變時(shí)滯耦合不確定復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)修正函數(shù)投影同步

方 潔， 杜海明， 劉 娜(鄭州輕工業(yè)學(xué)院 電氣信息工程學(xué)院，河南 鄭州 450002)

0 引言

近年來，隨著人們對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的深入和對(duì)其應(yīng)用的不斷推廣，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究已經(jīng)逐漸滲透到各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域，并取得了一系列研究成果.同步現(xiàn)象是一類非常普遍而重要的非線性現(xiàn)象，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步研究是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的一個(gè)重要方向[1-4].

函數(shù)投影同步和修正函數(shù)投影同步是近幾年剛剛興起的新的混沌同步方法，其實(shí)現(xiàn)同步的同步尺度因子是一個(gè)函數(shù)而不是常量，函數(shù)尺度因子的不可預(yù)測(cè)性對(duì)提高混沌保密通信的安全性具有非常重要的潛在應(yīng)用價(jià)值，因此對(duì)混沌系統(tǒng)的函數(shù)投影同步研究具有重要的理論價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義[5-9].隨著復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的蓬勃發(fā)展，已有學(xué)者對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步問題進(jìn)行了研究[10-11].

對(duì)于很多實(shí)際的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，總是不可避免地存在網(wǎng)絡(luò)自身的不確定性以及外界干擾和時(shí)滯等因素.因此,實(shí)現(xiàn)具有不確定參數(shù)、外界干擾和時(shí)滯的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步更具有實(shí)際意義.文獻(xiàn)[12]基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和泰勒展開實(shí)現(xiàn)了具有不確定參數(shù)、外界干擾和常時(shí)滯耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步.考慮到絕對(duì)的常時(shí)滯耦合在實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中可能是不存在的，文獻(xiàn)[13]進(jìn)一步研究了具有變時(shí)滯耦合的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步，但沒有考慮不確定參數(shù)和外界干擾的影響.文獻(xiàn)[14]利用牽制控制方法，分別對(duì)節(jié)點(diǎn)參數(shù)未知和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知的兩類復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，設(shè)計(jì)了自適應(yīng)控制器，使得兩類網(wǎng)絡(luò)和其孤立節(jié)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)函數(shù)投影同步.其目標(biāo)函數(shù)是網(wǎng)絡(luò)中的一個(gè)節(jié)點(diǎn)，而且是按固定的函數(shù)尺度因子實(shí)現(xiàn)同步，而不是一個(gè)函數(shù)矩陣.此外，該研究雖然分別考慮了參數(shù)未知和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)未知的影響，但沒有考慮外界干擾的影響.

基于以上討論，筆者將基于Lyapunov穩(wěn)定性理論和不等式變換理論，設(shè)計(jì)簡單的魯棒自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)具有不確定參數(shù)、外界干擾及時(shí)變時(shí)滯耦合的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的修正函數(shù)投影同步.實(shí)現(xiàn)同步的目標(biāo)函數(shù)可以是一個(gè)平衡點(diǎn)，周期吸引子或者混沌軌道.該方法不僅能對(duì)網(wǎng)絡(luò)中的未知參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，同時(shí)也能有效地克服未知有界干擾和時(shí)變時(shí)滯的影響.控制器中的反饋控制增益可隨自適應(yīng)律自行調(diào)節(jié)，不需要人為設(shè)定.數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法的正確性和有效性.

1 問題描述

具有時(shí)變時(shí)滯耦合的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型描述如下：

(i=1,2,…,N).

(1)

其中，xi(t)=(xi1(t),xi2(t),…,xin(t))T∈Rn是第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的狀態(tài)變量；f:Rn→Rn是向量函數(shù)；F:Rn→Rn×m是矩陣函數(shù)；θi∈Rm是未知的參數(shù)向量；τ(t)≥0 是未知的時(shí)變耦合時(shí)滯；Δi∈Rn是外界干擾；ui(t)∈Rn是控制輸入；c表示耦合強(qiáng)度；Γ1=diag(r1,r2,…,rn) 和Γ2=diag(ζ1,ζ2,…,ζn) 是內(nèi)耦合矩陣，其中ri=1 和ζi=1 表示第i個(gè)狀態(tài)，意味著兩個(gè)節(jié)點(diǎn)通過第i個(gè)狀態(tài)變量耦合；A=(aij)N×N和B=(bij)N×N是外耦合矩陣，表示網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，如果節(jié)點(diǎn)i和節(jié)點(diǎn)j(j≠i)之間有連接，則aij≠0,bij≠0，否則aij=bij=0(j≠i)．定義矩陣A，B對(duì)角線上的元素滿足：

(2)

其中，i=1,2,…，N.

定義1(MFPS)：對(duì)具有模型不確定、外界干擾和時(shí)變時(shí)滯耦合的復(fù)雜動(dòng)力系統(tǒng)(1)，如果存在連續(xù)可微的函數(shù)矩陣M(t)，使得系統(tǒng)(1)和目標(biāo)函數(shù)s(t)滿足式(3)，則稱系統(tǒng)(1)和目標(biāo)函數(shù)s(t)實(shí)現(xiàn)了修正函數(shù)投影同步．

i=1,2,…，N.

(3)

假設(shè)2：外界干擾Δi(t)是有界的, 即存在正常數(shù)di,使得‖Δi‖≤di,i=1,2,…，N.

引理1[15]：對(duì)于任意兩個(gè)向量X、Y∈Rn，存在正定的矩陣Q∈Rn×n，使得以下不等式成立：2XTQY≤XTQQTX+YTY．

2 控制器設(shè)計(jì)

定理1：對(duì)給定的函數(shù)尺度因子矩陣M(t)和任意的初始值s(0)、xi(0)，如果假設(shè)1和假設(shè)2成立，則在控制器(4)和自適應(yīng)律(5)、(6)、(7)的作用下，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)動(dòng)力系統(tǒng) (1) 和目標(biāo)函數(shù)s(t)能實(shí)現(xiàn)修正函數(shù)投影同步．

(4)

自適應(yīng)律

(5)

(6)

(7)

證明： 定義誤差向量

ei(t)=xi(t)-M(t)s(t),(i=1,2,…,N).

(8)

式 (8) 對(duì)時(shí)間求導(dǎo)可得

(i=1,2,…,N).

(9)

將 (1) 和 (2) 代入 (9)可得

(10)

將式(4) 代入式(10)可得

(11)

選擇如下的Lyapunov函數(shù)

(12)

對(duì)V(t)求導(dǎo)可得

(13)

將控制器 (4) 代入 (13)可得

(14)

將自適應(yīng)律 (5)～(7)代入上式可得

(15)

定義e(t)=(e1T(t),e2T(t),…,eNT(t))T∈Rn×N,

P=(A?Γ1),Q=(B?Γ2),其中?表示克羅內(nèi)克積．

(16)

(17)

由引理1可得

(18)

由此，可以通過選取適當(dāng)?shù)膓*，使

(19)

注2：因?yàn)榭刂破?4)中不連續(xù)的符號(hào)函數(shù)signei會(huì)產(chǎn)生不期望的抖振，在實(shí)際中可用雙曲正切函數(shù)tanh(ξei),ξ>0代替符號(hào)函數(shù)來消弱抖振現(xiàn)象.不連續(xù)控制器可通過帶自動(dòng)積分限幅功能的控制元件實(shí)現(xiàn)．最后的控制輸入為：

(i=1,2,…,N).

(20)

3 數(shù)值仿真

以Chen混沌系統(tǒng)為目標(biāo)函數(shù)來證明所提方案的有效性.Chen混沌系統(tǒng)描述如下：

其中,s1、s2、s3為狀態(tài)變量，r1、r2、r3為系統(tǒng)參數(shù)．當(dāng)r1=35,r2=3,r3=28時(shí)，該系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)．

復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)描述如下:

Δi(t)+ui(t).

其中,τ是時(shí)變時(shí)滯耦合，控制器可依據(jù)定理1設(shè)計(jì)如下：

其中，i=1,2,…,N.

自適應(yīng)律為:

在數(shù)值仿真中，設(shè)定c=0.1,N=5，Γ1=Γ2=I3×3.外耦合矩陣:

仿真結(jié)果如圖1～3所示．圖1為同步誤差曲線圖．圖2為參數(shù)θi1和θi2的估計(jì)值．圖3為外界干擾界值di和反饋增益qi隨時(shí)間進(jìn)化曲線．由仿真結(jié)果可知,誤差信號(hào)經(jīng)過短時(shí)間的震蕩后衰減到零，即復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)和目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)了修正函數(shù)投影同步并實(shí)現(xiàn)了對(duì)未知參數(shù)的估計(jì)．仿真結(jié)果證明了理論分析的正確性．

圖1 同步誤差曲線Fig.1 The time evolution of synchronization errors

4 結(jié)論

研究了復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的修正函數(shù)投影同步問題，考慮了實(shí)際網(wǎng)絡(luò)中不可避免的模型不確定、外界干擾及時(shí)變時(shí)滯耦合的影響．通過構(gòu)造合適的Lyapunov函數(shù)，證明了同步誤差系統(tǒng)的穩(wěn)定性．該同步控制方法能有效地克服未知有界干擾和時(shí)滯耦合的影響，對(duì)具有常時(shí)滯耦合和時(shí)變時(shí)滯耦合的復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)均適用．以Chen混沌系統(tǒng)為目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行數(shù)值仿真，仿真結(jié)果證明了該方法的有效性．

圖2 參數(shù)θi1和θi2的估計(jì)值Fig.2 The estimated parameters θi1 and θi2

圖3 參數(shù)di和qi的時(shí)間進(jìn)化曲線Fig.3 The time evolution of parameters di and qi