賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間的某些特殊可補(bǔ)子空間的存在條件

段麗芬，莊彩彩，高 晶

對(duì)于賦Luxemburg范數(shù)和Orlicz范數(shù)的Orlicz函數(shù)空間中存在與l∞，c0，l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間的條件均已獲得［1-2］，本文根據(jù)廣義Orlicz范數(shù)的特征，給出了賦廣義Orlicz范數(shù)Orlicz函數(shù)空間中存在與l∞，c0，l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間的條件.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1［3］設(shè) M 是Banach空間 X 的閉子

定義2［2］設(shè) X 和Y 是Banach空間，如果對(duì)任給ε＞0，X中都存在與Y同構(gòu)的可補(bǔ)子空間X0，使得其同構(gòu)映射T滿足1+ε，則稱Y與X的可補(bǔ)子空間X0幾乎等距同構(gòu).

定義3［2］若偶函數(shù)M是非負(fù)連續(xù)凸函數(shù)，且u=0?M(u)=0，則稱映射 M:R→[0,∞)為Orlicz函數(shù).稱滿足的Orlicz函數(shù)為N-函數(shù).

設(shè)(G,Σ,μ)為一無(wú)原子測(cè)度空間，L0表示定義在G上的所有可測(cè)實(shí)函數(shù)構(gòu)成的集合.對(duì)任意 x∈L0，定義 ρM(x)=∫GM(x(t))dt為 x(t)關(guān)于M的模.

M∈Δ2指如存在常數(shù) k≥2和 x0＞0，當(dāng)時(shí) ，滿 足 M(2x)≤kM(x).M∈?2?N∈Δ2.

2 幾個(gè)引理

引理1［2］（詹森不等式）設(shè) M 是 N 一函數(shù)，x∈L*M，且ρM(x)＜∞，則

引理2 設(shè)M是N一函數(shù)，M?Δ2，則對(duì)任給 ε∈(0,1)，都存在 xn=unχGn∈L*M，其中un＞0, μGn＞0,Gi?Gj=Φ(i≠j),n=1,2,… ，使得，且對(duì)任何1＜p＜∞，都有

證明 i）因 M?Δ2，存在 un＞0,un↑∞ 及具有正測(cè)度兩兩互不相交的子集列{Gn}，使得

記 xn=unχGn，則

3 主要結(jié)果

定理1 設(shè)M是N一函數(shù)，M?Δ2，則對(duì)任何1＜p＜∞，有

i）LM,p中都存在與l∞幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

ii）EM,p中都存在與c0幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

證明 i）設(shè)ε∈(0,1)，xn與引理2中所取相同，定義，及T:l∞→X,使得顯然 T是同構(gòu)映射，且由引理2之ii）知.下面證明 X是 LM,p中的可補(bǔ)子空間.

事實(shí)上，定義 P:LM,p→LM,p，使得

顯然P是線性算子，且P2=P.現(xiàn)只需證明P是有界的且PLM,p=X即可.

因?yàn)閷?duì)任意k＞0及 x∈LM,p，利用引理1得

現(xiàn)證明PLM,p=X.因?qū)θ魏?x∈X，都有Px=x ，說(shuō)明 PLM,p?X.另一方面，設(shè)則 P(x)=.故

ii）將上面i）證明過(guò)程中的 X換成 X0=，則 X?E.相應(yīng)T 定0M,p義為T:c0→X0,使得顯然T同樣是同構(gòu)映射，1+2ε.在證明X0是EM,p中的可補(bǔ)子空間時(shí)，只要注意到，則由不等式（1）可得從 而

定理2 設(shè)M是N一函數(shù)，則對(duì)任何1＜p＜∞，下列命題等價(jià)：

i）M??2.

ii）LM,p中都存在與l∞幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

iii）EM,p中都存在與c0幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

證明 根據(jù)定理1，只需證明iii）? i）即可.由iii）可知，LM,p中存在子空間與c0拓?fù)渫瑯?gòu)，利用范數(shù)的等價(jià)性，LM存在子空間與c0拓?fù)渫瑯?gòu)，結(jié)合文獻(xiàn)［1］定理1.90立即可得結(jié)論.

定理3 設(shè)M是N一函數(shù)，M??2，則對(duì)任何1＜p＜∞，LM,p和EM,p中都存在與l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

證明 設(shè) ε∈(0,1)，利用引理 2，存在yn=vnχGn∈L*N，其中 vn＞0,μGn＞0,Gi?Gj=?(i≠j),n=1,2,…，使得，且對(duì)任何1＜p＜∞，都有.因 yn∈EN,q，利用引理3，存在xn=unχGn(un＞0)，使得＜xn,yn＞ =unvnμGn.置則對(duì)任意，都有.利用文獻(xiàn)［4］中引理2立即可得，x∈EM.這說(shuō)明X?EM.

定義T:l1→X,使得.顯然T是同構(gòu)映射，且，即‖T‖≤1.另一方面，

事實(shí)上，定義P:LM,p→LM,p，使得 P(x)=

定理1中已經(jīng)證明P是有界線性算子，且P2=P，PEM,p?X，現(xiàn)只需證明PLM,p?X即可.

定理4 設(shè)M是N一函數(shù)，則對(duì)任何1＜p＜∞，下列命題等價(jià)：

i）M??2.

ii）LM,p中都存在與l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

iii）EM,p中都存在與l1幾乎等距同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.

證明 結(jié)合定理3，只需證明ii）?i）即可.因?yàn)長(zhǎng)M,p中存在與l1同構(gòu)的可補(bǔ)子空間的充要條件是其共軛空間L′M,p=LN,q⊕F中存在與c0同構(gòu)的可補(bǔ)子空間.利用定理1可知，當(dāng)M∈?2，即N∈Δ2時(shí)，LN,q中不存在與c0同構(gòu)的可補(bǔ)子空間，結(jié)合文獻(xiàn)［1］中引理4和定理5，結(jié)論得證.