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    并鏈式非完整機械臂機構設計及運動規(guī)劃

    2018-07-19 07:33:28冷麗姣譚躍剛錢冠杰
    機械設計與制造 2018年7期
    關鍵詞:位形鏈式摩擦

    冷麗姣,譚躍剛,李 亮,錢冠杰

    (1.武漢理工大學 機電學院,湖北 武漢 430070;2.寶雞文理學院 機械工程學院,陜西 寶雞 721007)

    1 引言

    在分析力學中,非完整系統(tǒng)是指其約束方程中包含有坐標對時間的導數(shù)的系統(tǒng),即其約束限制系統(tǒng)的速度或加速度[1]。這類非完整機械系統(tǒng)的自由度數(shù)目少于其位形空間維數(shù),表現(xiàn)出欠驅動特性,因此可用較少的控制輸入來確定其在較多空間維數(shù)的位形空間內的運動。驅動裝置的減少有利于設計出結構更緊湊,重量更輕的多關節(jié)機械臂,因此非完整機械臂的研究對開發(fā)輕小型機器人、醫(yī)療機器人、多指靈巧手等有重要的實際意義。

    典型的非完整機器人系統(tǒng)有輪式移動機器人、宇宙機器人、體操機器人、水下機器人等,這些機器人系統(tǒng)具有的非完整性和非線性,確定了其運動控制的特點?,F(xiàn)有的非完整機械系統(tǒng)研究主要集中于非完整力學以及對現(xiàn)有的非完整系統(tǒng)的路徑規(guī)劃和控制,對新型非完整機器人系統(tǒng)的設計與開發(fā)在國內外較為少見。

    河村隆基于動物貓在空中下落過程的運動特性分析,提出了一種具有非完整約束性的機器貓[2],因其模型在空中下落過程中可以保持角動量守恒,從而使得機器貓具有非完整特性。文獻[3]利用摩擦球矢量分解合成機構開發(fā)了一類二維空間內的非完整機器人,這種機器人模型可以轉換成鏈式結構,從而利用鏈式系統(tǒng)的運動控制方法實現(xiàn)對其運動控制。文獻[4-5]中提出了移動機器人路徑規(guī)劃局部最小問題的解決方案;文獻[6]中給出了一種RRT(快速搜索隨機數(shù)算)方法用于解決移動機器人的路徑規(guī)劃問題,并引入目標偏向的思想,克服了以往RRT計算代價較高的問題。

    這里是采用摩擦圓盤運動合成分解機構作為關節(jié)傳動部件,并采用雙萬向節(jié)以并鏈方式為各個關節(jié)傳遞運動,提出了一種僅由兩個控制電機驅動的并鏈式四關節(jié)非完整機械臂。該系統(tǒng)結構簡單緊湊,并表現(xiàn)出非完整約束性,為多關節(jié)機械臂的驅動單元數(shù)與手臂質量相沖突的問題提供了有效的解決方案。通過對其運動學分析和模型的鏈式變換,給出了非完整性和可控性的證明。在鏈式空間運用多項式輸入法對其進行運動規(guī)劃,得到一條可行路徑軌跡,再通過鏈式逆變換將軌跡映射回關節(jié)空間,完成關節(jié)空間內從初始位形至目標位形的運動控制。

    2 并鏈式非完整機械臂機構

    2.1 摩擦圓盤運動原理

    在下圖1(a)中,當半徑為r的摩擦輪繞I軸以角速度wi轉動時,摩擦輪與轉盤之間只有純滾動,則轉盤將以一定的角速度wo繞O軸轉動。摩擦輪與轉盤相互垂直,在此前提下,摩擦輪還可以繞自身軸心與兩者接觸點M的連線作相對于摩擦盤的旋轉。當旋轉過夾角α時,兩者在接觸點M處的線速度矢量圖,如圖 1(b)所示。

    圖1 摩擦圓盤運動合成分解機構Fig.1 Friction Aisc Movement Decomposition Mechanism

    則存在下面的關系式:

    可得:

    式中:R—摩擦輪與轉盤的接觸線M到轉盤中心的距離;vi—摩擦輪在接觸點處的線速度;vo—轉盤在接觸點處的線速度。

    從關系式(1)可以看出,摩擦輪與轉盤之間的傳動比可以通過調節(jié)α夾角來調整,因此定義夾角α為傳動偏角。

    摩擦輪在轉盤上因滾動產(chǎn)生的相對運動是由相對位形變化而確定的,依據(jù)這種相對位形可變的兩摩擦圓盤,設計的摩擦圓盤運動合成分解機構具有非完整約束特性[7]。

    2.2 并鏈式非完整機械臂機構設計

    在機械臂的每個關節(jié)處設置一組摩擦圓盤機構,其中,摩擦輪與前一關節(jié)固連,轉盤與后一關節(jié)固連,當關節(jié)角變化時,也就是摩擦輪與轉盤之間的夾角變化,兩者的傳動比也隨之變化。建立的并鏈式四關節(jié)機械臂機構模型圖,如圖2所示。

    圖2 并鏈式四關節(jié)機械臂機構Fig.2 Structure of Double-Chain Four Joints Manipulator

    電機2的轉動直接驅動關節(jié)1繞軸線轉過角度θ1,由于摩擦輪1通過側板與機架固定,而轉盤1固定在第一關節(jié),所以電機2就控制了關節(jié)1的轉角θ1,并且相當于在摩擦輪與轉盤的摩擦傳動中加入了一個θ1的傳動偏角。電機1一方面通過齒輪來驅動摩擦輪,摩擦輪因滾動摩擦帶動轉盤轉動,轉盤經(jīng)同步帶帶動關節(jié)2轉動角度θ2,與此同時在關節(jié)2處的摩擦輪與轉盤之間加入一個θ2的傳動偏角;另一方面通過雙萬向節(jié)將能量傳遞到后面的關節(jié),后面的關節(jié)傳動依次類推。因此實現(xiàn)了兩個電機驅動四個關節(jié)的目的。并鏈式機械臂的運動示意圖,如圖3所示。

    圖3 并鏈式四關節(jié)非完整機械臂傳動示意圖Fig.3 Transmission Sketch of Double-Chain Four Joints Manipulator

    在并鏈式機械臂機構的設計中,以下幾個問題值得注意:

    (1)摩擦輪與轉盤之間應具有足夠的摩擦力,否則就不能有效、可靠、準確地進行運動傳遞。可以通過選用摩擦系數(shù)大的材料和適當增加接觸處的正壓力來保證足夠的摩擦力。

    (2)保證摩擦輪與轉盤的接觸點位于關節(jié)軸線上,如圖4(a)所示。若沒有達到位置要求,當關節(jié)轉動一定角度時,摩擦輪就會在轉盤上產(chǎn)生滑動,導致摩擦輪與轉盤的接觸點到轉盤中心的距離發(fā)生變化,也就是式(1)中的R值變化,這樣不僅會影響正常的傳動,也使得傳動比無法計算。解決方法是在提高零件加工精度的同時提高其安裝精度。

    圖4 摩擦輪與轉盤接觸點位置、雙萬向節(jié)結構示意圖Fit.4 The Position of Contact Point of Friction Wheel and Rotary Table and the Diagram of Double Universal Joint

    (3)雙萬向節(jié)的輸入軸應與輸出軸具有相等的轉動角速度,即要求雙萬向節(jié)的中心線OO應與關節(jié)軸線一致,并且為補償由于機械臂關節(jié)的轉動所帶來的輸入軸與輸出軸之間的軸向距離變化,中間軸應做成可伸縮的形式,如圖4(b)所示。

    (4)為保證結構的緊湊性、輕量化,在滿足強度、剛度要求下,連桿外圍采用大圓角和中心部位挖槽處理。在水平方向上,雙萬向節(jié)組成的能量主傳遞鏈,和摩擦輪、轉盤組成的運動傳動鏈距離機械臂邊沿距離大致相等,且約等于兩傳動鏈之間的間距,以及連桿上下對稱布置,使得機械臂的質心接近其幾何中心,有利于提高其運動性能。

    3 運動學特性分析及鏈式變換

    3.1 運動學建模

    四關節(jié)非完整機械臂的位形空間由關節(jié)轉角θi(i=1,2,3,4)和摩擦輪的角位移φ確定,故定義系統(tǒng)的廣義坐標矢量為q=[q1,q2,q3,q4,q5]=[φ,θ1,θ2,θ3,θ4],而控制輸入僅有兩個電機的角速度u1和u2,說明機械臂系統(tǒng)可以由兩個控制輸入來控制在較多維數(shù)的位形空間內運動。根據(jù)運動關系可以推導出并鏈式四關節(jié)機械臂的運動學模型:

    式中:r—摩擦輪半徑值,R與上文定義相同。

    3.2 可控性分析

    式(2)是無漂移的控制系統(tǒng)形式,此類無漂移仿射系統(tǒng)的可達空間是由分布 Δ(q)=span{p1,p2}張成的,根據(jù)系統(tǒng)的可控性條件,如果無漂移仿射系統(tǒng)的可達分布 Δp(q)=span{p1,p2,[p1,p],[p,[p,p]],…}滿秩,則該系統(tǒng)是可控的[3]。

    2112

    式中:[p1,p2]—對向量 p1,p2的李括號運算;[p1,[p1,p2]]—對向量 p1,[p1,p2]的李括號運算。即有

    則并鏈式非完整四關節(jié)機械臂的可達空間可表示為:=Δp(q)=span{p1,p2,[p1,p2],[p1,[p1,p2]],

    從式(3)可以看出,當 sinθ1≠0,sinθ2≠0,且 sinθ3≠0 時,即θi≠0(i=1,2,3),則有 dimΔp(q)=5,此時矩陣的秩與位形空間維數(shù)相等,滿足可控秩條件。也就是說當并鏈式四關節(jié)機械臂的工作空間滿足θi≠0(i=1,2,3)時,該系統(tǒng)在五維可達位形空間內具有非完整特性,并且是可控的,可以通過兩個電機來控制其五個位形變量的運動。

    3.3 鏈式變換特性分析

    S?rdalen在研究具有n個拖掛車的輪式移動機器人系統(tǒng)時,給出了具有三角形構造的無漂移仿射系統(tǒng)鏈式變換的條件和方法[8],即:對于類似于(2)式的無漂移仿射系統(tǒng):

    若在q0的鄰域內,光滑函數(shù)?i∈{3,4,…,n},則存在微分同胚的坐標變換式和輸入變換式,使得該系統(tǒng)可以變換為鏈式系統(tǒng)。由此可知,對于該四關節(jié)非完整機械臂運動模型式(2),當 θ(ii=1,2,3)≠0時,能夠變換成鏈式結構的坐標變換式(4)和輸入變換式(5):

    4 并鏈式四關節(jié)非完整機械臂的運動規(guī)劃

    基于鏈式變換方法的運動規(guī)劃基本思路是:將系統(tǒng)的初始位形qi和目標位形qf映射成鏈式空間的初始位形zi和目標位形zf,在鏈式空間規(guī)劃出一條從初始位形zi到目標位形zf的路徑,再將規(guī)劃所得的路徑通過鏈式逆變換到關節(jié)空間。目前針對鏈式系統(tǒng)的運動規(guī)劃方法較為成熟的有:分段常數(shù)輸入法、三角函數(shù)輸入法、多項式輸入法,相比于其它控制方法,多項式輸入法具有積分運算簡單,且能控制各變量沿光滑的軌跡運動至目標位形的優(yōu)點,兩個控制輸入隨時間變化的多項式表達式為:

    運動規(guī)劃的目的就是尋找有界的控制輸入u(t),使得系統(tǒng)從初始位形zi,經(jīng)過規(guī)定的時間T到達目標位形zf,即滿足等式約束:

    結合(6)式對(5)式積分可得各變量的終止位置,分別是關于 b1、b2、b3、b4的表達式:

    定義 b=[b1,b2,b3,b4]T,F(xiàn)=[f1,f2,f3,f4]T,給定時間 T 值,將(8)式代入(7)式中可得到關于 b1、b2、b3、b4的非線性方程組,寫成牛頓迭代格式有

    式中:F′(b)—F(b)的雅克比矩陣;[F′(b)]+—F′(b)的偽逆。

    給定初始值b(0)之后就可以通過迭代式(9)在MATLAB中計算得到b,將b代入式(8)得到zi(t)的軌跡。將(4)式進行鏈式逆變換得到各關節(jié)角位移關于z變量的表達式如下:

    通過式(10)得到四個關節(jié)角位移的運動曲線。

    5 四關節(jié)非完整機械臂的運動分析

    圖5 鏈式空間中z變量、關節(jié)空間中各關節(jié)的運動軌跡示意圖Fig.5 The Diagram of the Motion Trajectory of the z Variables in the Chain Space and the Joints in the Joint Space

    在 T=15s時刻,θ1=15.475174°,θ2=14.991161°,θ3=15.000081°,

    θ4-=14.999982°。目標位形誤差 eθ1=4.7517%,eθ2=0.08849%,eθ3=0.0008%,eθ4=0.00018%。

    圖6 鏈式空間中z變量、關節(jié)空間中各關節(jié)的運動軌跡Fig.6 The Motion Trajectory of z Variables and Joints in the Chain Space

    在 T=20s 時刻,θ1=13.8563°,θ2=14.9868°,θ3=14.99997°,θ4=14.99997°。目標位形誤差 eθ1=7.6251%,eθ2=0.08784%,eθ3=0.001275%,eθ4=0.0001636%。從兩組不同實驗數(shù)據(jù)的目標位形誤差結果可以看出,四關節(jié)非完整機械臂的后面3個關節(jié)在規(guī)定的時間內從初始位形能夠準確地運動至目標位形,而第一個關節(jié)出現(xiàn)的誤差較大,是因為其運動軌跡鏈式逆變換時函數(shù)關系復雜,與其他關節(jié)運動耦合程度高,求解復雜而容易產(chǎn)生累積誤差。

    6 結論

    基于摩擦圓盤運動分解合成機構,提出的一種新型并鏈式四關節(jié)非完整機械臂,結構簡單,通過對運動模型的分析表明其具有非完整性和可控性,且運動模型能夠轉換成鏈式系統(tǒng),并通過在鏈式系統(tǒng)中運用多項式輸入法進行運動規(guī)劃,機械臂各關節(jié)能在規(guī)定時間內準確地運動至目標位形,實現(xiàn)了兩個電機控制多關節(jié),表現(xiàn)出欠驅動特性。由于當鏈式空間的運動軌跡通過鏈式逆變換回關節(jié)空間時,會出現(xiàn)逆變換的關節(jié)角位移無實解的情況,即出現(xiàn)奇異位形,所以下一步工作將針對于鏈式逆變換奇異位形的規(guī)避展開,可以通過增加對z變量的約束來保證鏈式逆變換有解來實現(xiàn)。

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