借力思維導(dǎo)圖 讓學(xué)生學(xué)會(huì)有效思維策略分析
——以一道向量數(shù)量積問(wèn)題的講解為例

江蘇

張 慧

(作者單位：江蘇省南京市第十三中學(xué))

借力思維導(dǎo)圖 讓學(xué)生學(xué)會(huì)有效思維策略分析
——以一道向量數(shù)量積問(wèn)題的講解為例

江蘇

張 慧

“導(dǎo)航儀”在我們的生活中起著越來(lái)越重要的作用.只要輸入起點(diǎn)和終點(diǎn)，它就可以提供不止一條的道路，我們可以從中選擇出最優(yōu)的出行方案.筆者認(rèn)為，“思維導(dǎo)圖”這一思維工具在提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面與“導(dǎo)航儀”有著異曲同工之妙.我們?cè)诮虒W(xué)的過(guò)程中可以借助思維導(dǎo)圖，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維策略的“從0到1”，“從1到N”，“從N到優(yōu)”三個(gè)層次的進(jìn)階.筆者結(jié)合平時(shí)的教學(xué)案例，談?wù)剬?duì)這一點(diǎn)的理解.

一、課例及其部分課堂實(shí)錄

這是我校高三月考的一道填空題，班級(jí)共51名同學(xué)，其中18人做錯(cuò).試卷發(fā)下后，筆者讓學(xué)生寫(xiě)了錯(cuò)因分析，大致可以分為幾種：(1)條件“G是△ABC的重心”不會(huì)轉(zhuǎn)化;(2)題目中的三個(gè)條件不知道怎樣聯(lián)系起來(lái)使用;(3)想到用“基底法”求數(shù)量積，但找不到合適的基底向量;(4)想到“坐標(biāo)法”求數(shù)量積，不知道怎樣建系來(lái)表示坐標(biāo).筆者借助“思維導(dǎo)圖”對(duì)這道題的講解分成三部分：(1)題目條件和結(jié)論的單獨(dú)聯(lián)想；(2)條件與條件、條件與結(jié)論的組合聯(lián)想；(3)幾種解題策略的優(yōu)化聯(lián)想.通過(guò)這種方式來(lái)解決學(xué)生以上的困惑.

1.以單個(gè)條件、結(jié)論為“中心導(dǎo)航”展開(kāi)聯(lián)想，為思維策略的“從0到1”做儲(chǔ)備.

師：當(dāng)你看到“G是△ABC的重心”這一條件時(shí)你能聯(lián)想到哪些轉(zhuǎn)化？(學(xué)生在回答時(shí)教師用導(dǎo)圖形式呈現(xiàn).)

生：

師：當(dāng)看到“GA⊥GB”這一條件時(shí)同學(xué)們能聯(lián)想到哪些轉(zhuǎn)化？

生：

生：

2.以條件與條件、條件與結(jié)論為“組合導(dǎo)航”展開(kāi)聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)思維策略的“從0到1，再?gòu)?到N”.

策略一：從條件出發(fā)，將條件和條件組合聯(lián)想,嘗試得到新的結(jié)論.

組合一：

策略二：從結(jié)論出發(fā)，將條件和結(jié)論組合聯(lián)想,找到條件的轉(zhuǎn)化方向.

組合二：

組合三：

組合四：

3.以各種組合整體為“比較導(dǎo)航”展開(kāi)聯(lián)想，實(shí)現(xiàn)思維策略“從N到優(yōu)”.

生1：對(duì)比組合一和組合四，同樣是基底法，組合一是轉(zhuǎn)化成了兩個(gè)已知長(zhǎng)度的向量，組合四是轉(zhuǎn)化成了三個(gè)共起點(diǎn)的向量，運(yùn)算量不一樣，顯然組合一的方法要簡(jiǎn)單些.

生2：對(duì)比組合二和組合三兩種方案，同樣是坐標(biāo)法，組合二圍繞“直角”建系更簡(jiǎn)潔.

師：方法提煉

二、教學(xué)感悟

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“結(jié)論幾乎總是以完成的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會(huì)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺(jué)不到思想形成的生動(dòng)過(guò)程，也很難達(dá)到清楚地理解全部情況.”數(shù)學(xué)老師應(yīng)該將各種思路動(dòng)態(tài)形成過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，使在解決問(wèn)題中遇到困難的同學(xué)知道如何突破自己的思維障礙；使已解決問(wèn)題的同學(xué)在了解幾種不同的思維角度后，優(yōu)化思維策略，提升思維品質(zhì).思維導(dǎo)圖作為一種可視化的思考工具，將學(xué)生思維中不可言說(shuō)的部分內(nèi)容圖形化、示意化、可理解化，讓學(xué)生的思考從朦朧走向清晰.學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)出解決問(wèn)題的方法，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的喜悅，提升成就感.

1.借力思維導(dǎo)圖，展開(kāi)知識(shí)“點(diǎn)”聯(lián)想，力求豐富完整，提升學(xué)生的發(fā)散思維能力.

思維導(dǎo)圖是一種將放射性思維具體化的方法，它的放射性結(jié)構(gòu)恰好反映了大腦自然思考問(wèn)題的解決過(guò)程.我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中要注重教會(huì)學(xué)生對(duì)一些關(guān)鍵條件展開(kāi)逐層聯(lián)想的方法，如：“GA⊥GB”這一條件的第一層聯(lián)想：分別在三角形、向量、解析幾何中都涉及角的研究.第二層聯(lián)想：三角形中直角讓我們聯(lián)想到直角三角形的有關(guān)性質(zhì)；向量中直角讓我們聯(lián)想到數(shù)量積為0；解析幾何中直角讓我們聯(lián)想到斜率乘積為-1等.平時(shí)在對(duì)解題方法進(jìn)行聯(lián)想時(shí)也要盡可能全面：比如求y=sinx+cosx+sinxcosx的最值，對(duì)求“最值”這一關(guān)鍵詞的聯(lián)想我們應(yīng)想到求導(dǎo)、基本不等式、換元等，其中，有些方法可以解決這個(gè)問(wèn)題，有些不能，所以學(xué)生有時(shí)還需要做提煉、篩選工作.這樣做雖然比較麻煩，但是可以使學(xué)生對(duì)解決一類(lèi)問(wèn)題的不同方法進(jìn)行比較，并加深方法的記憶及掌握不同方法使用的范圍和所需條件.

2.借力思維導(dǎo)圖，展開(kāi)組合“線”聯(lián)想，力求組合的多樣性，提升學(xué)生邏輯推理能力.

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，任何一個(gè)問(wèn)題都可以分為三種狀態(tài)，即初態(tài)、終態(tài)和中間態(tài).初態(tài)是解題的已知條件，終態(tài)是解題所要達(dá)到的終極目標(biāo).解題實(shí)質(zhì)上就是使問(wèn)題從初態(tài)順利地到達(dá)終態(tài)的過(guò)程.一方面我們可以通過(guò)羅列已知條件，利用對(duì)條件的逐層聯(lián)想進(jìn)一步尋找各種條件的已知關(guān)聯(lián)，步步推進(jìn)最終實(shí)現(xiàn)解題思路的導(dǎo)通；另一方面我們可以羅列解決這類(lèi)問(wèn)題的幾種一般的方法，將方法和條件進(jìn)行組合聯(lián)想，明確條件的轉(zhuǎn)化方向，從而更快地推進(jìn)問(wèn)題求解的探索過(guò)程.通過(guò)對(duì)推理過(guò)程的合理表述可提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的邏輯性、流暢性.

3.借力思維導(dǎo)圖，逐步建構(gòu)知識(shí)體系“面”，獲得“可疊加”的進(jìn)步，提升思維完整性及全面性.

(作者單位：江蘇省南京市第十三中學(xué))