縮小范圍，避免討論

尤佩泉

摘要：“含參數(shù)不等式”恒成立問題是歷年高考的熱點題型，靈活多變、思辯性強。通過一題多解，對其進行探究，總結(jié)出解題的思維和方法，從而發(fā)展思維能力和思維素養(yǎng)，是學生掌握數(shù)學、學會“數(shù)學地思考”的關鍵。

關鍵詞：含參數(shù)不等式；縮小范圍

一、引例探究（浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2016屆第一次聯(lián)考21題）：

已知函數(shù)（R），若對任意 恒成立，求實數(shù)α的取值范圍.

分析：這是一道含參不等式恒成立的常見題型，對此類問題的解析常見有以下幾種解法：

解法一（分離參數(shù)法）：因為在[-2， -1]上恒成立，即在[-2，-1]上恒成立，令，則在[-2，-1]上恒小于0，所以g（x）在[-2，-1]上為減函數(shù)，g（x）max ，所以。

解法二（參數(shù)討論法）：

（1）當時，在[-2，-1]上恒成立，故f（x）在[-2， -1]上單調(diào)遞增，即。

（2）當時，令，對稱軸x=-1，則u（x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，又。

①當，即時，在[-2，-1] 上恒成立，所以f（x）在[-2，-1]單調(diào)遞增，即，不合題意。

②當時，，不合題意，舍去。綜上所述：。

解法三（縮小范圍法）：

由題意得，，即。

，因為，

所以恒成立，故f （x）在[-2，-1]上單調(diào)遞增，要使恒成立，則，解得。

二、解后反思：

第一種方法是將原不等式中的a與x進行分離，得到如 形式的不等式，再把求a的取值范圍問題轉(zhuǎn)為求g（x）的最值問題，解題思路簡單明了，這方法稱為“分離參數(shù)法”，是處理恒成立問題的常用方法。但本例求導及判斷單調(diào)性難度較大，學生不易掌握。第二種解法是通過對參數(shù)的討論，利用二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，求參數(shù)在不同范圍時函數(shù)最值，利用最值解決恒成立問題，同時體現(xiàn)分類討論的數(shù)學思想，要求學生有較高的數(shù)學思辯能力，此方法稱為“參數(shù)討論法”。第三種解法是直接從已知條件出發(fā)，根據(jù)題中所給自變量范圍，縮小參數(shù)的范圍，利用函數(shù)單調(diào)性確定最值，這樣可以避免討論或者減少討論，使要解決的問題由復雜變?yōu)楹唵?，不失為解決此類問題最佳的選擇，筆者稱之為“縮小范圍法”。

三、深入推廣：

1、設函數(shù)

（1）求f （x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求所有實數(shù)a，使對[1，e]恒成立。注e為自然對數(shù)的底數(shù)。

解：（1）因為，定義域為 所以，由于 ，所以f （x）的增區(qū)間為（0，a）；減區(qū)間為。

（2）由題意得，。由（1）知，f （x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使對恒成立，只要且 解得。

2、設函數(shù)

（1）當時，函數(shù) 處有極小值，求函數(shù)h （x）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若函數(shù)f （x）和f （x）有相同的極大值，且函數(shù)在區(qū)間上的最大值為-8e，求實數(shù)b的值。（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）

解：（1）

的單調(diào)遞增區(qū)間是。

（2）函數(shù)g（x）的極大值為0，且b<0

而，

所以f （x）的極大值為

則 根據(jù)題意得

所以函數(shù)p（x）在[1，e2]上單調(diào)遞減，p（x）的最大值為

上述兩題的第二問都是含參不等式恒成立問題，我們從所給自變量范圍出發(fā)，根據(jù)題設條件，縮小參數(shù)范圍，避免復雜討論，使解題過程更為優(yōu)化，更加清晰，是學生易于掌握的解題思路，值得探究。

四、總結(jié)規(guī)律：

本文所探討的“含參不等式”恒成立問題是已知不等式在未知數(shù)的某一范圍內(nèi)恒成立，求參數(shù)的取值范圍，通常有三種解法，第一，分離參數(shù)法，第二，參數(shù)討論法，第三種解決辦法是理清題意，確定參數(shù)的取值范圍，以避免討論或縮小討論范圍。

以一道典型的試題為載體研究解題，通過一題多解，總結(jié)出解題思維和方法，解題的目的不只是為了獲得答案，而是從解題過程中，發(fā)展思維能力，提高數(shù)學素養(yǎng)，對題目進行研究是數(shù)學學習中不可或缺的核心內(nèi)容，數(shù)學解題的思維實質(zhì)是發(fā)生數(shù)學而不是“規(guī)則的簡單重復”或“操作的生硬執(zhí)行”，這是掌握數(shù)學、學會“數(shù)學思維”的關鍵。