高考全國卷《三角函數(shù)與解三角形》命題規(guī)律分析與展望

陜西

韓紅軍

(作者單位：陜西省寶雞市麟游縣中學(xué))

高考全國卷《三角函數(shù)與解三角形》命題規(guī)律分析與展望

陜西

韓紅軍

一、新課標(biāo)近三年《三角函數(shù)與解三角形》高考試題考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

1．新課標(biāo)近三年《三角函數(shù)與解三角形》高考理科試題考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

年份卷型題型題號(hào)分值知識(shí)點(diǎn)2015Ⅰ卷選擇25三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式、和(差)角公式選擇85余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)填空165正弦定理、余弦定理的應(yīng)用Ⅱ卷解答1712正弦定理、余弦定理、三角形的面積公式2016Ⅰ卷選擇125三角函數(shù)的性質(zhì)解答1712正弦定理、余弦定理、兩角和的正弦公式Ⅱ卷選擇75正弦函數(shù)的圖象變換、圖象對(duì)稱軸的求法選擇95三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式及二倍角公式填空135兩角和的正弦公式、正弦定理等Ⅲ卷選擇55倍角公式選擇85正弦定理、余弦定理、三角恒等變換、解三角形填空145三角恒等變換、三角函數(shù)圖象的平移2017Ⅰ卷選擇95三角函數(shù)圖象的變換解答1712正弦定理、余弦定理、和角公式等Ⅱ卷填空145同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、余弦函數(shù)的性質(zhì)等解答1712三角恒等變換、余弦定理等Ⅲ卷選擇65余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答1712余弦定理、解三角形

2．新課標(biāo)近三年《三角函數(shù)與解三角形》高考文科試題考點(diǎn)統(tǒng)計(jì)

年份卷型題型題號(hào)分值知識(shí)點(diǎn)2015Ⅰ卷選擇85余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)解答1712正弦定理、余弦定理、解三角形、勾股定理Ⅱ卷解答1712解三角形、正弦定理2016Ⅰ卷選擇45余弦定理選擇65三角函數(shù)的周期和函數(shù)圖象的平移變換填空145同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、誘導(dǎo)公式Ⅱ卷選擇35函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象與性質(zhì)選擇115三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式、二倍角公式填空155同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式等Ⅲ卷選擇65同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、三角恒等變換選擇95解三角形填空145三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象變換

續(xù)表

二、全國高考《三角函數(shù)與解三角形》試題分布特點(diǎn)與命題規(guī)律分析

考點(diǎn)分類201520162017Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷Ⅰ卷Ⅱ卷Ⅲ卷合計(jì)三角恒等變換與求值第2題第9題第5題第17題3年4考三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)第8題第12題第7題第14題第9題第14題第6題3年7考解三角形第16題第17題第17題第13題第8題第17題第17題第17題3年8考

從近三年的高考三角試題分布特點(diǎn)與命題規(guī)律可以看出，三角試題每年都考，而且文理有別，或“一大一小”，或“三小”，或“二小”(“小”指選擇題或填空題，“大”指解答題)，解答題以簡單題或中檔題為主，選擇題或填空題比較靈活，有簡單題，有中檔題，也有對(duì)學(xué)生能力和素養(yǎng)要求較高的題.

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的重點(diǎn)及熱點(diǎn)內(nèi)容，主要從以下兩個(gè)方面進(jìn)行考查：(1)三角函數(shù)的圖象，主要涉及圖象變換問題以及由圖象確定函數(shù)解析式問題，主要以選擇、填空題形式考查，有時(shí)也會(huì)出大題；(2)三角函數(shù)的性質(zhì)，通常是給出函數(shù)解析式，先進(jìn)行三角變換，將其轉(zhuǎn)化為y=Asin(ωx+φ)的形式再研究其性質(zhì)(如求ω和φ、單調(diào)性、值域、周期性、對(duì)稱性等)，或知道某三角函數(shù)的圖象或性質(zhì)求其解析式，再研究其他性質(zhì)，既有直接考查的客觀題，也有綜合考查的主觀題.

三角恒等變換主要體現(xiàn)在公式的變形上，包括三角函數(shù)的性質(zhì)，尤其在解答題中更為明顯.

解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：(1)邊和角的計(jì)算；(2)三角形形狀的判斷；(3)面積的計(jì)算；(4)有關(guān)的范圍問題.由于此內(nèi)容知識(shí)交匯性和應(yīng)用性較強(qiáng)，與其他知識(shí)綜合、與實(shí)際問題結(jié)合起來進(jìn)行命題將是今后高考的關(guān)注點(diǎn).

三、全國高考《三角函數(shù)與解三角形》試題命題方向展望

1.三角函數(shù)的定義與基本概念

(2)已知角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2sin2,-2cos2)，則sinα=

( )

A．sin2 B．-sin2 C．cos2 D．-cos2

【評(píng)注】已知角α的某三角函數(shù)值，可求角α終邊上一點(diǎn)P的坐標(biāo)中的參數(shù)值，可根據(jù)定義中的兩個(gè)量列方程求參數(shù)值；已知角α的終邊所在的直線方程或角α的大小，根據(jù)三角函數(shù)的定義可求角α終邊上某特定點(diǎn)的坐標(biāo).

2.三角函數(shù)式的化簡與求值

(1)求cos(α-β)的值；(2)求α+β大小．

【評(píng)注】三角恒等變換“四大策略”：(1)常值代換：特別是“1”的代換，1=sin2θ+cos2θ=tan45°等；(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如α=(α-β)+β=(α+β)-β等；(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次；(4)弦、切互化：一般是切化弦．

3.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

( )

( )

A.9 B.8

C.7 D.6

( )

【評(píng)注】函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B的確定方法：

字母確定途徑具體方法A由最值確定A=最大值-最小值2B由最值確定B=最大值+最小值2ω由函數(shù)的最小正周期確定相鄰的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為半個(gè)最小正周期,最高點(diǎn)(或最低點(diǎn))的橫坐標(biāo)與相鄰零點(diǎn)差的絕對(duì)值為14個(gè)最小正周期φ由圖象上的特殊點(diǎn)確定 一般把第一個(gè)零點(diǎn)作為突破口,可以從圖象的升降找準(zhǔn)第一個(gè)零點(diǎn)的位置,利用待定系數(shù)法并結(jié)合圖象列方程或方程組求解

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

【評(píng)注】解決三角函數(shù)圖象與性質(zhì)綜合問題的方法：先將y=f(x)化為y=asinwx+bcoswx+B的形式，然后用輔助角公式化為y=Asin(ωx+φ)+B的形式，再借助y=Asin(ωx+φ)的性質(zhì)(如周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性及最值等)解決相關(guān)問題，因此，要熟悉y=sinx或y=cosx的各種性質(zhì).

4.正、余弦定理及其應(yīng)用

【例5】在銳角△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，且2bcosC=2a-c．

(1)求角B；

(2)求sinAsinC的取值范圍．

5.解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題

(2)海中有一處景點(diǎn)P(設(shè)點(diǎn)P在xOy平面內(nèi)，PQ⊥OM，且PQ=6 km)，游輪無法靠近．求游輪在水上旅游線AB航行時(shí)離景點(diǎn)P最近的點(diǎn)C的坐標(biāo)．

(2)解法一：由題知PC⊥AB時(shí)，游輪離P點(diǎn)最近.由(1)知直線AB的方程為x+y-6=0，因?yàn)镻(4,8)，則直線PC的方程為x-y+4=0，所以解聯(lián)立直線AB和直線PC得到的方程組，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,5)．

【評(píng)注】求解解三角形的實(shí)際應(yīng)用問題時(shí)，先要分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意正確畫出示意圖，這是最關(guān)鍵、最重要的一步．將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題后，選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解．注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用，確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理.一般分為三種題型：(1)求距離；(2)測(cè)高度；(3)測(cè)角度.

6.三角函數(shù)與其他知識(shí)交匯

(1)求A-B的值；

【例8】(2016·黑龍江省牡丹江市)已知f(x)=ax+sinx(a∈R).

x00,2π3()2π32π3,π()πf′(x)+0—f(x)0增π3+32減π2

(作者單位：陜西省寶雞市麟游縣中學(xué))