體外束對波形鋼腹板簡支箱梁自振頻率的影響

李 杰，周亞鵬，陳 淮

鄭州大學土木工程學院，河南鄭州 450001

波形鋼腹板組合箱梁采用波形鋼板置換混凝土箱梁中的混凝土腹板，使箱梁成為由鋼筋混凝土頂?shù)装搴筒ㄐ武摳拱褰M成的組合結構，充分利用了混凝土抗壓和波形鋼腹板抗剪強度高、梁體自重輕、頂?shù)装孱A應力效率高的優(yōu)點，是一種經(jīng)濟、合理、高效的橋梁主梁結構形式[1]．已有研究表明，波形鋼腹板組合箱梁抗彎剛度較傳統(tǒng)混凝土箱梁略低，但前者的自重也較后者低，因此可認為波形鋼腹板組合箱梁的豎彎自振頻率較傳統(tǒng)混凝土梁橋略高[2]. 針對體外束對波形鋼腹板箱梁自振特性的影響，文獻[3]推導了波形鋼腹板簡支箱梁在體外預應力作用下的自振頻率計算公式，并通過縮尺模型試驗和有限元法研究了體外預應力束張拉力對波形鋼腹板自振頻率產(chǎn)生的影響．預應力對波形鋼腹板組合箱梁自振特性影響較小[3]，但一些研究顯示隨著體外束張拉力增大結構自振頻率減小[4]，而另一些研究則顯示自振頻率增大[5]．考慮到橋梁結構的自振特性是其工作性能和抗震、抗風等動力性能分析的重要參數(shù)，《公路橋涵設計通用規(guī)范》(JTG D60—2015) 中公路汽車荷載沖擊系數(shù)的計算也仍然是以橋梁基頻為參數(shù)，橋梁結構的自振特性就成為結構設計的重要基礎數(shù)據(jù)．即使預應力張拉對波形鋼腹板組合箱梁的自振特性影響很小，也有必要對解析推導和試驗數(shù)據(jù)給出解釋．因此，本研究討論了預應力張拉對自振的影響，對試驗結果進行解釋，明確預應力的張拉究竟是使自振頻率增大還是使自振頻率減?。乙砸粋€配置體外束的簡支波形鋼腹板箱梁的微分方程為例，推導體外束對自振頻率的影響，并基于有限元數(shù)值方法，從預應力張拉引起混凝土材料彈性模量的變化的角度解釋試驗結果．

1 考慮體外預應力波形鋼腹板簡支梁的自振頻率公式推導

1.1 波形鋼腹板簡支梁彎曲振動微分方程

波形鋼腹板簡支梁在體外預應力作用下的彎曲振動微分方程[6]可表示為

(1)

簡支波形鋼腹板箱梁的體外束布置為雙折線，如圖1．為了推導式(1)，假設材料均處于彈性范圍，忽略波形鋼腹板的軸向剛度；僅考慮其剪切剛度；不計頂?shù)装寮袅?，且其連接部位無滑移；不考慮沿梁跨方向的預應力損失．

圖1 簡支波形鋼腹板箱梁的體外束布置Fig.1 Arrangement of external strand of simply supported box beam with corrugated steel web

體外束的預加力隨著梁的振動變化，故可設

(2)

(3)

(4)

1.2 預應力變化量和梁位移的關系

為求解方程(4)，首先需考慮梁體振動位移y(x,t)與預應力的改變量之間的內(nèi)在聯(lián)系．體外束波形鋼腹板預應力組合簡支梁結構如圖2．波形鋼腹板預應力簡支梁在振動過程中， ΔNp隨振動位移y(x,t)的改變而變化，由于位移y(x,t)隨梁體振動變化很小，因此，可以近似認為ΔNp與梁體跨中豎向位移y成正比．為計算ΔNp與y的比例系數(shù)，在跨中作用一個集中力F， 先得到ΔNp與F的關系，再得到F和y的關系，最后經(jīng)過變換得到ΔNp和y的關系．

將預應力筋拉力作為多余未知力X1去掉多余約束得到基本體系，如圖2所示．求解單位力X1以及跨中集中力F作用下的彎矩圖．建立變形協(xié)調(diào)方程為

δ11X1+Δ1F=0

(5)

(6)

其中，N1和M1分別為單位力和基本體系上產(chǎn)生的軸和彎矩；NF和MF分別為外力F作用在基本體系上產(chǎn)生的軸力和彎矩；δ11是單位力在基本體系上產(chǎn)生的位移；EAc是梁截面的抗拉壓剛度．在跨中位置作用一個集中力F時，可以計算得出簡支梁跨中豎向撓度為

(7)

圖2 波形鋼腹板簡支箱梁基本體系的受力圖Fig.2 The basic system’s force diagram of simply supported box beam with corrugated steel web

靜載作用下剪切變形對梁的撓度影響較大[7]．考慮波形鋼腹板的剪切變形影響及跨中作用集中力F， 修正后的簡支梁跨中豎向撓度為

(8)

(9)

由位移互等定理，可得ΔNp在中點產(chǎn)生的向上位移為

(10)

跨中在F作用下產(chǎn)生的豎向位移為

y=yF-yΔNp=

(11)

則

ΔNp=φy

(12)

由此可得到預應力變化量ΔNp和簡支梁跨中位移y的關系表達式．由于波形鋼腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差異主要在腹板，而波形鋼腹板的剪切變形對箱梁撓度的影響較大，故本研究在計算波形鋼腹板簡支梁跨中撓度時，計入了波形鋼腹板剪切變形的影響，這是波形鋼腹板箱梁與普通混凝土箱梁撓度計算中最主要的差別．

1.3 等效偏心距H求解

H為等效偏心距，由于預加力在梁上的彎矩沿梁軸線是不均勻變化的，為簡化計算，將預應力作用彎矩，采用面積相等的原則，等效為沿梁均勻分布[8]，其中預應力和次內(nèi)力引起的彎矩為

Mp=M1Np

(13)

Mp彎矩圖面積表達式為

S(Mp)=S(M1)Np

(14)

其中，S(Mp)和S(M1)分別為相應彎矩圖的面積．那么波形鋼腹板簡支梁的等效偏心距為

(15)

則可得波形鋼腹板簡支梁自由振動方程為

(16)

1.4 波形鋼腹板簡支梁頻率求解

由式(16)得波形鋼腹板簡支梁自由振動方程為

(17)

采用分離變量法求解微分方程(17)，并根據(jù)簡支梁邊界條件確定積分常數(shù)，則波形鋼腹板簡支梁的自振頻率為

(18)

(19)

式(19)可表示體外預應力對波形鋼腹板簡支梁自振頻率的影響．可見預應力對梁自振頻率的影響隨著振型階次n的升高而減小，因此可以通過低階頻率探討預應力張拉對波形鋼腹板梁自振特性的影響．當n= 1時得到基頻為

(20)

2 自振頻率計算及體外束影響分析

以某波形鋼腹板箱梁實橋為例，應用式(20)計算波形鋼腹板組合箱梁的自振頻率，橋梁參數(shù)主要有：E=3.6×104MPa，I=15.193 5 m4，m=2.21×104kg/m，L=50 m，由式(19)可得

其中，N為單根鋼絞線張拉力大?。嬎憧芍?，不考慮體外束張拉時，ξ=1， 考慮體外預應力束時，ξ=0.989 6， 對應的1階豎向自振頻率分別為3.126 Hz和3.093 Hz．

圖3 ξ隨著張拉力N的變化曲線Fig.3 The curve of ξ-N

為探討ξ隨N變化的規(guī)律，此處取橋梁工程預應力張拉常用的范圍(0.5fpk～0.8fpk)， 對應的單根張拉力取130 ～210 kN，則由式(19)可得ξ隨張拉力N的變化曲線(圖3)．由圖3可知，在預應力張拉范圍內(nèi)， 0<ξ<1； 當預應力增大時，ξ逐漸減?。@表明施加體外預應力將使波形鋼腹板簡支梁的頻率減小，這與結構力學的認識一致，產(chǎn)生該結果的主要原因是由于預應力的施加會產(chǎn)生應力軟化效應，幾何剛度矩陣引起結構總剛度降低，進而結構的頻率降低，同時也可以看出，預應力張拉對波形鋼腹板組合箱梁自振頻率的影響較?。鲜鼋Y論可以解釋預應力張拉后結構自振頻率降低的原因，但該結論與一些模型試驗結果不吻合，不能解釋試驗中所反映出來的數(shù)據(jù)．由于自振頻率的解析公式僅與質(zhì)量和剛度有關，結構確定后結構的質(zhì)量和幾何尺寸就確定，但剛度EI還與彈性模量E有關，預應力的張拉閉合了混凝土結構中的微裂縫進而使剛度增大，同時預應力的張拉使混凝土處于復雜應力狀態(tài)，對彈性模量E有影響．這些為試驗數(shù)據(jù)的解釋提供了另一個方向．下面采用數(shù)值方法，考慮預應力張拉分析波形鋼腹板箱梁的自振頻率．

3 考慮預應力影響的波形鋼腹板箱梁的自振頻率有限元求解

3.1 預應力在數(shù)值軟件中的處理方法

數(shù)值軟件中模擬預應力的方法主要包括外荷載法和整體法兩大類．外荷載法是以荷載來替代預應力鋼筋的作用，如等效荷載法．該法適用于靜力分析，但與結構的實際受力情況不符．整體法綜合考慮兩者作用，如在ANSYS軟件中用桿單元模擬鋼束，采用初應變或降溫法在鋼束上加載預應力，并通過耦合作用傳遞預應力到混凝土上．整體法更符合混凝土結構的實際受力，因此本研究采用初應變施加預應力．

假設結構材料是理想均質(zhì)，在進行有限元分析時預應力的施加會使結構幾何剛度矩陣發(fā)生變化，導致預應力混凝土梁自振頻率減小，這與本研究推導和經(jīng)典力學理論結果一致，但與模型試驗數(shù)據(jù)不符[5]．分析試驗結果，預應力張拉除了會產(chǎn)生應力軟化效應降低結構的剛度外，還會使混凝土處于復雜應力狀態(tài)，復雜應力狀態(tài)下的混凝土極限強度比單向應力狀態(tài)下的強度大，理論和試驗證實混凝土的強度與彈性模量相關，因此可通過建立預應力與混凝土彈性模量的相關關系對復雜應力狀態(tài)下的彈性模量進行修正[9]．

結合復雜應力狀態(tài)下混凝土梁的大量試驗數(shù)據(jù)[10]，采用回歸分析的方法可找出預應力與混凝土彈性模量的關系[9-11]為

(21)

其中，y=Eq/Ec表示混凝土彈性模量的增加倍數(shù)，Eq為等效的彈性模量，Ec為實際彈性模量；N為施加的預應力大?。籩為偏心距；h為箱梁截面高度；fck為混凝土抗壓強度標準值；a、b和c為擬合公式的系數(shù)，a=-6.651 418 8×10-3，b=7.512 877 8×10-3，c=2.409 094 7×10-3．

3.2 模型試驗數(shù)據(jù)的驗證

為驗證本研究方法的可行性，參考文獻[5]給出的單箱雙室波形鋼腹板梁模態(tài)試驗，建立ANSYS實體有限元模型，采用初應變施加預應力并修正彈性模量進行模態(tài)分析，與試驗結果進行對比．采用的單箱雙室波形鋼腹板組合試驗箱梁總跨徑為5.2 m，計算跨徑為5 m，其頂、底板均為5 cm厚的C50混凝土，腹板為3 mm厚的波形鋼腹板，預應力鋼束的公稱直徑為φ15.24 mm，其截面尺寸、波形鋼腹板參數(shù)及試驗梁立面如圖4[5]．

圖4 文獻[5]中的模型試驗梁(單位：mm)Fig.4 Model test beam in the Reference[5] (unit: mm)

采用有限元軟件ANSYS建立該模型試驗箱梁的數(shù)值模型．依據(jù)結構特點，采用Solid65單元模擬頂、底板混凝土實體，波形鋼腹板采用殼單元Shell63模擬，預應力鋼束利用桿單元Link10來模擬，預應力鋼束單元通過與梁體耦合實現(xiàn)共同受力，邊界條件按照模型試驗梁實際位置簡支約束，預應力的施加采用初應變法并修正彈性模量．模型中體外束預應力損失僅考慮彈性壓縮損失，不考慮混凝土的收縮徐變效應．分析對比結果見表2，其中，f為式(20)計算模型梁的基頻解析解；f1為采用“初應變”方法施加預應力但不修正混凝土彈性模量；f2是在考慮預應力張拉的基礎上修正混凝土的彈性模量所得出的有限元結果；f0為該波形鋼腹板梁的模型試驗實測數(shù)據(jù)[5]．

表2 本研究與文獻[5]有限元結果對比

1)ai=fi-f0/min(f0,fi);i=1,2

由表2可知，利用本研究解析式(20)得到波形鋼腹板體外束張拉后的自振頻率為f有一定減小，試驗梁的自振頻率試驗結果f0和有限元解fi(i=1，2)的第1階豎彎頻率偏差小于5%；施加預應力并修正混凝土彈性模量后，與試驗結果相比，偏差變小且頻率的變化趨勢與試驗結果吻合．因此可認為預應力的張拉不僅使波形鋼腹板箱梁應力軟化，且預應力使混凝土處于復雜應力狀態(tài)，材料的彈性模量與單向應力狀態(tài)下的彈性模量不同，通過彈性模量修正和考慮預應力效應，數(shù)值分析可以解釋模型試驗結果．

4 結 論

1)考慮預應力效應的波形鋼腹板組合箱梁振動微分方程的推導表明，預應力張拉產(chǎn)生應力軟化效應引起結構總剛度降低，波形鋼腹板組合箱梁結構的頻率降低．此外，考慮到波形鋼腹板箱梁和普通混凝土箱梁的差異，波形鋼腹板的剪切變形對箱梁撓度的影響較大，理論推導分析應計入波形鋼腹板剪切變形的影響．

2)對于研究中的試驗模型梁，預應力張拉對波形鋼腹板組合箱梁結構的剛度影響較小，由ξ隨N變化的規(guī)律可以看出，在橋梁工程中預應力張拉范圍(0.5fpk～0.8fpk)內(nèi)，預應力張拉對自振頻率的影響很小．

3)預應力的張拉不僅使波形鋼腹板箱梁應力軟化，且預應力使混凝土處于復雜應力狀態(tài)，材料的彈性模量與單向應力狀態(tài)下的彈性模量不同，通過彈性模量和預應力效應的綜合考慮，體外束的張拉使波形鋼腹板簡支箱梁自振頻率增大．