一個(gè)估計(jì)問題的探討

劉文慧　張淑梅　張唯一

(1.北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院　100875; 2.北京師范大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院　100875; 3.人民教育出版社　100081)

在第二次世界大戰(zhàn)期間，由于許多戰(zhàn)略上的理由，盟軍想知道二戰(zhàn)期間德軍總共制造了多少輛坦克[1].盟軍請來了統(tǒng)計(jì)學(xué)家參與情報(bào)的收集和分析工作，從戰(zhàn)后發(fā)現(xiàn)的德國記錄來看，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法估計(jì)的結(jié)果與德國實(shí)際生產(chǎn)的坦克數(shù)量非常接近.原來，德國人在制造坦克時(shí)是墨守成規(guī)的，他們把坦克從1開始進(jìn)行了連續(xù)編號.在戰(zhàn)爭進(jìn)行過程中，盟軍繳獲了一些德軍坦克，并記錄了它們的生產(chǎn)編號[1].統(tǒng)計(jì)學(xué)家將繳獲的德軍坦克編號作為樣本觀測數(shù)據(jù)，用樣本估計(jì)總體的方法推斷總的坦克數(shù)量.生活中還有類似的問題：

問題1某大學(xué)美術(shù)系平面設(shè)計(jì)專業(yè)的報(bào)考人數(shù)連創(chuàng)新高，今年報(bào)名剛結(jié)束，某考生想知道報(bào)考人數(shù).考生的考號按0001，0002，…的順序從小到大依次排列.這位考生隨機(jī)地了解了50個(gè)考生的考號.請給出一種方法，根據(jù)這50個(gè)隨機(jī)抽取的考號，幫助這位考生估計(jì)考生總數(shù).[1]

問題2某個(gè)袋子里有N個(gè)小球，標(biāo)號按1,2,3,…的順序從小到大排列.將袋內(nèi)的小球充分?jǐn)嚢韬?，隨機(jī)不放回地抽取了10個(gè)小球，記下編號.請給出一種方法，根據(jù)這10個(gè)編號，估計(jì)袋子內(nèi)小球的總數(shù).

這是一個(gè)比較好的統(tǒng)計(jì)案例，可以啟發(fā)學(xué)生思考，同時(shí)可以幫助學(xué)生理解統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問題時(shí)，更加關(guān)注統(tǒng)計(jì)方法優(yōu)劣，而不是對錯(cuò).

這類問題的特征為假設(shè)事先個(gè)體已經(jīng)按自然數(shù)編號，通過不放回抽樣得到的樣本估計(jì)總體總數(shù)的問題，即：在1，2，3，…，N個(gè)自然數(shù)中不放回地隨機(jī)抽取n個(gè)數(shù)，將抽取的樣本從小到大排序后記為x(1),x(2),...,x(n)，且滿足n≤x(n)≤N.在實(shí)際問題中，我們不知道N是多少，要估計(jì)N的值.

1　幾種估計(jì)方法

在教學(xué)中可以啟發(fā)學(xué)生思考解決這個(gè)問題的方法，討論每種方法的合理性，對不同方法進(jìn)行比較.下面給出幾種估計(jì)方法，每種方法都有其合理性，不能說哪種方法是錯(cuò)誤的，但可以用統(tǒng)計(jì)理論從某個(gè)角度，或者在某個(gè)準(zhǔn)則下對它們進(jìn)行比較.

方法一：用樣本的最大值估計(jì)總體的最大值的思想

方法二：用樣本中位數(shù)估計(jì)總體中位數(shù)的思想

方法三：用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的思想

我們知道，中位數(shù)對樣本數(shù)據(jù)的信息利用率較低，僅用到中間的一個(gè)數(shù)據(jù)或兩個(gè)數(shù)據(jù)，有的學(xué)生會(huì)考慮用樣本的平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)的思想，來估計(jì)N.即

方法四：分析區(qū)間長度的方法

樣本將這N個(gè)數(shù)據(jù)分為幾段，端點(diǎn)選取不同，可以得到不同的估計(jì)值.

區(qū)間長度法1：

區(qū)間長度法2：

區(qū)間長度法3：

由區(qū)間長度法的思想得到的三個(gè)估計(jì)值相差不超過1，這樣的差距在實(shí)際問題中是可以忽略的.比如在估計(jì)考生人數(shù)的問題中，估計(jì)的總數(shù)相差1并不會(huì)影響決策，這也體現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)的區(qū)別.這三個(gè)估計(jì)方法都是可以應(yīng)用的，盡管它們得到的估計(jì)值不盡相同，但不能說明哪個(gè)結(jié)果是錯(cuò)誤.

2　理論評價(jià)

根據(jù)不同的估計(jì)思想，我們得到了六個(gè)估計(jì)量，這些估計(jì)量哪個(gè)更好？評價(jià)估計(jì)量的好壞常用的標(biāo)準(zhǔn)有無偏性和均方誤差.估計(jì)量是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，也是一個(gè)隨機(jī)變量，隨著樣本的改變而改變.如果一個(gè)估計(jì)量的均值等于要估計(jì)參數(shù)的真值，就稱該估計(jì)量具有無偏性，其含義是如果多次抽樣，并且每次樣本量相同，那么得到的多個(gè)估計(jì)值在參數(shù)真值左右，其平均值與參數(shù)真值接近.接下來，我們從理論的角度推導(dǎo)x(n)的均值，從而討論上面的哪個(gè)估計(jì)量是無偏估計(jì).

從1到N中不放回隨機(jī)抽取n個(gè)數(shù)，其中最大的數(shù)記為x(n)，則x(n)的分布列為：

x(n)nn+1n+2…N-1NP1CnNCn-1nCnNCn-1n+1CnN…Cn-1N-2CnNCn-1N-1CnN

由此，可以計(jì)算第1個(gè)估計(jì)量和后三個(gè)估計(jì)量的均值，結(jié)果如下：

另外兩個(gè)估計(jì)量的均值計(jì)算很難，后面僅給出模擬的結(jié)果.

注意：(1)我們不能用一次抽樣的樣本得到的估計(jì)值評價(jià)估計(jì)量的好壞.(2)估計(jì)量是隨機(jī)變量，而估計(jì)值是估計(jì)量的一次觀測值，是一個(gè)具體數(shù)據(jù).

3　模擬結(jié)果比較

在模擬試驗(yàn)中，取N=100，n=10，m=1000，即從1，2，…，100中不放回隨機(jī)抽取10個(gè)數(shù)，這樣的模擬試驗(yàn)重復(fù)1000次.

計(jì)算機(jī)模擬步驟如下：

①在1, 2,…,N這N個(gè)自然數(shù)中不放回抽取n個(gè)數(shù)據(jù)，組成一個(gè)樣本；

②將樣本中的n個(gè)數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，記為x(1),x(2),…,x(n)；

③分別計(jì)算六個(gè)估計(jì)量的值；

④多次重復(fù)步驟①—③.

在下圖中，前六個(gè)圖形為散點(diǎn)圖，橫坐標(biāo)為觀測序號，縱坐標(biāo)分別為六個(gè)估計(jì)量在1000次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中的觀測值.

六個(gè)估計(jì)量的散點(diǎn)圖和頻率分布直方圖

六個(gè)估計(jì)量的平均偏差和均方誤差如下表：

六個(gè)估計(jì)量的平均偏差和均方誤差

4　總結(jié)

通過對高中教師進(jìn)行問卷調(diào)查，了解到高中教師對統(tǒng)計(jì)知識儲備不足[3].本文希望借助經(jīng)典的德國坦克估計(jì)問題的背景，介紹一個(gè)實(shí)際的估計(jì)問題，通過在探索多種估計(jì)方法的過程中讓讀者感受統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問題的魅力，理解統(tǒng)計(jì)解決實(shí)際問題時(shí)，更加關(guān)注哪種統(tǒng)計(jì)方法好，而不是對錯(cuò)，體會(huì)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)的區(qū)別，并了解可以從理論和模擬兩個(gè)角度比較估計(jì)方法的好壞.