分離變量法在解方程中的應用

李先記

(河南化工職業(yè)學院，河南 鄭州 450072)

分離變量法是把含各個變量的項分離開來，從而將原方程拆分成多個更簡單的只含一個未知量的方程，這種數(shù)學方法在解方程時的應用非常廣泛，既可以用這種方法解代數(shù)方程，也可以解微分方程中的常微分方程和偏微分方程．

1 代數(shù)方程

分離變量法解代數(shù)方程，適用的范圍相對而言要小一點，只有當一個多元代數(shù)方程f(x1，x2，……，xn)=0 中的 f(x1，x2，……，xn)可以轉(zhuǎn)化為

其中f1(x1)≥0;f2(x2)≥0;……;fn(xn)≥0時可以對原方程進行變量分離：

由于 f1(x1)≥0，f2(x2)≥0，……，fn(xn)≥0，當 f(x1，x2，……，xn)可以轉(zhuǎn)化為 f1(x1)+f2(x2)+……+fn(xn)=0時原方程成立當且僅當f1(x1)=0;f2(x2)=0;

成立，所以方程f(x1，x2，……，xn)=0就可以化為n個一元方程聯(lián)立而成的方程組然后解方程組即可．

2 常微分方程

2．1 分離變量法還可以用來解一類常微分方程以及通過換元法(即湊微分法)可轉(zhuǎn)化為通過分離變量法能進行變量分離的微分方程．用分離變量法能解常微分方程的方程類型為：

解這類微分方程就是分別把關于x，y的表達式寫在等號的兩邊，這樣可以將兩個變量x，y分離到方程的兩邊，然后方程兩邊分別求其不定積分，就可以得到常微分方程的通解．分離變量法解微分方程的具體步驟如下：

第三步，求出不定積分，得到微分方程的通解．

實例1 1838年荷蘭數(shù)學家韋爾侯斯特(Verhulst)提出的一個自然環(huán)境條件所能容許的最大人口數(shù)Nm的人口預測模型，即Logistic人口模型：

是一個可以用變量分離法求解的一階常微分方程，具體解法是：

2．2 利用換元法可化為能用變量分離法解的常微分方程

上述兩個微分方程可以利用變量分離法求出其通解，然后回代，即可求出原微分方程的通解．

2．3 湊微分法和分項組合法可化為能用變量分離法解的常微分方程

實例3 解形如xy′+y=f(x)g(xy)的微分方程

注意到方程的左邊即為(xy)′，可設u=xy代入原方程得

此方程也可以用變量分離法求出其通解，然后通過u=xy求出y，即求出原微分方程的通解．

3 偏微分方程

給一個關于n元函數(shù) f(x1，x2，……，xn)的偏微分方程，有時候為了將問題的偏微分方程化為一組常微分方程，我們可以猜想解的函數(shù)的表達式為

實例4 假若關于函數(shù)F(x，y，z)的偏微分方程為

其中，c1，c2，c3都是常數(shù)，且 c1+c2+c3=0．

偏微分方程的通解為

F(x，y，z)=c1x+c2y+c3z;其中，c1，c2，c3是常數(shù)．而上述方程的兩邊乘以sin2θ，然后再移項可得

此方程的左邊只與θ有關而與φ無關，而右邊只與φ有關而與θ無關，故實際左、右兩邊與θ、φ都無關應為一常量，設此常量為λ(λ≥0)，同樣可以進行變量分離，變量分離后得

則通過應用兩次變量分離，得到三個微分方程，這三個方程分別為

這三個方程分別只含有一個自變量了，各自均為常微分方程了，可將其中的偏導之符號?改為一元函數(shù)的導數(shù)符號“d”了，這三個方程，分別稱為R(r)方程、Θ(θ)方程和 Φ(φ)方程，這三個方程的常微分方程的表示形式為

且均為2階的常微分方程，第一、第二個兩個二階的常微分方程可以先用換元，再用級數(shù)法來解，這里不再詳細敘述．第三個二階的常微分方程是一個常系數(shù)的二階線性齊次微分方程，解法相對簡單，可通過先求出其特征方程，求出特征方程的特征根，再寫出微分方程的通解．

通過上面的敘述，可以說分離變量法是把含有多個變量的方程化為求單個變量的方程的一種重要的數(shù)學方法，這種方法特別在解數(shù)學物理方程中的偏微分方程的作用更加突出．

［1］南京工學院數(shù)學教研組．數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)(第2版)［M］．北京：高等教育出版社，1982．

［2］郝金庫，王萬得．化學生物數(shù)學簡明教程［M］．北京：國防工業(yè)出版社，2003．

［3］孫書安等．高等數(shù)學［M］．北京：氣象出版社，1998．

［4］戎笑，于德明．高職數(shù)學建模競賽培訓教程［M］．北京：清華大學出版社，2010．