淺談橢圓的概念在數(shù)學(xué)本質(zhì)下的教學(xué)研究

□海南省海南中學(xué) 唐盛彪 葉 穗

數(shù)學(xué)概念作為教學(xué)中的重要環(huán)節(jié)，是數(shù)學(xué)知識(shí)體系和思想方法的奠基之石和重要載體。在教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生參與概念的形成和發(fā)展的過(guò)程，深入探究概念的深層內(nèi)涵，剖析其數(shù)學(xué)本質(zhì)，展示隱含其中的數(shù)學(xué)思想方法，感悟數(shù)學(xué)特有的數(shù)學(xué)思維方式，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，達(dá)到有效教學(xué)。

圓錐曲線(xiàn)的內(nèi)容尤其橢圓在高中數(shù)學(xué)中要求較高，其概念教學(xué)又是重點(diǎn)教學(xué)之一，但因其教學(xué)上的不當(dāng)設(shè)計(jì)，常造成學(xué)生在概念上形成斷層，思維模式固化，未深入了解橢圓便開(kāi)始投入到大量的題海戰(zhàn)術(shù)中，但又無(wú)從下手。在目前的教學(xué)現(xiàn)狀中關(guān)于橢圓的定義呈現(xiàn)出概念引入和標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程被嚴(yán)重忽視現(xiàn)象，多數(shù)教師基本就是舉幾個(gè)生活中的例子，再形式化類(lèi)比圓的畫(huà)法，利用一個(gè)繩子固定兩定點(diǎn)直接畫(huà)出橢圓，橢圓的定義未經(jīng)仔細(xì)打磨便呼之而出，隨后用幾句話(huà)說(shuō)明如何建系，便開(kāi)始了復(fù)雜的公式推導(dǎo)過(guò)程。有心的教師在引入上下足了功夫，提到了橢圓作為圓錐曲線(xiàn)的來(lái)源，但因?yàn)楦拍罱虒W(xué)中嚴(yán)重脫離了剖析數(shù)學(xué)本質(zhì)的過(guò)程，概念教學(xué)僅起到擦邊球的效果。而如何基于數(shù)學(xué)本質(zhì)進(jìn)行概念教學(xué)，是需要我們不斷地在教學(xué)實(shí)踐中學(xué)習(xí)和總結(jié)的。

2017年9月，我校數(shù)學(xué)組組織了一次組內(nèi)公開(kāi)課，筆者在此次活動(dòng)中，以人教A版數(shù)學(xué)選修2-1第二章第二節(jié)《橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程》為課題上了一節(jié)基于數(shù)學(xué)本質(zhì)的數(shù)學(xué)概念生成課，以探究如何進(jìn)行有效的橢圓概念教學(xué)。

一、教材分析

《橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》選自高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-1的第二章《圓錐曲線(xiàn)與方程》的第一節(jié)。作為本章節(jié)的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，是除了圓以外又一個(gè)以“代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題”解決曲線(xiàn)問(wèn)題的實(shí)例，深度剖析了利用圓錐曲線(xiàn)方程研究圓錐曲線(xiàn)幾何性質(zhì)的方法，為后面進(jìn)一步研究雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)提供了基本的研究模式和方法。

由于橢圓的定義是通過(guò)描述橢圓形成的過(guò)程中得到的發(fā)生性定義，較其他數(shù)學(xué)定義比較特殊。又因其形象在生活中處處可見(jiàn)，學(xué)生對(duì)橢圓已有了一定的感性直觀(guān)認(rèn)知，同時(shí)也初步掌握了一些簡(jiǎn)單研究解析幾何的思維方法，但對(duì)橢圓數(shù)學(xué)化的描述和研究仍然是模糊的，教學(xué)中應(yīng)注重的是橢圓本質(zhì)是什么以及如何研究它的性質(zhì)，而不是教學(xué)方式和教學(xué)流程。數(shù)學(xué)本質(zhì)的體現(xiàn)主要在數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、形成、性質(zhì)、應(yīng)用幾方面，同時(shí)因?yàn)閿?shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和復(fù)雜性，教學(xué)中強(qiáng)調(diào)滲透的本質(zhì)也要與學(xué)生的認(rèn)知水平能力相符合，從而達(dá)到教學(xué)效應(yīng)最大化。

根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，筆者認(rèn)為，橢圓概念的形成若要體現(xiàn)其數(shù)學(xué)本質(zhì)，必然要學(xué)生親身經(jīng)歷概念自然形成的過(guò)程。從基本實(shí)驗(yàn)入手，動(dòng)手操作，教師合理提問(wèn)，歸納總結(jié)，深入概念內(nèi)部進(jìn)行研究，徹底解決學(xué)生對(duì)橢圓概念的疑惑，達(dá)到學(xué)生對(duì)橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的發(fā)現(xiàn)和理解的目標(biāo)。這就需要充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神。

二、教學(xué)實(shí)錄

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題。

情境1：利用多媒體課件展示生活中與橢圓有關(guān)的圖形，讓學(xué)生觀(guān)察太陽(yáng)系當(dāng)中各個(gè)行星的運(yùn)行軌跡，以及鳥(niǎo)巢的俯視平面形狀，描述都是什么曲線(xiàn)？并舉例說(shuō)明。

情境2：裝了半瓶水的圓柱形水瓶，正常放置的時(shí)候，水平面邊界線(xiàn)是圓，傾斜放置的時(shí)候，水平面邊界線(xiàn)是橢圓。

將水瓶的形狀換成圓錐（幾何畫(huà)板演示），利用平面切割圓錐，分別得到了圓、橢圓和雙曲線(xiàn)，解釋橢圓為何被稱(chēng)為圓錐曲線(xiàn)的由來(lái)。

教師提問(wèn)：橢圓到底從數(shù)學(xué)的角度，應(yīng)如何下定義？橢圓的性質(zhì)如何研究？

【設(shè)計(jì)意圖】橢圓概念的引入，情境1：數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，利用生活中的材料讓學(xué)生直觀(guān)感受橢圓的形狀，使學(xué)生對(duì)橢圓初步產(chǎn)生一種感性認(rèn)知。情境2：數(shù)學(xué)服務(wù)于生活，從生活回歸數(shù)學(xué)，抽象為平面切割圓錐而得到圓錐曲線(xiàn)。兩個(gè)情境都為后面學(xué)生理性認(rèn)知橢圓作了合理的過(guò)渡。

2.探究實(shí)驗(yàn)，形成概念。

（1）橢圓定義探究

教師：回顧與橢圓相似的閉合曲線(xiàn)——圓的定義和畫(huà)法。是否可以類(lèi)比圓的畫(huà)法畫(huà)出橢圓。（類(lèi)比過(guò)程中，應(yīng)抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，定點(diǎn)和定長(zhǎng)。）

分組實(shí)驗(yàn)1：其中一組將一條定長(zhǎng)的細(xì)繩兩端固定在兩個(gè)定點(diǎn)上，用筆尖勾直繩子，使筆尖移動(dòng)。另外幾組根據(jù)其他猜想畫(huà)圖，例如利用一個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)定長(zhǎng)直線(xiàn)畫(huà)圖或其他猜想。各組觀(guān)察畫(huà)出的圖形。

通過(guò)實(shí)驗(yàn)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只有利用兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)定長(zhǎng)的直線(xiàn)，筆尖的軌跡才是橢圓，且筆尖到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為直線(xiàn)的長(zhǎng)度。

教師：請(qǐng)簡(jiǎn)單總結(jié)橢圓定義（模仿圓定義的描述類(lèi)比給出橢圓定義）

（大部分）學(xué)生答：到兩定點(diǎn)距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓。

（多媒體展示）

【設(shè)計(jì)意圖】類(lèi)比圓的畫(huà)法探究橢圓的畫(huà)法，但類(lèi)比不能落入形式化，直接給出結(jié)果限制了學(xué)生的思考，分組讓學(xué)生自己先猜想，再動(dòng)手試驗(yàn)，讓學(xué)生對(duì)概念的形成有個(gè)逐漸認(rèn)知的過(guò)程，提高學(xué)生探究的興趣。

（少部分）學(xué)生疑問(wèn)：所有的橢圓都是這么畫(huà)出來(lái)的嗎？有沒(méi)有比較特殊的橢圓不滿(mǎn)足這個(gè)條件呢？

實(shí)驗(yàn)2：學(xué)生課前已準(zhǔn)備好圓形紙板或紙片，引導(dǎo)學(xué)生在紙片上隨意選取一個(gè)點(diǎn)（除去圓心），記為點(diǎn)，然后依次從邊緣開(kāi)始進(jìn)行折紙，折起的圓弧都要經(jīng)過(guò)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)多次折紙之后，將會(huì)得到若干條折痕，讓學(xué)生觀(guān)察折痕包圍的圖形。學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)折痕包圍的圖形邊緣是橢圓。

（利用幾何畫(huà)板演示折紙過(guò)程）

教師：折紙的原理是什么。該橢圓是由哪些點(diǎn)構(gòu)成的？

學(xué)生：定點(diǎn)P和圓周上的點(diǎn)N關(guān)于折痕對(duì)稱(chēng)，橢圓是和折痕ST的交點(diǎn)M的軌跡。

教師引導(dǎo)學(xué)生同時(shí)觀(guān)察到|MA|+|MO|=|ON|=圓的半徑（定長(zhǎng)）

演示：選取任意一個(gè)橢圓進(jìn)行驗(yàn)證。（幾何畫(huà)板展示驗(yàn)證過(guò)程）

隨便取一個(gè)橢圓，移動(dòng)橢圓上的點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離恒為定長(zhǎng)，改變橢圓形狀，該性質(zhì)保持不變。

因此所有的橢圓都可以通過(guò)這個(gè)方式畫(huà)出來(lái)。

【設(shè)計(jì)意圖】有些學(xué)生難免產(chǎn)生疑問(wèn)，就問(wèn)隨手畫(huà)出的橢圓會(huì)不會(huì)是巧合，或者個(gè)別橢圓不滿(mǎn)足這樣的條件呢，這樣驗(yàn)證之后，學(xué)生對(duì)這個(gè)畫(huà)法的合理性就有了更深刻的認(rèn)識(shí)。

2.歸納提升，完善定義。

教師：到兩定點(diǎn)距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是橢圓，這個(gè)定義是否需要補(bǔ)充，或有什么限定條件？

學(xué)生：（一時(shí)答不上來(lái)，覺(jué)得這個(gè)概念相對(duì)完美了）

實(shí)驗(yàn)3筆尖不僅在兩個(gè)定點(diǎn)所在的平面上移動(dòng)，還在空間中移動(dòng)，觀(guān)察筆尖的軌跡（確保定義的前提是在平面內(nèi)）

【設(shè)計(jì)意圖】一開(kāi)始看，學(xué)生給出的定義似乎非常合理，但其實(shí)存在著很多漏洞，引導(dǎo)他們深入挖掘，解惑的過(guò)程讓學(xué)生對(duì)這個(gè)概念的理解和認(rèn)識(shí)會(huì)加深很多。

教師：將橢圓定義翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言，設(shè)兩定點(diǎn)分別為F1、F2，繩子的定長(zhǎng)為2a，常數(shù)|F1、F2|≥2a是一個(gè)重要的量，此時(shí)軌跡還是圓嗎？

利用多媒體課件演示，同時(shí)讓學(xué)生歸納。

|MF1|+|MF2|＞|F1、F2|橢圓

|MF1|+|MF2|=|F1、F2|線(xiàn)段

|MF1|+|MF2|＜|F1、F2|不存在

教師：請(qǐng)同學(xué)們完善橢圓的定義。

（板書(shū)）：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1、F2|）的點(diǎn)的集合叫做橢圓。其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距。

【設(shè)計(jì)意圖】橢圓的定義初步的給定，學(xué)生并未能一下子考慮到焦距和定長(zhǎng)之間的關(guān)系影響了軌跡的形狀，簡(jiǎn)單的一句話(huà)也揭示不了橢圓定義的本質(zhì)。經(jīng)過(guò)引導(dǎo)之后，刺激了學(xué)生繼續(xù)往下思考，從而將概念補(bǔ)充完整，也讓學(xué)生體會(huì)到了概念的形成要多方面考慮，促使學(xué)生養(yǎng)成思考問(wèn)題的良好習(xí)慣。

3.建系設(shè)點(diǎn)，化簡(jiǎn)方程。

思考：回顧求圓方程的方法和步驟，嘗試推導(dǎo)橢圓的方程。

第一步：建立平面直角坐標(biāo)系

方案1：在橢圓上任意選取一點(diǎn)作為原點(diǎn)建系；

方案2：選取兩個(gè)焦點(diǎn)的其中一個(gè)作為原點(diǎn)，以?xún)山裹c(diǎn)所在直線(xiàn)為x軸建系；

方案3：以?xún)蓚€(gè)焦點(diǎn)的中垂線(xiàn)作為y軸，以?xún)山裹c(diǎn)所在的直線(xiàn)作為x軸建系；

…

學(xué)生們經(jīng)過(guò)熱烈討論后，根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和建系的方便性，選取了方案3，以焦點(diǎn)在x軸上的橢圓為例建系。

第二步：設(shè)點(diǎn)F1（-c，0）、F2（c，0），橢圓上的點(diǎn)M（x，y）

第三步：列方程|MF1|+|MF2|=2a

兩邊再平方化簡(jiǎn)得（a2-c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）

擴(kuò)展思路：第三步的方程化簡(jiǎn)也可如下

兩邊同乘根號(hào)差得：

它們的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)P（x，y）與定點(diǎn)F2（c，0）（或F1（-c，0））的距離和它到定直線(xiàn)的距離的比是離心率e，常常被稱(chēng)為橢圓的第二定義。

思考：學(xué)生猜想焦點(diǎn)在y軸上的橢圓方程的形式，并思考如何利用標(biāo)準(zhǔn)方程判斷其焦點(diǎn)位置。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生參與到問(wèn)題的解答中，體驗(yàn)方程推導(dǎo)的全過(guò)程，數(shù)形結(jié)合思想，用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的思想和方法，達(dá)到真正掌握這一方法的目的。同時(shí)擴(kuò)展其他標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)的方法。

三、小結(jié)

若要深入橢圓定義的本質(zhì)去進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，應(yīng)該先深入剖析教材，體現(xiàn)從圖像到數(shù)學(xué)對(duì)象的自然過(guò)渡。在概念教學(xué)中切忌一味追求所謂的數(shù)學(xué)本質(zhì)，應(yīng)充分考慮學(xué)生的接受能力，通過(guò)具體對(duì)象反映橢圓的本質(zhì)特征，才能真正上好一堂合格的概念課。