“超級(jí)全能生”2018年高考全國(guó)卷26省3月聯(lián)考甲卷數(shù)學(xué)(理科)

“超級(jí)全能生”2018年高考全國(guó)卷26省3月聯(lián)考甲卷數(shù)學(xué)(理科)

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

( )

2．關(guān)于x的不等式x2-x-m<0的解集為A=(-1,n)，B={x|2x<1}，則A∩B=

( )

A．(-1,0) B．(-2,0)

C．(-∞,2) D．(0,1)

3．已知向量a=(-1,m)，b=(2,3)，若a+2b與b平行，則m=

( )

4．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，若AB=3，BC=4，則AC=

( )

( )

A.-6 B.-3 C.2 D.3

6．一位顧客某個(gè)月的每天都會(huì)到一家外賣店訂購(gòu)午餐．該顧客一天訂購(gòu)甲套餐的概率是0.8，連續(xù)兩天訂購(gòu)甲套餐的概率是0.6．已知某天該顧客訂購(gòu)了甲套餐，則隨后一天該顧客繼續(xù)訂購(gòu)甲套餐的概率為

( )

A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.48

7．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積是

( )

8．如圖的程序框圖的部分算法思路來(lái)源于我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的“更相減損術(shù)”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入a,b的值分別為12，15，則輸出的m=

( )

A.3 B.30 C.60 D.180

( )

( )

( )

12．設(shè)函數(shù)f′(x)是f(x)(x≠2)的導(dǎo)函數(shù)，f(3)=0，f(2+x)+f(2-x)=0．當(dāng)x>2時(shí)，f′(x)-f(x)>0，則使得f(x)·ln|x-2|<0成立的x的取值范圍是

( )

A．(-∞,1)∪(1,2) B．(1,2)∪(3,+∞)

C．(-∞,1)∪(2,3) D．(1,2)∪(2,+∞)

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

14．A，B，C，D，E五個(gè)人分別從編號(hào)為3，4，5，6，7的五張卡片中任取一張，現(xiàn)已知：

(1)A的數(shù)字比B的數(shù)字大2；

(2)B的數(shù)字與C的數(shù)字相鄰；

(3)C的數(shù)字是偶數(shù)；

(4)D的數(shù)字是A，B，C其中兩個(gè)數(shù)字的和．

根據(jù)以上條件B拿到的卡片上的數(shù)字為_(kāi)_______.

15．(x+a)(x+2)4的展開(kāi)式中x的偶數(shù)次冪項(xiàng)的系數(shù)和為-1，則實(shí)數(shù)a=________．

16．已知M，N分別是拋物線E：y2=4x和圓C：(x-4)2+y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)M，N運(yùn)動(dòng)時(shí)，|MN|的最小值為_(kāi)_______．

三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22,23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(一)必考題:共60分.

17．(12分)

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1.

(Ⅰ)求{an}的通項(xiàng)公式；

18．(12分)

科技扶貧是精準(zhǔn)扶貧的一項(xiàng)重要措施，某科研機(jī)構(gòu)將自己研發(fā)的一項(xiàng)葡萄種植技術(shù)提供給某山區(qū)果農(nóng)．為驗(yàn)證該技術(shù)的效果，該果農(nóng)選擇40株葡萄樹進(jìn)行試驗(yàn)，其中20株不進(jìn)行任何處理，記為對(duì)照組，另外20株采用新技術(shù)培養(yǎng)，記為實(shí)驗(yàn)組．葡萄成熟收割后，該果農(nóng)統(tǒng)計(jì)了這40株葡萄樹的年產(chǎn)量數(shù)據(jù)(單位：kg).

對(duì)照組1215212326243535343251524946435344616343實(shí)驗(yàn)組2332343642415159464343455267656562565558

(Ⅰ)根據(jù)數(shù)據(jù)完成對(duì)照組和試驗(yàn)組葡萄產(chǎn)量的莖葉圖，并通過(guò)莖葉圖比較對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組葡萄產(chǎn)量的平均值和方差的大小(不要求計(jì)算出具體值，得出結(jié)論即可)；

(Ⅱ)若每株葡萄樹的年產(chǎn)量不低于45 kg，則認(rèn)為“產(chǎn)量高”，否則認(rèn)為“產(chǎn)量一般”．請(qǐng)根據(jù)此樣本完成此2×2列聯(lián)表，并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)量的提高與使用新技術(shù)有關(guān)；

對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組合計(jì)產(chǎn)量高產(chǎn)量一般合計(jì)

(Ⅲ)從“產(chǎn)量高”的數(shù)據(jù)中隨意抽取3株做進(jìn)一步科學(xué)研究，計(jì)算恰好有2株來(lái)自實(shí)驗(yàn)組的概率.

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

19．(12分)

(Ⅰ)求證:A1C∥平面BDC1；

(Ⅱ)求二面角B-DC1-C的余弦值.

20．(12分)

(Ⅰ)求軌跡E的方程；

21．(12分)

已知a>0，函數(shù)f(x)=(x2-2x)lnx+ax2-x.

(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，求證：當(dāng)x>e-2時(shí)，f(x)≥0．

(二)選考題：共10分．請(qǐng)考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.

22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)

(Ⅰ)求直線l的普通方程和曲線C1的極坐標(biāo)方程；

(Ⅱ)若直線l與曲線C1，C2的交點(diǎn)(異于極點(diǎn))分別為A，B，求|AB|.

23．[選修4-5：不等式選講](10分)

(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f(x)<7的解集；

(Ⅱ)若對(duì)任意實(shí)數(shù)a，關(guān)于x的不等式f(x)+4≥|1-2m|恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

參考答案

17．解:(Ⅰ)當(dāng)n=1時(shí)，a1=2×1-1=1；

(1分)

當(dāng)n≥2時(shí)，a1+2a2+3a3+…+nan=2n-1, ①

a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=2(n-1)-1, ②

(3分)

(4分)

(5分)

(6分)

(7分)

(8分)

(10分)

(11分)

(12分)

18．解:(Ⅰ)實(shí)驗(yàn)組的葡萄平均產(chǎn)量要高于對(duì)照組的葡萄平均產(chǎn)量；實(shí)驗(yàn)組的葡萄產(chǎn)量的方差要小于對(duì)照組葡萄產(chǎn)量的方差.

(2分)

(4分)

(Ⅱ)完成2×2列聯(lián)表如下圖所示：

對(duì)照組實(shí)驗(yàn)組合計(jì)產(chǎn)量高71219產(chǎn)量一般13821合計(jì)202040

(5分)

所以K2的觀測(cè)值

(7分)

所以沒(méi)有95%的把握認(rèn)為產(chǎn)量的提高與使用新技術(shù)有關(guān).

(8分)

(11分)

(12分)

19．解:(Ⅰ)證明：連接B1C交BC1于E，連接DE，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，E為BC1的中點(diǎn)，

又D為A1B1的中點(diǎn)，

所以DE是△A1B1C的中位線，所以DE∥A1C，

(3分)

又DE?平面BDC1，A1C?平面BDC1，

(4分)

所以A1C∥平面BDC1.

(5分)

(Ⅱ)因?yàn)锳B2+BC2=8=AC2，所以AB⊥BC.依題意可知，AB，BC，BB1兩兩垂直，以B點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，BC，BB1所在的直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系B-xyz.

則B(0,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，D(1,0,1)，

(6分)

設(shè)n1=(x1,y1,z1)為平面BDC1的法向量，

(8分)

設(shè)n2=(x2,y2,z2)為平面CDC1的法向量，

令x2=2，可得n2=(2,1,0).

(10分)

(11分)

由題知二面角B-DC1-C為銳二面角，

(12分)

20．解:(Ⅰ)設(shè)P(x0,y0)，H(0,y0),Q(x,y)，

(2分)

又P(x0,y0)在圓C上，

(5分)

(Ⅱ)△ABF的周長(zhǎng)是定值，值為6.

解法一：由動(dòng)點(diǎn)P在第一象限，可設(shè)直線AB的方程為y=kx+m(k<0,m>0)，

得(4+9k2)x2+18kmx+9m2-36=0.

(7分)

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

(8分)

(9分)

因?yàn)橹本€AB與圓C:x2+y2=4相切，

(10分)

(11分)

故△ABF的周長(zhǎng)是定值6．

(12分)

解法二：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，

(6分)

(8分)

在圓C中，P是切點(diǎn)，

(9分)

(10分)

同理可得|BF|+|BP|=3，

所以|AF|+|BF|+|AB|=3+3=6，

(11分)

故△ABF的周長(zhǎng)是定值6．

(12分)

21．解:(Ⅰ)當(dāng)a=2時(shí)，f(x)=(x2-2x)lnx+2x2-x，

f′(x)=(2x-2)lnx+5x-3，

(1分)

f′(1)=2，f(1)=1，

(2分)

所以f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y-1=2(x-1)，即2x-y-1=0．

(4分)

(Ⅱ)證明:若函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，

令f(x)=(x2-2x)lnx+ax2-x=0，x>0，

(5分)

(6分)

令h(x)=1-x-2lnx，

因?yàn)閔′(x)<0，

所以h(x)=1-x-2lnx在(0,+)上是減函數(shù)，

又因?yàn)閔(1)=0，

所以當(dāng)00；當(dāng)x>1時(shí)，g′(x)<0.

(7分)

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+)上單調(diào)遞減，

所以g(x)在x=1處取得極大值，也是最大值，g(x)max=g(1)=1.

(8分)

因?yàn)閍>0，所以當(dāng)函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a=1．

(9分)

當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=(x2-2x)lnx+x2-x，

所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極小值f(1)=0，

又因?yàn)閒(e-2)=3e-2-e-4>0，所以f(x)min=f(1)=0．

(11分)

所以當(dāng)x>e-2時(shí)，f(x)≥0．

(12分)

(2分)

(5分)

(6分)

(9分)

(10分)

23．解:(Ⅰ)當(dāng)a=1時(shí)，

(1分)

當(dāng)x<-1時(shí)，-2x+3<7，解得x>-2，所以-2

(2分)

當(dāng)-1≤x≤4時(shí)，5<7恒成立；

(3分)

當(dāng)x>4時(shí)，2x-3<7，解得x<5，所以4

(4分)

綜上所述，不等式f(x)<7的解集是{x|-2

(5分)

≥4(當(dāng)且僅當(dāng)a=±2時(shí)，取等號(hào)),

(8分)

所以4+4≥|1-2m|，所以-8≤2m-1≤8，

(10分)

(本套聯(lián)考試題為雜志社第三階段原創(chuàng)研發(fā)項(xiàng)目“數(shù)學(xué)D3T2”研發(fā)組成果)