天體圓周運動追及相遇問題的解法

遼寧 鄭 金

對于兩個同心圓軌道上的勻速圓周運動的追及相遇問題，在求周期與半徑的關(guān)系時，既可應(yīng)用開普勒第三定律列方程，也可應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律列方程，兩種方法是統(tǒng)一的，需靈活選用。雖然在有關(guān)追及相遇的各種問題中給出的物理量以及待求的物理量有所不同，但一般化的解答方法比較相似，注意靈活利用特殊方法，可使這類問題迎刃而解。下面針對兩個天體沿相同方向的勻速圓周運動追及相遇問題所求物理量的不同按4種情況進行分類解析。

一、求再次相距最近或最遠時經(jīng)歷的時間

如果兩個行星開始距離最近即相遇，若求何時再次相遇，則可選擇其中運動較慢的物體為參照物，視為靜止不動，那么運動較快的物體比運動較慢的物體多轉(zhuǎn)1周，即多轉(zhuǎn)過2π角度時，再次相遇；若求何時二者距離最遠，那么運動較快的物體比運動較慢的物體多轉(zhuǎn)整數(shù)周再加上半周，或者說多轉(zhuǎn)過的角度為2kπ+π(k為整數(shù))時，二者相距最遠。兩種情況可分別列出方程(ω1-ω2)t=2π或(ω1-ω2)t=2kπ+π，即可求出時間。

【例1】如圖1所示，假設(shè)A、B兩個行星軌道半徑之比為r1∶r2=1∶3，已知A的周期為T1，某時刻二者位于過圓心的同一半徑上，即相距最近，問何時再次相距最近？

【點評】解題思路是由開普勒第三定律求出周期之比，利用相對角速度法列出方程，即可求出時間。

【拓展】如果二者多次相距最近，那么相距最近時能否出現(xiàn)于原來的位置？

【點評】如果再次相距最近時兩個行星轉(zhuǎn)過的圈數(shù)都是整數(shù)，則二者同時出現(xiàn)于原來的位置，這是一種非常特殊的相遇情形，在自然情況下難以實現(xiàn)。

【例2】某衛(wèi)星在地球赤道上空運行，軌道平面與赤道平面重合，軌道半徑為r，運行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。設(shè)地球的自轉(zhuǎn)的角速度為ω0，半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，在某時刻該衛(wèi)星通過赤道上某建筑物的正上方，那么到它下次通過該建筑物的正上方經(jīng)歷的時間可能為 ( )

【解析】對某衛(wèi)星由萬有引力提供向心力有

考慮到衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度的大小關(guān)系，需進行討論，可分為如下三種情形:

(1)若某衛(wèi)星是地球同步衛(wèi)星，則它始終位于建筑物的上方。該題不屬于這種情況，沒有符合的選項。

【點評】該題屬于地球一般衛(wèi)星與地球表面上的某一物體的追及相遇問題，等效于地球一般衛(wèi)星與地球同步衛(wèi)星的追及相遇問題。需首先求出地球一般衛(wèi)星角速度的關(guān)系式，再根據(jù)其運行高度的可能性來確定地球一般衛(wèi)星的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度的大小關(guān)系，分別列方程求時間。

二、求相距最近或最遠時某星轉(zhuǎn)過的周數(shù)

圓周運動的時間與圓周運動的周期之比為周期的個數(shù)，即為圓周運動的周數(shù)。有兩種方法可用，其一是把兩個衛(wèi)星對應(yīng)的角速度與周期的關(guān)系式分別代入方程(ω1-ω2)t=2π，結(jié)合開普勒第三定律，即可求出周數(shù)；其二是應(yīng)用萬有引力定律和牛頓第二定律列方程求出周期，再用運動時間和周期之比求周數(shù)。

【例3】兩顆地球衛(wèi)星在同一軌道平面內(nèi)做同向勻速圓周運動，地球半徑為R，A衛(wèi)星離地面高度為0.5R，B衛(wèi)星離地面高度為5R，若某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面某點的正上方，求衛(wèi)星B經(jīng)過多少個周期時兩衛(wèi)星相距最遠？

【解析】某時刻兩衛(wèi)星正好同時通過地面同一點的正上方，表示此時相距最近。設(shè)B衛(wèi)星經(jīng)過n個周期時兩衛(wèi)星與地心共線，分別位于地球的兩側(cè)，由于二者做同向勻速圓周運動，則A比B多轉(zhuǎn)過的角度為

(ωA-ωB)t=2kπ+π

【解析】由于c是地球同步衛(wèi)星，在某一時刻剛好位于a的正上方，則以后永遠在a的正上方，可知A項錯誤。該題主要是判斷衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過幾圈，即在48 h時間內(nèi)，地球自轉(zhuǎn)2周，需判斷衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過多少，已知運動時間，應(yīng)先求出周期。由萬有引力定律和向心力公式有

可知在48 h的時間內(nèi)，b轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為

即經(jīng)過48 h后b的位置相當于從初始位置轉(zhuǎn)過 0.64圈時的位置，由圖可知B項正確。

【點評】解題關(guān)鍵根據(jù)萬有引力提供向心力列方程，定量計算衛(wèi)星b做圓周運動的周期的具體數(shù)值，以便計算其轉(zhuǎn)過的圈數(shù)，但不一定是整數(shù)。該題所反映的運動狀態(tài)是：開始時三者共線，后來三者不一定共線，需進行判斷。如果求相遇的次數(shù)，則經(jīng)過48 h，衛(wèi)星c轉(zhuǎn)過兩周，衛(wèi)星b轉(zhuǎn)過8.64周，可知衛(wèi)星b比衛(wèi)星c多轉(zhuǎn)過6.64周，則相遇6次。

三、求一定時間內(nèi)相距最近即相遇的次數(shù)

【例5】假設(shè)有一載人宇宙飛船在距離地面高度為4 200 km的赤道上空繞地球做勻速圓周運動，地球同步衛(wèi)星到地面的高度約為36 000 km，宇宙飛船和地球同步衛(wèi)星繞地球同向運動，每當二者相距最近時，宇宙飛船就向同步衛(wèi)星發(fā)射信號，然后再由同步衛(wèi)星將信號發(fā)送到地面接收站，某時刻二者相距最遠，從此刻開始，在一晝夜的時間內(nèi)，接收站共接收到信號的次數(shù)為 ( )

A.4次 B.6次

C.7次 D.8次

四、利用一定時間內(nèi)相遇次數(shù)求公轉(zhuǎn)周期

如果兩個行星開始距離最近即相遇，若已知二者在一定時間內(nèi)相遇的次數(shù)n，則運動較快的行星比運動較慢的行星多轉(zhuǎn)n周，即多轉(zhuǎn)過2nπ的角度，由此列方程可求出兩個行星的周期關(guān)系，再應(yīng)用開普勒第三定律還可求出二者運動軌道的半徑之比。

【例6】某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓。每過N年，該行星會運行到日地連線的延長線上，如圖4所示。該行星與地球的公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為 ( )