微分與積分概念的非標準陳述

高婷婷，張明會

隨著數(shù)理邏輯的發(fā)展，特別是元數(shù)學、證明論、模型論的異軍突起，用數(shù)理邏輯的方法研究數(shù)學基礎問題取得了前所未有的進展，一大批數(shù)理邏輯學家投身于不用極限方法，而是改用數(shù)理邏輯方法建立分析學的奠基工作，他們利用數(shù)理邏輯的方法，重新研究了牛頓-萊布尼茨方法中引進的無窮小元素，特別是本世紀60年代的美國數(shù)學家魯濱遜，從建立在實數(shù)系R上的數(shù)學命題出發(fā)［1］，應用本世紀40年代在嚴格邏輯基礎上建立的緊致性定理：“對形式語言中的任何一個公式集或者命題集A，若A得任何一個有窮子集A′皆有模型，則A必有模型”來研究無窮小量，對無窮小量的存在用數(shù)學方法給出了嚴格的證明，將標準實數(shù)域R擴充為包含有“無限小”和“無限大”元素的非標準實數(shù)域R*，然后在R*上重新展開微積分的討論，建立其全部數(shù)學分析理論，人們稱之為非標準分析.

借助于數(shù)理邏輯形式語言可以嚴格地建立“轉換原理”，其結論是：在一階語言的框架內(nèi)所表達的數(shù)學分析性質，在R和R*內(nèi)是同真同假的.具體地說，就是當形式語言中兩次的變化范圍僅限于實數(shù)時，可以形式地把R和R*上的陳述互相轉換而不改變其真假性.

1 導數(shù)與微分

給定標準實值函數(shù) f:R→R，取定一點x0∈R ，在 R*上討論，令 ε為非零無限?。?］.如果式的標準部分存在且為一有限函數(shù).即，則稱 f(x)在x0點可微，有限數(shù) f′(x0)就叫 f(x)在 x0點的導數(shù).

上述定義是構造性的，即只要對此式讓無限小元素參與通常數(shù)的計算，如果運算結果的標準部分存在，就得出 f在x0點的導數(shù)，從形式上說這一定義完全與牛頓的流數(shù)術相同.但是其運算過程是建立在無限小元素存在的嚴密邏輯基礎上的，不會出現(xiàn)悖論.顯然有下述命題.

命題1 標準實值函數(shù) f(x)在x0∈R有導數(shù)的充要條件是

例1 設 f(x)=x2+3x ，求 f′(x).

微分的定義如下：記Δy=f(x+Δx)-f(x)為相應于該變量Δx的函數(shù)y=f(x)的該變量，稱dy=f′(x)Δx為函數(shù) f(x)在 x點處對應與Δx的微分，dx=Δx為自變量 x的微分［2］，當dx≠0時，則，但是，即f′(x) 是無限小，可得 Δy=f′(x)Δx+ εΔx ，即Δy=dy+εΔx.

定理1 設 y=f(x)，對于 x∈R ，f′(x)存在，且Δx為無限小，則Δy和dy都是無限小，而且Δy=dy+εΔx.其中，ε為依賴于 x和Δx的無限小.

2 積分的非標準陳述

2.1 等和原理

等和原理是標準分析中的杜哈美原理在非標準分析里的拓廣，在處理無限小求和問題中非常有用［3］.為了下面的應用僅列出其內(nèi)容如下.

設在?R上有兩個正無限小數(shù)列其各對應項間滿θω=l（有 限 數(shù)），又 設 { r1,r2,???,rω}和是兩個有界數(shù)列，各項之間有關系，那么有成 立［4］，即，特 別 地 ，當時，上述關系式亦成立，下面在積分概念的應用中就使用此特殊情形.

2.2 積分概念的陳述

為了能抓住問題的主要方面，顯示出非標準分析在處理諸如積分這類問題時的特色，即用“有限結構”來逼近標準無限結構，下面僅以連續(xù)函數(shù)為例引入積分概念.

設給定一連續(xù)函數(shù) f:[a ,b]→R，我們在?R上來考慮問題.任意取區(qū)間[a,b]的無限小劃分，其 中 ，并且 Δxj=(xj-xj-1)? 0(j=1,2,…,ω).在任意選定ξ={ξj}滿足則是唯一確定的，即它和區(qū)間的無限小劃分Δω及點ξj的選取方式無關，這個唯一確定的數(shù)值，就定義為 f在[a,b]上的定積分［5］，即

上述積分存在的唯一性可以用等和原理證明（參見徐利治等著《現(xiàn)代無窮小分析導引》）.我們應特別注意這種“實無限小分劃結構”的數(shù)學模式，為描述自然界中的連續(xù)性，提供了一個新的突變式的手段.不需要像標準分析中那樣，在那里積分定義是通過有限積分和就所控制的極限過程而完成的.

2.3 積分基本定理

牛頓-萊布尼茨公式［6］：設 F(x)是 f(x)的一個原函數(shù)，即F′(x)=f(x)(a≤x≤b)，則F(b)-F(a).

證明 因為積分值是唯一確定的，可以取一個等距的無限小分劃方式Δω，其中xj=a+(j/ω)(b-a)(j=1,2,???,ω).記 xj-xj-1=(b-a)/ω=dx，于是，根據(jù)導數(shù)的定義并借助于等和原理［7］，便得到

3 結論

微分和積分的非標準陳述研究，一方面，讓教師在講授中能掌握其要領，在教學中融會貫通，使學生在學習中能正確領會，尤其把握借助于微分和積分兩個概念的非標準陳述，利用熟知的例題和定理加以證明討論，把微分和積分概念進行了全新闡述和解釋，對教學更有促進；另一方面，作為研究的一個新途徑，通過研究開辟新的領域，使之與教學相長、以研促教、以教促改.