基于Copula函數(shù)的輸水工程徑流豐枯補(bǔ)償特性研究

王 妍，王 強(qiáng)

（1.遼寧省白石水庫(kù)管理局，遼寧朝陽(yáng) 122000；2.中水東北勘測(cè)設(shè)計(jì)研究有限責(zé)任公司，吉林長(zhǎng)春 130021）

0 引言

跨流域調(diào)水工程是解決我國(guó)水資源時(shí)空分布不均勻、實(shí)現(xiàn)水資源優(yōu)化配置的重要工程措施，通過徑流補(bǔ)償可提高受水地區(qū)的供水保證率，保障生產(chǎn)、生活、生態(tài)用水安全。徑流補(bǔ)償特性分析的實(shí)質(zhì)是根據(jù)不同流域（水文區(qū)）徑流或降雨的豐枯遭遇情況，分析各流域之間的補(bǔ)償性能，為流域內(nèi)水利工程的規(guī)劃設(shè)計(jì)以及水資源的聯(lián)合開發(fā)利用提供重要的科學(xué)依據(jù)[1]。而豐枯遭遇問題在數(shù)學(xué)上屬于多維聯(lián)合概率和條件概率問題[2]。在水文領(lǐng)域，不同水文事件遭遇和聯(lián)合分布概率可描述為二維聯(lián)合概率分布問題。目前，許多學(xué)者提出了許多具有代表性的二維聯(lián)合概率分布模型用于求解兩變量的水文聯(lián)合分布問題，包括二維正態(tài)分布模型、二維對(duì)數(shù)正態(tài)分布模型、混合Gumbel模型、二維P-III分布模型以及由二元Copula函數(shù)建立的聯(lián)合分布模型等[3-5]。其中基于二元Copula函數(shù)的聯(lián)合分布模型可以描述變量之間非線性、非對(duì)稱的相關(guān)關(guān)系，具有模型簡(jiǎn)便、適用性強(qiáng)的特點(diǎn)[6]，數(shù)學(xué)意義明確，在條件概率計(jì)算等方面優(yōu)于傳統(tǒng)統(tǒng)計(jì)法[7]，在徑流豐枯遭遇研究中得到了廣泛的應(yīng)用。因此，本文利用Copula函數(shù)構(gòu)建了大伙房水庫(kù)輸水工程水源區(qū)和受水區(qū)徑流量的二維聯(lián)合分布模型,計(jì)算豐枯遭遇的概率組合，驗(yàn)證輸水工程的調(diào)水保證率，為工程調(diào)度決策提供技術(shù)參考。

1 工程背景

大伙房水庫(kù)輸水工程由桓仁水庫(kù)發(fā)電棄水，通過西江和鳳鳴兩座電站調(diào)節(jié)，在鳳鳴庫(kù)區(qū)取水，再通過82 km隧洞，調(diào)水到大伙房水庫(kù)上游蘇子河，流入到大伙房水庫(kù)。通過大伙房水庫(kù)反調(diào)節(jié)后，供水到沈陽(yáng)、大連、鞍山、撫順、營(yíng)口、遼陽(yáng)、盤錦等7座城市及鞍鋼、遼河油田等大型企業(yè)，設(shè)計(jì)年調(diào)水量21億m3。

研究跨流域調(diào)水工程水源區(qū)桓仁水庫(kù)和受水區(qū)大伙房水庫(kù)徑流補(bǔ)償特性分析，計(jì)算現(xiàn)狀水平年（2015年）供水情況下的調(diào)水保證率及設(shè)計(jì)調(diào)水能力情況下的調(diào)水保證率，對(duì)遼寧省中下游水庫(kù)群聯(lián)合優(yōu)化調(diào)度和區(qū)域水資源優(yōu)化配置[8]具有重要意義。本文選取桓仁水庫(kù)和大伙房水庫(kù)1970—2015年共46年實(shí)測(cè)的徑流資料進(jìn)行分析計(jì)算。

2 基于Copula函數(shù)的二維聯(lián)合分布模型

Copula函數(shù)是定義在［0，1］區(qū)間均勻分布的多維聯(lián)合分布函數(shù)，它可以將多個(gè)隨機(jī)變量的邊緣分布連接起來構(gòu)造聯(lián)合分布模型[9]，理論依據(jù)是Sklar定理[10]。本文采用的是二維Copula聯(lián)合分布模型，其理論依據(jù)可表述為：設(shè)X和Y為連續(xù)隨機(jī)變量，其邊緣分布函數(shù)分別為Fx(x)和Fy(y)，聯(lián)合分布函數(shù)為F(x ,y)，如果Fx(x)和Fy(y)連續(xù)，則存在唯一的Copula函數(shù)Cθ(u ,v)使得

式中：Cθ(u ,v)是Copula函數(shù)；θ為待定參數(shù)。

本文采用水文領(lǐng)域中經(jīng)常采用的是Archime?dean型中Clayton函數(shù)，其中τ是描述二維變量間非線性相關(guān)關(guān)系的Kendall相關(guān)系數(shù)[11]，當(dāng)τ已知時(shí)，可根據(jù)表1中τ與θ的關(guān)系來求出參數(shù)θ，其中τ可由下式計(jì)算：

式中：

本文選取Copula函數(shù)中的Clayton函數(shù)，具體表現(xiàn)形式如表1所示。

表1 Copula函數(shù)形式

2.1 徑流分布的確定

在我國(guó)水文分析中，對(duì)于單變量水文數(shù)據(jù)系列的分析常假定水文系列服從P-III型分布[12]。因此本文在構(gòu)建聯(lián)合分布模型時(shí)，隨機(jī)變量和的邊緣分布選用P-III型分布，其概率密度函數(shù)為：

式中：Γ（α）是α的伽馬函數(shù)；α，β和α0分別為P-III分布的形狀、尺度和位置參數(shù)，α＞0，β＞0，并且采用優(yōu)化適線法可估計(jì)出徑流系列的P-III型分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)。表2計(jì)算出了兩座水庫(kù)年徑流的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù)。

本文應(yīng)用copula函數(shù)構(gòu)建的二維理論聯(lián)合分布與經(jīng)驗(yàn)聯(lián)合分布擬合效果較好，相關(guān)系數(shù)超過0.99，能夠代表實(shí)際過程，并且可以有效彌補(bǔ)經(jīng)驗(yàn)分布受水文數(shù)據(jù)年限等因素限制的缺點(diǎn)，具有較強(qiáng)的適用性。擬合效果如圖1所示。

表2 大伙房與桓仁水庫(kù)入庫(kù)徑流分布參數(shù)估計(jì)結(jié)果

圖1 經(jīng)驗(yàn)頻率與理論頻率擬合效果示意圖

2.2 徑流豐枯遭遇分析

本文采用頻率分析法對(duì)徑流進(jìn)行豐枯劃分，按GB/T50095-98《水文基本術(shù)語和符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)》[13]各水庫(kù)入庫(kù)徑流劃分標(biāo)準(zhǔn)：豐水年P(guān)≤37.5%；平水年37.5%＜P≤62.5%；枯水年P(guān)＞62.5%。

根據(jù)上面所建立的二維聯(lián)合分布模型對(duì)不同水文區(qū)的徑流組合豐枯遭遇性進(jìn)行研究[14]，則兩個(gè)徑流事件和之間的豐枯遭遇情形可以分為以下9種類型：

以上9種類型又可分為豐枯同步（3種）和豐枯異步（6）兩種類型，對(duì)渾河流域和渾江徑流進(jìn)行徑流豐枯遭遇分析。

3 不同徑流頻率組合概率

通過對(duì)Copula函數(shù)聯(lián)合分布模型求解計(jì)算，τ=0.67，θ=4.56，兩個(gè)流域徑流頻率組合概率如表3所示。

表3 大伙房水庫(kù)與桓仁水庫(kù)徑流豐枯遭遇頻率 （%）

根據(jù)計(jì)算可知，大伙房水庫(kù)和桓仁水庫(kù)年徑流豐枯同步的概率是72.6%，豐枯異步的概率是27.4%；出現(xiàn)調(diào)水最不利組合大伙房和桓仁同枯時(shí)的概率是31.7%。通過計(jì)算可知，2座水庫(kù)來水頻率相近，趨勢(shì)一致性顯著[15]，正相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.94，并不利于徑流補(bǔ)償調(diào)節(jié)，因此需要進(jìn)一步驗(yàn)證調(diào)水工程的實(shí)際調(diào)水保障能力。

4 調(diào)水保證率計(jì)算分析

4.1 現(xiàn)狀水平

現(xiàn)狀水平以2015年為基準(zhǔn)年，計(jì)算桓仁水庫(kù)滿足大伙房水庫(kù)輸水工程調(diào)水需求的保證率，大伙房水庫(kù)及輸水工程年生活及工業(yè)供水量14億m3，農(nóng)業(yè)供水4億m3，年供水量18億m3以上；考慮到蒸發(fā)損失0.9億m3，年最枯徑流5億m3，大伙房水庫(kù)最大需水量約13.9億m3，根據(jù)桓仁水庫(kù)來水頻率計(jì)算，調(diào)水保證率99%以上。

4.2 設(shè)計(jì)能力

根據(jù)大伙房水庫(kù)輸水工程設(shè)計(jì)年調(diào)水量21億m3，考慮桓仁水庫(kù)蒸發(fā)滲漏損失及水庫(kù)調(diào)節(jié)運(yùn)行需要，徑流量保證22億m3以上，根據(jù)桓仁水庫(kù)來水頻率計(jì)算，調(diào)水保證率99%以上。

5 結(jié)語

本文構(gòu)建了Copula聯(lián)合分布模型，以P-III型分布為邊緣分布，并將此模型應(yīng)用于大伙房水庫(kù)輸水工程水源區(qū)桓仁水庫(kù)和受水區(qū)大伙房水庫(kù)徑流豐枯遭遇分析中，計(jì)算不同徑流頻率組合概率。計(jì)算結(jié)果表明兩個(gè)流域徑流趨勢(shì)性顯著，正相關(guān)系數(shù)達(dá)到0.94，豐枯同步概率為72.6%，對(duì)徑流補(bǔ)償調(diào)節(jié)并不有利。基于此，結(jié)合工程實(shí)際驗(yàn)證了工程的調(diào)水保障能力。在現(xiàn)狀供水水平情況下，調(diào)水保證率可達(dá)99%；設(shè)計(jì)供水能力情況下工程的調(diào)水保證率為95%，與原工程設(shè)計(jì)成果基本一致。