)就是一個偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆.

    2003年,Chinn等[7]討論了正整數(shù)不含分部量2的有序分拆,給出了一系列計數(shù)結(jié)果,同時還給出了正整數(shù)不含分部量2的有序分拆數(shù)的一些組合性質(zhì).設(shè)正整數(shù)不含分部量2的有序分拆數(shù)為C≠2(n),則C≠2(n)滿足遞推關(guān)系:C≠2(0)=C≠2(1)=C≠2(2)=1,C≠2(n)=2C≠2(n-1)-C≠2(n-2)+C≠2(n-3).他們還指出在文獻[8]給出的序列中:若用a(n)表示沒有孤立的1的二進制序列數(shù),則C≠2(n)=a(n+1),a(n)的初始值:a(0)=0,a(1)=a(2)=a(3)=1.

    本文在文獻[6-7]的基礎(chǔ)上,探討正整數(shù)n不含分部量2的有序分拆中的In-place恒等式,得到關(guān)于分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次、偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的幾個分拆恒等式.同時,研究推廣情形.另外,還討論正整數(shù)不含分部量2的有序分拆中,奇分部量有兩種形式的分拆數(shù)的生成函數(shù)及遞推關(guān)系,并給出遞推關(guān)系的組合雙射證明.

    1 已知定理

    定理1[9]設(shè)n≥1,正整數(shù)n的偶分部量出現(xiàn)偶數(shù)次的無序分拆數(shù)等于正整數(shù)n不含分部量≡2(mod 4)的無序分拆數(shù).

    定理2[6]設(shè)n≥1,正整數(shù)n的偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)n不含分部量≡2(mod 4)的有序分拆數(shù).

    定理3[6]設(shè)n≥1,正整數(shù)n的奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于正整數(shù)2n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

    2 主要結(jié)果

    首先給出正整數(shù)n不含分部量2的有序分拆中關(guān)于分部量1的In-place有序分拆的一個恒等式.

    定理4正整數(shù)n的不含分部量2的有序分拆中,分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次(≠0)的分拆數(shù)等于n的分部量大于1,且含分部量2的有序分拆數(shù).

    反之,對于正整數(shù)n的分部量大于1,且含分部量2的有序分拆,將分部量2分拆成(1 1),其余分部量不變,于是得到n的不含分部量2,且分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次(≠0)的分拆.

    例1取n=6,則6的不含分部量2,且分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次(≠0)的有序分拆有3個:(1 1 4),(4 1 1),(1 1 1 1 1 1);同樣,6的分部量大于1,且含分部量2的有序分拆有3個:(2 4),(4 2),(2 2 2).

    進一步推廣定理4,得到下面的結(jié)論.

    定理5對于正整數(shù)l≥2,正整數(shù)n的不含分部量l,分部量1出現(xiàn)In-placel的倍數(shù)次(≠0)的有序分拆數(shù)等于n的分部量大于1,含分部量l的有序分拆數(shù).

    證明證法類似于定理4,故略去.

    下面給出一個例子來說明該恒等式.

    例2取n=10,l=3,則10的不含分部量3,分部量1出現(xiàn)In-place 3的倍數(shù)次的有序分拆有11個:(1 1 1 4 1 1 1),(4 1 1 1 1 1 1),(1 1 1 1 1 1 4),(1 1 1 5 2),(5 1 1 1 2),(5 2 1 1 1),(2 5 1 1 1),(1 1 1 2 5),(2 1 1 1 5),(1 1 1 7),(7 1 1 1).

    同樣,10的分部量大于1,且含分部量3的有序分拆有以下11個:(3 4 3),(4 3 3),(3 3 4),(3 5 2),(5 3 2),(5 2 3),(2 5 3),(3 2 5),(2 3 5),(3 7),(7 3).

    在定理2、3中,同樣考慮正整數(shù)n不含分部量2,得到了下面關(guān)于In-place有序分拆的兩個恒等式.

    定理6正整數(shù)n的不含分部量2,偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于n的不含分部量4,且分部量不是≡2(mod 4)的有序分拆數(shù).

    證明類似于Munagi-Sellers在文獻[6]中的證法.對于正整數(shù)n的任何一個不含分部量4,且分部量不是≡2(mod 4)的有序分拆,做如下變換:將4k型(k>1)的分部量分拆成(2r2r),這里r>1,其余分部量保持不變.于是,得到正整數(shù)n的不含分部量2,偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆.反之,在正整數(shù)n的不含分部量2,偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的任意一個有序分拆中,奇分部量保持不變,將偶分部量按照從左向右的順序每兩個合并在一起,就得到4k型的分部量,由于分拆不含分部量2,于是就得到n的不含分部量4,且分部量不是≡2(mod 4)的有序分拆.

    定理7正整數(shù)2n的不含分部量4,奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆數(shù)等于n的不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

    仍沿用Munagi-Sellers的記號,將奇分部量λ的兩種形式記為λ、λ*.

    證明類似于Munagi-Sellers在文獻[6]中的證法.對于正整數(shù)n的任何一個不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆,做如下變換:將每個偶分部量μ變成2μ,把沒有帶*號的奇分部量λ變成2λ,把帶*號的奇分部量λ*變換成“λ,λ”.因為n的分拆不含分部量2,于是就得到了正整數(shù)2n的不含分部量4,奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆.顯然,上述變換是可逆的.

    將定理7做自然的推廣,就得到下面的結(jié)論:

    定理8對于偶數(shù)l≥2,正整數(shù)2n的不含分部量2l的有序分拆中,奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的分拆數(shù)等于n的不含分部量l,奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).

    證明證法類似于定理7,故略去.

    下面給出一個例子來說明定理8中的對應關(guān)系.

    例3取n=3,l=2,則6的不含分部量4,奇分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的有序分拆有10個:(6),(3 3),(2 2 2),(2 2 1 1),(2 1 1 2),(1 1 2 2),(2 1 1 1 1),(1 1 2 1 1),(1 1 1 1 2),(1 1 1 1 1 1).同樣,3的不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆有以下10個:(3),(3*),(1 1 1),(1 1 1*),(1 1*1),(1*1 1),(1 1*1*),(1*1 1*),(1*1*1),(1*1*1*).

    在定理7中涉及正整數(shù)n的奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù),下面考慮正整數(shù)n的不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù).考慮其生成函數(shù).

    (x4+x6+…))j=

    即有下面定理:

    由定理9不難得到下面關(guān)于正整數(shù)n的不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆數(shù)的遞推關(guān)系,有下面的結(jié)論.

    給出該遞推關(guān)系的組合雙射證明.

    證明將正整數(shù)n的不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆分成兩類:

    (A)右端分部量是1或1*;

    (B)右端分部量是t或h*,其中t>2是整數(shù),h>3是奇數(shù).

    對于(B)類中的任一分拆,用(t-2)或(h-2)*分別代替t或h*,就得到n-2的相應分拆.反之,對于n-2的任一個不含分部量2,奇分部量有兩種形式的有序分拆β,設(shè)其右端的分部量是r(r≠2)或s*,s是奇數(shù),用(r+2)或(s+2)*分別代替r或s*,就得到n的右端分部量不是1或1*的相應分拆.

    3 結(jié) 語

    在整數(shù)分拆理論中,分拆恒等式的研究一直是研究熱點,而對帶約束條件正整數(shù)有序分拆恒等式的探討還不是很深入.本文主要研究了正整數(shù)n不含分部量2的有序分拆中的分部量1出現(xiàn)In-place偶數(shù)次、偶分部量出現(xiàn)In-place偶數(shù)次的分拆恒等式,得到了幾個有趣的分拆恒等式.另外,還討論了正整數(shù)n不含分部量2的有序分拆中,奇分部量有兩種形式的分拆數(shù)的生成函數(shù),并給出了該分拆數(shù)的遞推關(guān)系的組合雙射證明.這些結(jié)果在理論上進一步豐富了整數(shù)分拆恒等式,同時也為尋找整數(shù)分拆恒等式的組合雙射提供了一些方法.

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