數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基本考慮

簡(jiǎn)志洪

波利亞說(shuō)：掌握數(shù)學(xué)意味著什么？就是“加強(qiáng)解題的訓(xùn)練”。教師最重要的任務(wù)之一是幫助學(xué)生，對(duì)學(xué)生應(yīng)當(dāng)設(shè)身處地弄清他們正在想什么，并且提出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)產(chǎn)生的問(wèn)題，或者指出一個(gè)學(xué)生自己可能會(huì)想出來(lái)的步驟。 解一道題，就像建一所房子，必須選擇合適材料，但光有材料還不夠，一堆石頭畢竟還不是房子，要構(gòu)造起房子，即構(gòu)造出解，還要把收集到的各個(gè)部分組織在一起，使它們成為一個(gè)有意義的整體。那么，這種“把有關(guān)條款有目的地聯(lián)系起來(lái)”的活動(dòng)，就是“組織”。容易看出，解題過(guò)程主要就是由動(dòng)員和組織這樣兩種活動(dòng)組成的。而解題教學(xué)中，解題是最基本的活動(dòng)方式，教師要教會(huì)學(xué)生解題方法，提升其解題能力。下面結(jié)合本人多年的教學(xué)實(shí)踐，淺談在解題教學(xué)中提高學(xué)生解題能力的一些做法。

一、辨認(rèn)與回憶

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，所積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過(guò)加工，會(huì)得到典型結(jié)構(gòu)和重要類(lèi)型，這就是模式，將其有意識(shí)記憶下來(lái)，并做有目的的簡(jiǎn)單編碼，當(dāng)遇到新問(wèn)題時(shí)，我們辨認(rèn)它屬于哪一類(lèi)基本模式，便能通過(guò)聯(lián)想起已解決過(guò)的問(wèn)題來(lái)解新的問(wèn)題。

案例1. 在《多邊形的內(nèi)角和定理與外角和（1）》學(xué)習(xí)多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，我是這樣設(shè)計(jì)題組讓學(xué)生自主探究的：

題組一：1. 三角形和四邊形的內(nèi)角和分別為多少？四邊形內(nèi)角和是如何探求的？（轉(zhuǎn)化為三角形）那么，五邊形內(nèi)角和你會(huì)探索求嗎？六邊形、七邊形……n邊形內(nèi)角和又是多少呢？2. 從四邊形內(nèi)角和的探求方法，能給你什么啟發(fā)呢？（轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和）五邊形內(nèi)角和能否轉(zhuǎn)化為三角形求解？數(shù)目是多少？六邊形……n邊形呢？

題組二：1. 你能否用列表的方式給出多邊形內(nèi)角和與它們邊數(shù)、分割的三角形的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系？從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？猜一猜n邊形內(nèi)角和有何結(jié)論？2. n邊形內(nèi)角和=n×180°-360°，你能設(shè)計(jì)一個(gè)幾何圖形來(lái)解釋嗎？對(duì)于n邊形內(nèi)角和=（n-1）180°-180°，又能作怎樣的幾何解釋呢？

以上在解題教學(xué)時(shí)，首先我指導(dǎo)學(xué)生辨認(rèn)當(dāng)前問(wèn)題中所熟悉的特征或元素，其次指導(dǎo)學(xué)生回憶與這些特征或元素有關(guān)的定義、定理、概念和其他知識(shí)，回憶曾經(jīng)解過(guò)的有相同或類(lèi)似特征的問(wèn)題、解決它的方法和所涉及的知識(shí)。在這里，我不斷提問(wèn)學(xué)生：你以前見(jiàn)過(guò)嗎？你是否見(jiàn)過(guò)相同的問(wèn)題而形式稍有不同？你是否見(jiàn)過(guò)與此有關(guān)的問(wèn)題呢？你有沒(méi)有具有相同未知量的問(wèn)題，尤其是過(guò)去解過(guò)的題呢？這里有一個(gè)與當(dāng)前問(wèn)題有關(guān)且已解決的問(wèn)題，你能利用它的結(jié)果或方法嗎？

二、充實(shí)與重置

在教學(xué)中，我常常通過(guò)典型題目及其變式將解題思維過(guò)程精心設(shè)計(jì)成一個(gè)符合學(xué)生認(rèn)知特征特點(diǎn)的、帶有枝杈的思維過(guò)程，以利于學(xué)生認(rèn)知的發(fā)展和知識(shí)的生成。當(dāng)回憶出來(lái)的知識(shí)材料與問(wèn)題之間找不到直接的聯(lián)系，就需要在它們之間牽線(xiàn)搭橋，引入輔助內(nèi)容，以使問(wèn)題更為完整明朗。這種解題思維活動(dòng)就是“充實(shí)”。

案例2. 在《角平分線(xiàn)》學(xué)習(xí)中，我是這樣對(duì)典型題目分析和拓展的：

例：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，DE⊥AB，垂足為E.

（1）已知CD=4 cm，求AC的長(zhǎng)；（2）求證：AB=AC+CD.

之后我設(shè)計(jì)了兩道變式與拓展題：變式1：增設(shè)第3問(wèn)：已知AC=4，求CD的長(zhǎng).變式2：已知：如上圖，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∠BAC的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB，垂足為E。若AB=18，求△BDE的周長(zhǎng)。

三、分析與反思

解題心理規(guī)律告訴我們，解題者在解題決策過(guò)程中可能百思不得其解，多次受阻，此時(shí)的思維具有很大直覺(jué)性，可能顧及不到對(duì)自己思維過(guò)程的分析整理。所以，解題后要通過(guò)反省，對(duì)解題方法和解題反映出來(lái)的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行概括，教師可精心設(shè)計(jì)練習(xí)，引發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)解題獲得規(guī)律性的深化理解。

例如《平行四邊形的判定》，學(xué)習(xí)完P(guān)144例2后引例后，我設(shè)計(jì)了一道這樣的題目：

案例3. 在平行四邊形ABCD中，AC、BD相交于O點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為AO、CO的中點(diǎn)，試說(shuō)明：

（1）OE=OF；

（2）四邊形DEBF是平行四邊形。

（3）如果E、F點(diǎn)分別在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)（如圖2），且滿(mǎn)足AE=CF，上述結(jié)論仍然成立嗎？

小結(jié)：上述練習(xí)環(huán)節(jié)中，我在新舊方法的聯(lián)結(jié)點(diǎn)上巧妙設(shè)問(wèn)，激發(fā)學(xué)生探索新方法的興趣和情感，追溯解題決策時(shí)的念頭及頓悟是怎樣產(chǎn)生的？問(wèn)題解決中用到哪些數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)思想？能否將這些方法用于其他問(wèn)題的解決中去？從而發(fā)展學(xué)生的思維能力。

四、遷移與延伸

在教學(xué)中，往往出現(xiàn)學(xué)生當(dāng)時(shí)聽(tīng)懂了，但是課后解題，特別是遇到新題就無(wú)所適從，因此，我常常課本題后設(shè)計(jì)遷移性和延伸性習(xí)題，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，積極探究數(shù)學(xué)問(wèn)題，從問(wèn)題中真正領(lǐng)悟解題方法。我認(rèn)為，解題教學(xué)中，教師要主動(dòng)創(chuàng)造條件培養(yǎng)學(xué)生的探索精神、求異思維和非常規(guī)想象等。

例如：在《有理數(shù)》課后布置這樣一道題目：案例5（七上改編）數(shù)學(xué)分類(lèi)思想就是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，將其分成幾個(gè)不同種類(lèi)的一種數(shù)學(xué)思想；分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)往往是根據(jù)不同的實(shí)際需要來(lái)確定。例如有理數(shù)的學(xué)習(xí)，我們把有理數(shù)分為：正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)、零。

（1）請(qǐng)你按照這一分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，把有理數(shù)-、+（-2）、5.2、|-8|、+25%、-（-）、-32、0、8、-5、-3.進(jìn)行分類(lèi)：正有理數(shù)：{ }；負(fù)有理數(shù)：{ }

（2）請(qǐng)你重新給定一個(gè)分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，并按照你所確定標(biāo)準(zhǔn)把問(wèn)題（1）中有理數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸?lèi)。

（3）你會(huì)“二十四點(diǎn)”游戲嗎？請(qǐng)你在（1）的有理數(shù)中選取其中四個(gè)，運(yùn)用 “二十四點(diǎn)” 游戲規(guī)則，列出一個(gè)算式，并驗(yàn)證其結(jié)果是否等于24。

因?yàn)樵跀?shù)學(xué)解題學(xué)習(xí)中，學(xué)生主要的任務(wù)并不是解題，而是學(xué)習(xí)解題，因此教師要關(guān)注學(xué)生的“學(xué)解”，“學(xué)解”最有效的方法是“在解題中學(xué)解題”，即在盡可能不提供現(xiàn)成結(jié)論的前提下，親身獨(dú)立地進(jìn)行數(shù)學(xué)解題活動(dòng)。這就要求教師在進(jìn)行解題設(shè)計(jì)時(shí)，稚化自己的思維，有意識(shí)到與學(xué)生相仿的思維態(tài)勢(shì)，通過(guò)心理?yè)Q位自我約束和監(jiān)控，使教學(xué)設(shè)計(jì)中呈現(xiàn)的解題過(guò)程更具體、更完整，更貼近學(xué)生實(shí)際，這樣，通過(guò)解題教學(xué)才更有利于學(xué)生個(gè)體知識(shí)的建構(gòu)與生成，把學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力，從而提高解題能力，達(dá)到提高學(xué)習(xí)成績(jī)的效果。

責(zé)任編輯徐國(guó)堅(jiān)