教材理解的幾個(gè)視角
——從黃金分割的教材調(diào)整談開(kāi)去

章　飛

(江蘇第二師范學(xué)院 210013)

細(xì)心的讀者會(huì)發(fā)現(xiàn)，北師大版初中數(shù)學(xué)教材(2012版)中，黃金分割的位置發(fā)生了變化[1][2]．作為善于研究的老師，不禁要追問(wèn)：為什么要調(diào)整該內(nèi)容在章節(jié)中的位置？調(diào)整后教材處理發(fā)生了哪些變化？對(duì)教學(xué)設(shè)計(jì)提出了什么要求？本文以該課時(shí)為例，談?wù)劺斫饨滩摹⒀芯拷滩牡膸讉€(gè)視角，與同行交流.

1　探析教材變化的道理，保證教學(xué)定位的精準(zhǔn)性

隨著教材建設(shè)經(jīng)驗(yàn)的豐富和教學(xué)實(shí)施的探索，教材的修改完善是教材建設(shè)的常態(tài)．但即便是教材設(shè)計(jì)很小的調(diào)整，都是設(shè)計(jì)者多方權(quán)衡的結(jié)果．因此，作為一線教師，要具有敏銳的眼光，善于發(fā)現(xiàn)這些變化，挖掘這些變化的背景及其內(nèi)蘊(yùn)的道理，從而更好地理解教材內(nèi)容，設(shè)計(jì)更為合理的教學(xué).

對(duì)于黃金分割，多數(shù)教科書(shū)中，都是將黃金比作為一個(gè)特定的線段比放到線段比這個(gè)位置介紹的．2012年前出版的北師大版初中數(shù)學(xué)教材也是這樣設(shè)計(jì)的．可是，新版本為什么要進(jìn)行修改呢？為此，我們需要思考，原有設(shè)計(jì)的不足之處.

實(shí)際上，在相似及其性質(zhì)之前學(xué)習(xí)黃金比，無(wú)法讓學(xué)生感受黃金比的來(lái)源(關(guān)于黃金比的歷史，可以追溯到古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，該學(xué)派的徽標(biāo)就是一個(gè)正五角星，該學(xué)派在研究正五角星、正五邊形和正十邊形的作圖過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)特殊的比值；而發(fā)現(xiàn)這個(gè)特定比值，需要構(gòu)建關(guān)于這個(gè)比值的等式，這就需要用到不同圖形的相似關(guān)系了，具體參見(jiàn)下面的教材設(shè)計(jì))，當(dāng)然， 也就無(wú)從感悟其內(nèi)蘊(yùn)的美了(黃金分割的美內(nèi)蘊(yùn)于其發(fā)現(xiàn)的背景圖形，同時(shí)外化為具有類似數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的生物空間)．在學(xué)生無(wú)法感受其來(lái)源的情況下，學(xué)生難免發(fā)出這樣的感慨，“較長(zhǎng)與較短的比等于整個(gè)與較長(zhǎng)的比，又有何奇特，干嘛這么大驚小怪的，還稱之為黃金比”“黃金比，是很特殊，但美在何處？”此外，黃金比僅僅是線段比的一個(gè)特例，并非后續(xù)學(xué)習(xí)相似的前知識(shí)，在相似學(xué)習(xí)中根本用不上黃金比，只是特定圖形的相似中產(chǎn)生的相似比可能是黃金比，因此，將黃金比插在線段的比和相似之間學(xué)習(xí)，師生難免會(huì)詫異于教材的飛來(lái)之筆，有一種不自然、不流暢的感覺(jué)．這正說(shuō)明，黃金分割在原來(lái)教科書(shū)中的位置不恰當(dāng)．為此，需要挖掘黃金比的起源，讓學(xué)生了解黃金分割的來(lái)龍去脈，感悟黃金分割內(nèi)蘊(yùn)的美．這就不難理解北師大版初中數(shù)學(xué)教材2012版的設(shè)計(jì)了．北師大版初中數(shù)學(xué)教材2012版中[2]，以美麗的五角星為背景，在感受了五角星對(duì)稱美之后，引導(dǎo)學(xué)生思考其中相等的線段、相等的角、全等的三角形、相似的三角形，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)：整個(gè)圖形中總共四種不同長(zhǎng)度的線段，依次之間的比相等；同一條線段上每個(gè)點(diǎn)分得的兩條線段的比例都是相同的．這樣的情境活動(dòng)，既充分調(diào)用了學(xué)生先前的知識(shí)(相似三角形的判別與性質(zhì))，又自然地揭示了黃金分割的來(lái)源，順利引出下面黃金分割的概念.

這個(gè)案例關(guān)注了同一個(gè)教材前后縱向的變化，實(shí)際上，還可以觀察不同版本教材橫向的差異，基于對(duì)這些差異的思考更好地理解教材、研究教材．例如，北師大版和蘇科版初中數(shù)學(xué)教材是先學(xué)習(xí)勾股定理再學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)，其他多數(shù)版本是先學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)再學(xué)習(xí)勾股定理，再如，一些教材是先學(xué)習(xí)平方根再學(xué)習(xí)算術(shù)平方根，另一些則反過(guò)來(lái)．作為一線教師，應(yīng)開(kāi)展比較研究，探討各個(gè)版本設(shè)計(jì)的出發(fā)點(diǎn)、意圖與側(cè)重點(diǎn)，分析各種做法的優(yōu)勢(shì)和不足．當(dāng)然，比較研究的目的，并非給出孰優(yōu)孰劣的評(píng)判，而是客觀分析各自的優(yōu)缺點(diǎn)，在教學(xué)實(shí)施中，適當(dāng)兼容并包，力圖彰顯優(yōu)勢(shì)，彌補(bǔ)不足.

2　發(fā)掘教材內(nèi)隱的活動(dòng)，恢復(fù)活動(dòng)設(shè)計(jì)的立體性

教材設(shè)計(jì)，一定程度上也是教學(xué)設(shè)計(jì)．但又不同于教學(xué)設(shè)計(jì)．具體表現(xiàn)在下面幾個(gè)方面：一是、教材是紙質(zhì)的、靜態(tài)的，而教學(xué)是動(dòng)態(tài)的、生成的，因此，教材只能呈現(xiàn)某個(gè)固化的過(guò)程．教材如果像教學(xué)設(shè)計(jì)那樣“枝繁葉茂”，將所有過(guò)程都展現(xiàn)出來(lái)，可能看似連貫流暢，但由于難能準(zhǔn)確貼合具體班級(jí)的學(xué)生實(shí)際，教師用起來(lái)反而不趁手，甚至容易干擾教師教學(xué)、捆住教師的手腳．二是、由于版面容量的限制，教科書(shū)難能展開(kāi)教學(xué)設(shè)計(jì)的完整過(guò)程，只能削枝強(qiáng)干，突出主干內(nèi)容．例如，具體教學(xué)中，為了達(dá)到較好的效果，多采用邊學(xué)習(xí)邊鞏固的策略，如，在明晰了概念的定義后，一般可設(shè)計(jì)概念的詞語(yǔ)解析、實(shí)例的辨析、反例的枚舉、原型的尋找等，以加深概念理解，在明確了定理、公式后，一般會(huì)探討定理、公式的特征和適用范圍，并布置一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用性練習(xí)．但教材篇幅有限，難能將所有的教學(xué)過(guò)程都展現(xiàn)出來(lái)，即使設(shè)計(jì)了部分鞏固性練習(xí)，也未必亦步亦趨地放置在相應(yīng)概念、定理之后，可能將本課時(shí)的一些鞏固性練習(xí)集中起來(lái)，以“隨堂練習(xí)”“鞏固練習(xí)”等為欄目名，放到教材中一個(gè)特定的位置．三是、即使已經(jīng)削枝強(qiáng)干后的一些主干性內(nèi)容，教學(xué)過(guò)程也是動(dòng)態(tài)生成的，具有豐富的展開(kāi)過(guò)程，而教材可能也難能完整地展開(kāi)這樣的過(guò)程．總之，教科書(shū)只是一個(gè)壓縮版的教學(xué)設(shè)計(jì).

回到黃金分割這一課時(shí)，觀察情景圖[2]，細(xì)心的老師會(huì)發(fā)現(xiàn)，教材一開(kāi)始呈現(xiàn)的五角星中間多了一條線．正五角星是那么地對(duì)稱，那么美觀，現(xiàn)在多了一條線，美被破壞了．這說(shuō)明，教科書(shū)可能刪減了一些過(guò)程，教學(xué)中需要恢復(fù)這些火熱的思考過(guò)程.

圖1

一個(gè)五角星如圖1所示.

(1)從圖中找出相等的角、相等的線段.

(2)在圖中找出兩對(duì)相似比不同的相似三角形.

一般而言，既然這一課時(shí)希望從五角星中發(fā)現(xiàn)黃金分割，同時(shí)感受黃金分割的美，自然還是從美麗的五角星開(kāi)始了．因此，首先應(yīng)該呈現(xiàn)的應(yīng)是五角星(圖2)，借助對(duì)稱性可以發(fā)現(xiàn)其中很多相等的量(不僅僅是軸對(duì)稱，學(xué)生直覺(jué)可以感受到旋轉(zhuǎn)對(duì)稱，每個(gè)角應(yīng)該是一樣的)．但僅僅是五角星中原有的線段和圖形，只能發(fā)現(xiàn)其中的全等關(guān)系，沒(méi)有相似，難以產(chǎn)生比．但我們也不難從圖形中發(fā)現(xiàn)從外到內(nèi)大大小小的五個(gè)頂點(diǎn)，相似、位似的關(guān)系是顯然的，因此，增補(bǔ)一些線段(這里就是內(nèi)部五邊形的對(duì)角線)創(chuàng)生相似圖形十分自然．當(dāng)然，教學(xué)過(guò)程中，本應(yīng)該是對(duì)稱地連接五條對(duì)角線，產(chǎn)生圖3，再感覺(jué)圖3復(fù)雜，刪繁就簡(jiǎn)，僅僅選取其中一個(gè)代表性的線段，得到圖4.也就是說(shuō)，教材設(shè)計(jì)中應(yīng)該經(jīng)歷一個(gè)從圖2到圖3再到圖4的過(guò)程．但由于篇幅原因，只能忍痛割愛(ài)，直接呈現(xiàn)圖4了.

圖2　　　　　圖3　　　　　　 圖4

當(dāng)然，老師們會(huì)困惑，何不完整地呈現(xiàn)圖2-圖4的全過(guò)程，以更好地凸顯思維過(guò)程呢？實(shí)際上，除了篇幅的限制外，有時(shí)也難能完整地呈現(xiàn)真正的思維過(guò)程．例如，本希望在前一個(gè)環(huán)節(jié)中給學(xué)生較大的空間，在下面的環(huán)節(jié)再展現(xiàn)上一環(huán)節(jié)思考的結(jié)果并進(jìn)一步深入研究，但教材中兩個(gè)環(huán)節(jié)內(nèi)容靠在一起，學(xué)生不經(jīng)意就發(fā)現(xiàn)了下一環(huán)節(jié)的結(jié)果，使得上一教學(xué)環(huán)節(jié)中的思維空間形同虛設(shè)，教材設(shè)計(jì)者常常開(kāi)玩笑說(shuō)，“將思維過(guò)程與結(jié)果分別放置在兩個(gè)頁(yè)面上，而且還要在一張紙的正反兩面”，但教材排版怎么可能這么巧呢？正是這多方面的原因，使得教材的過(guò)程有所約簡(jiǎn)了．教材中這樣的例子比比皆是.

總之，教材設(shè)計(jì)中無(wú)奈地選擇了“壓縮”版的主干內(nèi)容，因此，需要教師將其原有的過(guò)程恢復(fù)完整．華羅庚先生在介紹數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法時(shí)，告誡年輕人先要“將書(shū)讀厚”．對(duì)教師的備課而言，又何嘗不是如此呢．

3　分析教材與學(xué)情的落差，落實(shí)教學(xué)實(shí)施的針對(duì)性

圖5

靜態(tài)的教材，其主體內(nèi)容是針對(duì)假想的中等水平學(xué)生設(shè)計(jì)的，適當(dāng)通過(guò)一些問(wèn)題拓展和選擇性資源兼顧不同學(xué)力水平的學(xué)生，但真正的使用者(學(xué)生)個(gè)體差異很大，無(wú)法保證教材設(shè)計(jì)完全貼合各個(gè)班級(jí)的學(xué)情．既然如此，教師就需要在教材理解的基礎(chǔ)上，根據(jù)自己班級(jí)的學(xué)情進(jìn)行創(chuàng)新設(shè)計(jì)了．為此，需要審視教材中例習(xí)題的難度水平、審視教材中素材與學(xué)生認(rèn)知實(shí)際和生活實(shí)際的貼合度，進(jìn)而作出適當(dāng)?shù)恼{(diào)整．如果題目的要求高于學(xué)生的學(xué)力水平，可以提供一些臺(tái)階；如果題目的要求低于學(xué)生的學(xué)力水平，則可以在原有基礎(chǔ)上適當(dāng)拓展提升或者更換更有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題；如果素材不符合學(xué)生的生活實(shí)際，完全可以結(jié)合學(xué)生的生活實(shí)際重新尋找素材．例如，為了抽象概念，教材呈現(xiàn)了很多生活實(shí)例，但這些實(shí)例難能保證適用于所有學(xué)生，這就需要教師認(rèn)清這個(gè)素材設(shè)計(jì)的目的在于抽取出研究對(duì)象，進(jìn)而概括出概念，既然如此，就需要結(jié)合自己班級(jí)學(xué)生的認(rèn)知實(shí)際和生活實(shí)際尋找素材，大膽地進(jìn)行調(diào)換，甚至還可以引導(dǎo)學(xué)生自己尋找這樣的素材，形成一定的素材庫(kù)，為后續(xù)教與學(xué)的活動(dòng)提供資源支持.

還以黃金分割這一課時(shí)中黃金分割點(diǎn)的作圖為例加以說(shuō)明．為了鞏固學(xué)生對(duì)于黃金分割的認(rèn)識(shí)，教科書(shū)在隨堂練習(xí)中介紹了黃金分割點(diǎn)的作法，引導(dǎo)學(xué)生思考作法的道理[2]．黃金分割點(diǎn)的作法，對(duì)于多數(shù)學(xué)生而言，是有困難的，課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)此也沒(méi)有作出具體要求，因此，教材定位于介紹作法并理解道理，是恰當(dāng)?shù)模绻嗉?jí)學(xué)生的學(xué)力水平整體較高，也可以引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷作法的探究過(guò)程.

講述這些，我們只是希望一線教師能意識(shí)到，由于教材的靜態(tài)性，教材編寫存在很多無(wú)奈之處，因此，從不同視角去研讀教材、理解教材，進(jìn)而創(chuàng)新教學(xué)，成為教學(xué)的常態(tài)．當(dāng)然，僅有研究視角未必就能準(zhǔn)確理解教材，還需要一些同行交流以及外在的資源的幫助．實(shí)際上，教材、教師用書(shū)、教材培訓(xùn)文本是教材理解最好的參考文本．北師大版初中數(shù)學(xué)教材組在編制教師用書(shū)時(shí)，對(duì)編寫團(tuán)隊(duì)提出了這樣一個(gè)要求，要求設(shè)計(jì)者對(duì)每個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng)給出三個(gè)方面的意見(jiàn)：一是設(shè)計(jì)的意圖，即為什么要設(shè)計(jì)這個(gè)活動(dòng)，這個(gè)活動(dòng)和相鄰活動(dòng)之間的聯(lián)系是什么；二是活動(dòng)結(jié)果，給出該活動(dòng)的

參考性結(jié)論；三是活動(dòng)的教學(xué)建議，即這個(gè)活動(dòng)可以如何開(kāi)展，可能有哪些預(yù)設(shè)和生成等．當(dāng)然，這只是一個(gè)理想化的要求，未必每個(gè)環(huán)節(jié)都做到了這三點(diǎn)，但至少說(shuō)明，教師用書(shū)是理解教材的合適文本．此外可以查閱培訓(xùn)文本，可以加強(qiáng)與教材設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)、服務(wù)團(tuán)隊(duì)以及同行的交流.

總之，在理解教材基礎(chǔ)上創(chuàng)新使用教材是教師教學(xué)的常態(tài)．作為教材編寫者，我們期待老師們能更好地理解教材，創(chuàng)新使用教材．這是教師成長(zhǎng)的必由之路，也是教材發(fā)展的源泉.