市道輪換下的高頻數(shù)據(jù)參數(shù)估計(jì)

柳向東，靳曉潔

暨南大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，廣東廣州 510632

20世紀(jì)90年代以前，金融市場(chǎng)的研究多以低頻數(shù)據(jù)為依據(jù)，低頻數(shù)據(jù)是指日、周、月、季度及年的頻率數(shù)據(jù). 近年來，隨著計(jì)算機(jī)與通信技術(shù)的迅猛發(fā)展，記錄高頻數(shù)據(jù)日趨便捷，從而受到金融界的廣泛關(guān)注. 高頻數(shù)據(jù)是指金融市場(chǎng)運(yùn)行過程中以小時(shí)、分鐘、秒或?qū)嶋H交易間隔為采集頻率的日內(nèi)交易數(shù)據(jù). 金融市場(chǎng)往往是連續(xù)運(yùn)行的，交易頻繁，市場(chǎng)情況瞬息萬變，基于低頻數(shù)據(jù)的金融市場(chǎng)研究無疑會(huì)損失大量有效市場(chǎng)信息，無法準(zhǔn)確理解市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu). 而高頻數(shù)據(jù)所包含的資產(chǎn)價(jià)格信息接近于理論上連續(xù)時(shí)間的資產(chǎn)價(jià)格信息，不僅包含金融資產(chǎn)價(jià)格更豐富的信息，還包括像交易時(shí)間間隔、交易量、買賣價(jià)差等眾多其他維度的信息，能夠?qū)鹑谑袌?chǎng)進(jìn)行更精細(xì)的分析，對(duì)理解市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)具有重要作用. 結(jié)合金融學(xué)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、時(shí)間序列分析及統(tǒng)計(jì)學(xué)等理論，不少學(xué)者從不同角度對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行了大量的金融計(jì)量研究. 朱建平等[1]對(duì)國(guó)內(nèi)外金融高頻數(shù)據(jù)的研究現(xiàn)狀進(jìn)行剖析，澄清金融高頻數(shù)據(jù)的概念與特征，從統(tǒng)計(jì)學(xué)視角審視金融高頻數(shù)據(jù). 雷井生等[2]利用改進(jìn)的統(tǒng)計(jì)套利策略對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，滿足了機(jī)構(gòu)投資者套利需求，同時(shí)引進(jìn)一種更有效的全新投資方式. HANSEN等[3]提出一種分析高頻數(shù)據(jù)的新模型，即已實(shí)現(xiàn)測(cè)度與傳統(tǒng)自回歸條件異方差(generalized autoregressive conditional heteroskedasticity，GARCH)模型相結(jié)合的Realized GARCH模型，且通過實(shí)證表明，與基于低頻的數(shù)據(jù)日收益率的一般GARCH模型相比，其有實(shí)質(zhì)性的改進(jìn). 王天一等[4]考察Realized GARCH模型用于高頻數(shù)據(jù)的研究，著重考察了滬深300指數(shù)1 min高頻數(shù)據(jù)的收益率分布及波動(dòng)率預(yù)測(cè)，指出不同抽樣頻率的已實(shí)現(xiàn)方差對(duì)模型預(yù)測(cè)有顯著影響. ZHANG[5]提出利用冪律函數(shù)的霍克斯過程(Hawkes processes with power-law kernels)對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，且通過與其他模型對(duì)比，表明此模型有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值. 李勝歌等[6-11]也對(duì)高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)率進(jìn)行研究，利用一階偏差修正方法、ARFIMAX模型、GARCH模型、SV模型、ACD模型、ACH模型、擴(kuò)展的ACH模型以及跳擴(kuò)散模型等對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析. 近年來，對(duì)于高頻數(shù)據(jù)的實(shí)證研究結(jié)果表明，金融市場(chǎng)存在資產(chǎn)價(jià)格跳躍行為. 沈根祥[12]構(gòu)造了跳躍行為的Hausman檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并對(duì)滬深300指數(shù)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)樣本區(qū)間內(nèi)有1/3以上的交易日存在跳躍行為. 唐勇等[13]基于非參數(shù)方法，結(jié)合A-J跳躍檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，構(gòu)建新的跳躍方差和連續(xù)樣本路徑方差對(duì)上證綜指高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析，包括高頻數(shù)據(jù)中跳躍方差統(tǒng)計(jì)特征、跳躍方差貢獻(xiàn)、跳躍幅度以及跳躍與經(jīng)濟(jì)信息關(guān)系，有助于投資者優(yōu)化投資策略，為監(jiān)管部門提供監(jiān)管依據(jù). BAJGROWICZ等[14]則在對(duì)高頻數(shù)據(jù)分析中，利用偽跳躍(spurious jump)檢驗(yàn)法研究跳躍，認(rèn)為跳躍發(fā)生與流動(dòng)性壓力有關(guān). 汪先珍[15]基于BN-S理論框架對(duì)上證綜指高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行研究，證實(shí)跳躍的存在，進(jìn)而剝離出股價(jià)行為中的跳躍成分,并對(duì)跳躍產(chǎn)生的時(shí)刻、幅度以及分布特征加以分析,著重探討了幾個(gè)跳躍個(gè)例產(chǎn)生的原因.

從上述文獻(xiàn)來看，對(duì)高頻數(shù)據(jù)的研究并不少見，但利用馬氏市道輪換研究高頻數(shù)據(jù)的文獻(xiàn)并不多. 馬氏輪換模型可以刻畫金融市場(chǎng)的各種狀態(tài)，對(duì)股票價(jià)格波動(dòng)的描述更加切合實(shí)際，因此，在馬氏輪換基礎(chǔ)上推導(dǎo)各類具體模型對(duì)于高頻數(shù)據(jù)的分析預(yù)測(cè)具有重要現(xiàn)實(shí)意義．近年來，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者將馬氏輪換運(yùn)用到金融市場(chǎng)模型中，并得到較好的結(jié)論. HAMILTON[16]首先提出馬氏市道輪換,并利用該模型對(duì)時(shí)間序列的對(duì)數(shù)差分?jǐn)?shù)據(jù)進(jìn)行回歸模擬，較好地刻畫了實(shí)際產(chǎn)出增長(zhǎng)的非線性動(dòng)態(tài)和非對(duì)稱特性. CAI等[17-18]將馬氏市道輪換引入ARCH模型，為存在結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換的金融資產(chǎn)序列的波動(dòng)性建模提供新方法. 佟杰[19]在預(yù)測(cè)模型中引入馬氏輪換，并用Baum Welch算法和弗羅貝尼烏斯范數(shù)最小法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，并預(yù)測(cè)上證指數(shù)收益率，得到很好的預(yù)測(cè)效果. 劉金全等[20]在CKLS中加入馬氏輪換，將傳統(tǒng)CKLS模型推廣至更為一般的狀態(tài)相依模型，并通過Hamilton濾波和Kim平滑概率得到比傳統(tǒng)CKLS模型更好的估計(jì)和分析結(jié)果. 楊寶臣等[21]針對(duì)SHIBOR動(dòng)態(tài)特性中存在的狀態(tài)轉(zhuǎn)換和波動(dòng)聚類現(xiàn)象，分別將馬氏輪換和GARCH效應(yīng)引入CIR模型，基于Kim濾波的極大似然估計(jì)法進(jìn)行估計(jì),并與CIR模型對(duì)比，發(fā)現(xiàn)改進(jìn)的模型對(duì)風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)動(dòng)態(tài)特性的刻畫能力更強(qiáng). 本研究嘗試在馬氏市道輪換下對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行研究. 高頻數(shù)據(jù)選用上證綜指每5 min收盤價(jià)作為分析，并用市道輪換下的自回歸模型以及波動(dòng)率替代模型對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，其目的是由于在不同經(jīng)濟(jì)體制下會(huì)產(chǎn)生不同收益率，而馬氏輪換能對(duì)這些不同經(jīng)濟(jì)體制進(jìn)行明確研究. 在估計(jì)技術(shù)方面，本研究采用極大似然法，并結(jié)合Hamilton濾波概率和Kim平滑概率等來估計(jì)馬氏市道輪換模型，取得較精準(zhǔn)的預(yù)測(cè)效果. 本文還將市道輪換模型加入到波動(dòng)率替代模型對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，并給出了相應(yīng)的估計(jì).

1 高頻數(shù)據(jù)模型

1.1 基本知識(shí)

定義1一個(gè)離散的隨機(jī)過程{St,t∈N}被稱為馬爾可夫鏈，若對(duì)所有t∈N，滿足

定義2在t時(shí)刻的n步轉(zhuǎn)移概率定義為aij(n,t)=P(St+n=jSt=i)， 即過程在t時(shí)刻位于狀態(tài)i， 在t+n時(shí)刻轉(zhuǎn)移到狀態(tài)j的概率.

值得注意的是，若馬爾可夫鏈在t時(shí)刻的n步轉(zhuǎn)移概率aij(n,t)與t無關(guān)，則稱為齊次馬爾可夫鏈. 此時(shí)n步轉(zhuǎn)移概率記為aij(n)， 而1步轉(zhuǎn)移概率簡(jiǎn)稱轉(zhuǎn)移概率，記為aij， 下文中馬爾可夫鏈均指齊次馬爾可夫鏈，轉(zhuǎn)移概率aij均指1步轉(zhuǎn)移概率.

定義3雙離散隨機(jī)過程{St,t∈N}、 {Yt,t∈N}被稱為隱馬爾可夫鏈，若滿足

P(St=stSt-1=st-1)；

P(St=stSt-1=st-1)；

P(Yt=ytSt=st)；

P(Yt=ytSt=st).

其中， {St}稱為狀態(tài)過程，不可觀測(cè)，實(shí)際上是一個(gè)齊次馬爾可夫鏈； {Yt}是觀測(cè)值過程. 以上性質(zhì)可見，給定St-1，St與其他所有變量(過去的觀測(cè)值和過去的狀態(tài))均無關(guān)，給定St，Yt與其他所有變量(之前和之后的觀測(cè)值、過去的狀態(tài))均無關(guān). 這些性質(zhì)是下文中經(jīng)常用到的性質(zhì).

引理1P(ABC)=P(AC)P(BAC)

引理1雖然是一個(gè)很簡(jiǎn)單的公式，但在下文許多公式的推導(dǎo)中卻頻繁使用.

1.2 馬氏市道輪換自回歸模型

近年來，各種經(jīng)濟(jì)事件序列已作為市道輪換事件序列進(jìn)行建模. 建模中，該變量的分布被假設(shè)在一個(gè)特定的市道或狀態(tài)條件下發(fā)生. 會(huì)產(chǎn)生一系列重大變化. 經(jīng)典的自回歸模型要求時(shí)間序列平穩(wěn)，但實(shí)際中平穩(wěn)性往往難以滿足. 金融模型的不穩(wěn)定性可視為時(shí)間序列出現(xiàn)結(jié)構(gòu)性的變化，即不同數(shù)據(jù)后面隱藏著不同狀態(tài)，而引入市道輪換的自回歸模型MS-AR (Markov switching model autoregressive model)可以解決這一難題[22]. 下面以一階市道輪換自回歸模型MS-AR(1)為例進(jìn)行介紹.

yt-μSt=β(yt-1-μSt-1)+εt

(1)

其中，St是t時(shí)刻未知市道或者狀態(tài)，本研究中只考慮兩種市道的情況，即

(2)

ytSt-1=i，St=j,

(3)

其中， Ft={y0,y1,yt}， Ft指截止到時(shí)刻t所擁有的觀測(cè)值yt的所有信息，稱為信息集或域流. {yt}和{St}即為隱馬爾可夫鏈，可見其滿足1.1節(jié)所述性質(zhì).

估計(jì)模型的參數(shù)采用極大似然方法，因此，求得似然函數(shù)的表達(dá)形式是最重要的一步. 考慮{y1,y2, …,yT}的似然函數(shù)f(y1,y2, …,yT)， 反復(fù)利用引理1可得

具體證明不再贅述，由此式可知求得f(ytFt-1)的表達(dá)式即求得了似然函數(shù)的表達(dá)式，因此，以下主要圍繞求f(ytFt-1)的表達(dá)式展開.

P(St-1=i,St=jFt-1)]

為方便起見定義

ηi, j(t)=f(ytSt-1=i,St=j, Ft-1)；

γi, j(t)=P(St-1=i,St=jFt-1).

則下式成立

(4)

由于市道St不可觀測(cè)，只能通過計(jì)算St在不同時(shí)期的取值概率來推測(cè)St的取值，推斷概率方法包括：事前概率、Hamilton濾波及Kim平滑概率.

事前概率指基于t-1時(shí)刻信息集Ft-1對(duì)t時(shí)刻的市道進(jìn)行推斷的條件概率，記為Pit，

Pit=P(st=iFt-1)

Hamilton濾波概率指基于t時(shí)刻信息集Ft對(duì)t時(shí)刻的市道進(jìn)行推斷的條件概率，記為εi(t)，

εi(t)=P(St=iFt)

這里εi(0)=P(S0=i)=πi. 其中，πi為{St}位于狀態(tài)i的初始分布，i=1,2.

Kim平滑概率是基于所有信息對(duì)t時(shí)刻的狀態(tài)進(jìn)行推斷的條件概率，記為ρj(t)，

ρj(t)=P(St=jFT)

γi, j(t)=P(St-1=i,St=jFt-1)的計(jì)算過程分為預(yù)測(cè)和更新兩個(gè)過程，設(shè)初始為εi(0)=πi， 具體過程為：

1) 預(yù)測(cè).

γi, j(t)=P(St-1=iFt-1)P(St=jSt-1=i, Ft-1)=P(St-1=iFt-1)P(St=

jSt-1=i)=εi(t-1)aij

(5)

2)更新.

P(St-1=i,St=jFt)=P(St-1=i,St=

(6)

記κi, j(t)=P(St-1=i,St=jFt), 在t時(shí)刻yt被觀測(cè)到后，信息集Ft-1被更新到Ft={Ft-1，yt}，此時(shí)，κi, j(t)相當(dāng)于γi, j(t)的更新，即γi,j(t)更新為

(7)

當(dāng)完成一輪預(yù)測(cè)和更新后，即完成式(5)至式(7)的計(jì)算后，可計(jì)算濾波概率，即式(8). 然后繼續(xù)開始新一輪計(jì)算.

(8)

當(dāng)上述全部完成時(shí)，可計(jì)算有對(duì)數(shù)似然函數(shù)，用κi, j(t)代替γi, j(t)， 有對(duì)數(shù)似然函數(shù)為

(9)

1.3 馬氏市道輪換波動(dòng)率替代模型

由于日內(nèi)數(shù)據(jù)可以記錄到很高頻率的交易數(shù)據(jù),日均大約幾千個(gè)數(shù)據(jù)，此時(shí)記錄之間的時(shí)間間隔已非常小，所以，對(duì)于高頻數(shù)據(jù)的建模，自然的想法是利用連續(xù)時(shí)間模型，連續(xù)時(shí)間金融理論主要是考慮使用半鞅過程來刻畫價(jià)格或者收益率的變動(dòng)過程. 考慮金融資產(chǎn)的連續(xù)時(shí)間對(duì)數(shù)價(jià)格過程(或者對(duì)數(shù)收益率過程){Y(u) }， 稱其是一個(gè)半鞅，若有如下分解：

Y(u)=A(u)+M(u)

其中，過程{A(u)}是一個(gè)有界變差的過程； {M(u)}是一個(gè)局部鞅. 連續(xù)時(shí)間金融理論中使用半鞅的原因在于，只有在半鞍上才能定義隨機(jī)積分[22]. 它被廣泛用于衍生品(期權(quán)，期貨及債券)的定價(jià)中，對(duì)于半鞅而言，一般用它的二次變差過程衡量其波動(dòng)性. 二次變差QV可被定義為已實(shí)現(xiàn)方差隨抽樣頻率趨于無窮的概率極限，

BOLLERSLEV[23]提出的廣義GARCH模型，因?yàn)槟芎芎玫慕忉尣▌?dòng)率匯聚和收益率厚尾等現(xiàn)象，已成為研究和預(yù)測(cè)時(shí)變波動(dòng)率的標(biāo)準(zhǔn)工具. GARCH模型通常用于低頻數(shù)據(jù)，如日、周、月數(shù)據(jù)，高頻數(shù)據(jù)包含更豐富的信息，而與高頻數(shù)據(jù)相結(jié)合成為一個(gè)重要的方向. 為使GARCH模型與日內(nèi)的高頻數(shù)據(jù)結(jié)合發(fā)揮模型優(yōu)勢(shì)，VISSER[24]提出基于GARCH模型的尺度模型和波動(dòng)率替代模型，將日內(nèi)的高頻數(shù)據(jù)嵌入到模型的框架中，且指出通過構(gòu)造合適的波動(dòng)率替代，可以改進(jìn)模型的偽極大似然估計(jì)的漸近方差.考慮日內(nèi)對(duì)數(shù)收益率Rt(u), 日內(nèi)波動(dòng)率可以被已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率RVt代替. 下面介紹尺度模型和波動(dòng)率替代.

(10)

(11)

其中，ψt(u)服從均值為0、方差為1的標(biāo)準(zhǔn)分布； {ψ0(u)，ψ1(u)，…}獨(dú)立同分布. 兩者為尺度模型.Rt(0)為隔夜收益率，而Rt(1)即rt， 故當(dāng)t=1時(shí)，尺度模型即轉(zhuǎn)代為GARCH(1，1).

VISSER[24]定義了替代波動(dòng)率的統(tǒng)計(jì)量，稱為波動(dòng)率替代. 一般地，稱隨機(jī)變量Ht≡H(Rt(·))為波動(dòng)率替代，如果H為正且滿足正齊次性，則H(sRt(·))=sH(Rt(·)),s≥0

波動(dòng)率替代一般有rt， 日內(nèi)最高-最低價(jià)差、已實(shí)現(xiàn)波動(dòng)率等.

(12)

記μH=E(H(ψt(·)))， 0≤μH<∞，τH=τ(μH)2，ZH, t=H(ψt(·))/μH， 則

(13)

(14)

伴隨經(jīng)濟(jì)政策的出臺(tái)和金融市場(chǎng)監(jiān)管制度的變遷自身完善，在一個(gè)不成熟的金融市場(chǎng)上，馬氏輪換是一個(gè)普遍存在的現(xiàn)象，對(duì)這種結(jié)構(gòu)性變換的描述是必要的[25]. 而GRAY等[26-27]在GARCH方程中引入馬氏輪換，建立MRS-GARCH模型，利用滯后的條件方差取期望值,從而避免了路徑依賴問題，通過檢驗(yàn)表明MRS-GARCH模型較傳統(tǒng)的GARCH模型在擬合和預(yù)測(cè)能力上均有提高. 由于尺度模型和波動(dòng)率替代模型是在GARCH模型基礎(chǔ)上提出，因此，很自然考慮到在這兩個(gè)模型上加入馬氏市道輪換. 這里首先對(duì)尺度模型(10)和(11)加入市道輪換，即

(15)

(16)

由式(12)知H具有齊次性，用式(12)所述H作用于式(15)，由齊次性即可得到馬氏市道輪換波動(dòng)率替代模型

(17)

(18)

將馬氏輪換引入GARCH模型后存在嚴(yán)重的路徑依賴問題，即t時(shí)刻的條件方差將依賴于所有變量t時(shí)刻之前全部時(shí)刻的取值及其狀態(tài). 當(dāng)樣本較大時(shí)，這使模型異常復(fù)雜難以估計(jì). 同樣，將馬氏輪換引入波動(dòng)率替代模型也存在路徑相依問題，因此，可模仿MRS-GARCH的估計(jì)方法. GRAY[26]利用一期條件方差的期望值代替條件方差本身，從而解決了一模型中存在的路徑依賴問題. 此后，KLAASSEN[27]充分利用信息，進(jìn)一步改善模型. 本研究所使用方法，正是基于KLAASSEN所提出的方法. 具體來說，式(14)中等號(hào)右邊條件方差項(xiàng)的表達(dá)式為

(19)

(20)

為方便計(jì)算εj(t)， 引入符號(hào)ηjt， 即

εj(t)=P(St=jFt)=P(St=jFt-1,Ht)=

(21)

Pit=P(St=iFt-1)=

(22)

P1tη1t+P2tη2t

(23)

由上式迭代可得出似然函數(shù)L

(24)

2 模型實(shí)證研究

選用2017-01-03 09∶35至2017-08-02 14∶55上證綜指每5 min的收盤價(jià)格數(shù)據(jù)作為研究對(duì)象. 為方便觀察和分析，將收盤價(jià)縮小100倍，調(diào)整后的收盤價(jià)時(shí)序和直方圖見圖1和圖2.

圖1 收盤價(jià)時(shí)序圖Fig.1 Closing price sequence diagram

圖2 收盤價(jià)直方圖Fig.2 Closing price histogram

圖3為收益率的時(shí)序圖. 可見，收益率在固定范圍內(nèi)變化，同時(shí)波動(dòng)率存在聚集性，即大的波動(dòng)率后面常常伴隨較大的波動(dòng)率，小的波動(dòng)率后面也常常伴隨小的波動(dòng)率. 統(tǒng)計(jì)分析得出上證綜指每5 min 收盤價(jià)的基本分析結(jié)果如表1. 可見，收盤價(jià)在30 元. 在22～33.05 元(收盤價(jià)縮小100倍之后的價(jià)格)內(nèi)波動(dòng)，平均價(jià)格為31.80 元.

圖3 收益率時(shí)序圖Fig.3 Return sequence diagram

指標(biāo)日期時(shí)刻收盤價(jià)/元最小值2017-01-03 09∶35∶0030.22上四分位數(shù)2017-02-28 12∶41∶1531.34中位數(shù)2017-04-21 00∶17∶3031.80平均數(shù)2017-04-21 02∶09∶0231.80下四分位數(shù)2017-06-14 11∶53∶4532.36最大值2017-08-02 15∶00∶0033.05

另外， LB檢驗(yàn)結(jié)果顯示p-value < 2.2×10-16，拒絕原假設(shè)，收盤價(jià)序列不是白噪聲，因此，有分析價(jià)值；ADF檢驗(yàn)結(jié)果表明，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量值為-1.848 2，大于顯著性水平0.05下的分位數(shù)-2.86,則收盤價(jià)序列非平穩(wěn)，而馬氏市道輪換轉(zhuǎn)換模型可解決這一問題.

首先，用MS-AR(1)模型對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分析. 這里高頻數(shù)據(jù)的需要估計(jì)參數(shù)向量為θ=[μ1，μ2，σ1，σ2，β，p,q].

使用Hamilton濾波算法計(jì)算似然函數(shù)，進(jìn)行極大似然估計(jì)，得出參數(shù)的極大似然估計(jì)值如表2. 分析可見，熊市為市道1，牛市為市道2，熊市均值為30.499 0 元，標(biāo)準(zhǔn)差為0.049 0；牛市的均值為30.527 0，標(biāo)準(zhǔn)差為0.008 4. 均值均在收盤價(jià)區(qū)間內(nèi)，且熊市的標(biāo)準(zhǔn)差比牛市的大，這說明熊市價(jià)格震蕩幅度更大.

由此可見，牛市轉(zhuǎn)換成牛市的概率高，即牛市的第2天還是牛市的概率更大，熊市轉(zhuǎn)換成牛市的概率也很大.

表2 MS-AR(1)參數(shù)估計(jì) 1)

1)該統(tǒng)計(jì)日期同表1

下面進(jìn)行市道解碼，即把2017-01-03至2017-08-02上證綜指每5 min收盤價(jià)的市道推斷出來，采用Kim平滑概率，市道即對(duì)應(yīng)平滑概率較大的狀態(tài)；濾波概率和平滑概率見圖4和圖5.

圖4 濾波概率圖Fig.4 (Color online) Filter probability figure

圖5 平滑概率圖Fig.5 (Color online) Smoothing probability figure

為看清楚高頻數(shù)據(jù)狀態(tài)預(yù)測(cè)之間的變化，選取了2017-04-24的數(shù)據(jù)，如圖6. 可見，高頻數(shù)據(jù)之間存在明顯的市道轉(zhuǎn)換.

圖6 狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖Fig.6 Regime switching figure

為評(píng)價(jià)模型的預(yù)測(cè)效果，引入平均相對(duì)誤差A(yù)RPE為

通過評(píng)估可知，預(yù)測(cè)價(jià)格與真實(shí)價(jià)格之間的平均相對(duì)誤差為 7.493 2×10-4，平均相對(duì)誤差較小，說明預(yù)測(cè)效果相對(duì)較好，為清楚地看到預(yù)測(cè)效果，只選取2017-08-01至2017-08-02內(nèi)收盤價(jià)作預(yù)測(cè)圖，見圖7.

圖7 收盤價(jià)預(yù)測(cè)圖Fig.7 (Color online) Closing price forecast figure

這里給出2017-08-02 15∶00的點(diǎn)預(yù)測(cè)，此時(shí)真實(shí)價(jià)格為32.850 6元，模型預(yù)測(cè)價(jià)格為32.818 3元，預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)差為0.016 9元，效果比較理想.

下面對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行波動(dòng)率研究，從2017-01-04上證綜指的日內(nèi)數(shù)據(jù)開始. 5 min高頻數(shù)據(jù)對(duì)于進(jìn)行波動(dòng)率研究是合理的. 唐勇[28]以上證綜指高頻數(shù)據(jù)為例，實(shí)證了5 min抽樣頻率數(shù)據(jù)的合理性. LIU等[29]研究了超過400種不同的波動(dòng)率估計(jì)量，實(shí)證發(fā)現(xiàn)，至少在統(tǒng)計(jì)意義上很難顯著地?fù)魯∫? min 抽樣數(shù)據(jù)所估計(jì)的波動(dòng)率.

極大似然估計(jì)參數(shù)如表3. 可見，狀態(tài)2時(shí)波動(dòng)率較大，狀態(tài)1時(shí)波動(dòng)率較小，且高波動(dòng)率之后依舊是高波動(dòng)率的概率較大.

表3 波動(dòng)率的參數(shù)估計(jì) 1)

1)與表1、表2統(tǒng)計(jì)日期一致

結(jié) 語

高頻數(shù)據(jù)不僅豐富了金融資產(chǎn)價(jià)格信息，而且還包含眾多其他維度的信息，如交易時(shí)間間隔、交易量及買賣價(jià)差等，這些可以對(duì)金融市場(chǎng)進(jìn)行更精細(xì)的分析，對(duì)于理解市場(chǎng)價(jià)格形成和信息的傳遞機(jī)制等市場(chǎng)微觀結(jié)構(gòu)方面的特征，具有相當(dāng)重要的作用. 本研究通過市道輪換對(duì)高頻數(shù)據(jù)進(jìn)行分析研究，包括市場(chǎng)價(jià)格和波動(dòng)率兩部分，發(fā)現(xiàn)日內(nèi)數(shù)據(jù)中存在市道輪換，并對(duì)市場(chǎng)價(jià)格未來做了比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)，貼近事實(shí)，吻合市場(chǎng). 同時(shí)模型參數(shù)少，簡(jiǎn)潔實(shí)用，可操作性強(qiáng)，可為市場(chǎng)投資策略提供參考和指導(dǎo). 在本研究的后半部分，嘗試用市道輪換下的波動(dòng)率替代模型研究高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)率，并給出分析模型和方法. 未來研究可嘗試通過改進(jìn)市道輪換下的波動(dòng)率替代模型對(duì)高頻數(shù)據(jù)的波動(dòng)率進(jìn)行進(jìn)一步的估計(jì)和預(yù)測(cè)，并且嘗試研究超高頻數(shù)據(jù). 另外，半馬氏能夠克服馬氏輪換過程一些缺點(diǎn)，如無記憶性[30-32]，未來可以把馬氏市道輪換下的高頻數(shù)據(jù)模型推廣到半馬氏的情形，同時(shí)討論帶跳的估計(jì)問題.